các bất đẳng thức cơ bản

Những bất đẳng thức này có điểm rơi thường là ở tại biên m và n.. Nếu điểm rơi không xảy ra tại biên thì đôi khi ta cần dùng một số kĩ thuật khác kết hợp khảo sát hàm số... ------ BẤ

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1) Bất đẳng thức trị tuyệt đối:

a) a b  a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab0

b) a b  a b a b; , 0 Dấu = xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

2) Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a ;a ; ;a ta luôn có : 1 1 n

n

a a a   n a a a Dấu “=” xảy ra a1a2 a n

3) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

1 1 n n 1 n 1 n

a x  a x  a  a x  x Dấu bằng xảy ra khi 1

1

n n

a a

x   x

4) Bất đẳng thức Svácxơ:

2

1 2

n n

i i

a

x a

   Dấu bằng xảy ra khi 11  22   n n

a

a a

5) Bất đẳng thức tam giác: 2 2 2 2   2 2

a a  b b  a b  a b Dấu bằng xảy ra khi 1 2

0

a a

b  b 

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG DÙNG:

1) x2y2 2xy

2)  2

4

xy  xy

3) (xy)2 2(x2y2)

4) a2b2c2ab bc ca 

3

a b c   ab bc ca

6)  2 2 2  2

3 a b c  a b c 

7)  4  2 2

8

a b  ab a b (a b, 0)

x y  x y z

   ( , ,x y z0)

9) 1 1 4

x y x y

10) 1 1 1 9

x  y z x y z

  ( , ,x y z0)

11) 12 12 8 2

x  y  x y

12) 1 ab  a b a b, 1

13) 1 ab  a b a b, 1

2

x y

15) a3b3a b ab2  2 (a b 0)

16) a4b4 a b ab3  3

17) 3 3 1( )3

4

a b  a b (a b, 0)

2

b cc aa b 

   ( , ,a b c0)

1 x1 y 1 xy

   (x y, 0, và xy1)

21)

1



22) 1 2 1 2 2

1 x 1 y 1 xy

23) 1 1 2 2

x  y  x y

24)

2 2

2

a b

a b 

25) (1 1)(1 1) (1 2 )2

b a a b  ab

27)  2

a b  a  ab b ( ,a b0)

3a b  3b a  a b

29) a 1 b  1 1 a b 1 (a b, 0)

30) xa2  ya2  a x y a x y; , 0

31)

2



  ( ,a b0,a b 1)

a b a b b a

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ KHÁC

Khi cho các số a b c, , [ , ]m n thì ta nên cố gắng sử dụng các giả thiết như (am b m c m)(  )(  )0 ,

(a n b n c n )(  )(  )0 , (am a)( n)0…và những cái khác Những bất đẳng thức này có điểm rơi thường là ở tại biên m và n Nếu điểm rơi không xảy ra tại biên thì đôi khi ta cần dùng một số kĩ thuật khác kết hợp khảo sát hàm số

Bài 1) Cho a b c, , [1, 2];a b c  5 , chứng minh: 8 12 4 2

2

abc

ba bc ca abc abc



Bài 2) Cho a b c, ,  [ 1,1], chứng minh  1 ab bc ca3

Bài 3) Cho a b c, , [0,1], chứng minh a  b c ab bc ca1

Bài 4) Cho a b c, , [0, 2], chứng minh 2(a b c  ) ab bc ca  4

Bài 5) Cho a b c, ,  [ 1, 2]; a b c  0, chứng minh  3 ab bc ca

Bài 6) Cho a b c, , [0, 2];a b c  3 Chứng minh 2(ab bc ca  )abc4

Bài 7) Cho a b c, , [1, 2] chứng minh

a) a b c   2 abc

b) a2b2c2 3abc

Bài 8) ( Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c là các số thực không âm, chứng minh

a a b a c  b b c b a  c c a c b   (hướng dẫn: giả sử a b c và đặt nhân tử chung) Bất đẳng thức này rất mạnh và dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau hoặc hai biến bằng nhau và một biến bằng 0 Chú ý rằng khi khai triển bất đẳng thức Schur ta được các bất đẳng thức tương đương sau:

a) a3  b3 c3 3abca b ab2  2b c bc2  2c a ca2  2

b) abc(a b c b c a c  )(   )(  a b)

(a b c  ) 9abc4(a b c ab bc ca  )(   )

Bài 9) Cho a, b, c là các số thực không âm, chứng minh 2 2 2

a b  c abc  ab bc ca  - -

BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM MỘT BIẾN Bài 1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) y5 x 1 3 6 x  

b) y2 x 4 8 x

Bài 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) y x  12 3 x2

b) y2x 4x2

Bài 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 5 x x 1 x1 5 x 

Bài 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2

Bài 5) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1

x

Bài 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 osx

sin (2 osx -sinx)

c

x c với 0 < x ≤ 3



Bài 7) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y42x 2x2 64  x 2 6x

Bài 8) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 11 2 1 72

  với x0

Bài 9) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 2 ; 0

1

x

x x



Bài 10) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

3 2

3 8 x

y 2x

2

  với x [0, 2 2]

Bài 11) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 2 2

y 2x 2x 1 2x x  2x với x [0, ]1

4

Bài 12) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 2 3

y4 2 2x 5x9x với x[0,1]

Bài 13) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 34 3x 1

 với x0

- - BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN

 Phương pháp: Bất đẳng thức hai biến thường là đối xứng, ta thường đặt ẩn phụ mới, tìm điều kiện của ẩn phụ

mới (chú ý tìm đều kiện chặt nhất có thể hay nói cách khác là phải tìm min, max của ẩn mới nếu có) Sau đó cố gắng đưa toàn bộ biểu thức về theo ẩn phụ mới để khảo sát

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất ( a,b > 0)

a b ab

A

a b

ab





2

B



Ví dụ 2: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn: x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  



M

Ví dụ 3: Cho các số thực x y, 1 thỏa 3(xy)4xy

a) Chứng minh 3  x y 4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất vả giá trị lớn nhất của M x3 y3 3 13 13

x y

BÀI TẬP:

Bài 1) Tìm giá trị nhỏ nhất (a b, 0)

1

ab

4

a b



Bài 2) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x2 y2 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu



 

2

2

A

1 2xy 2y

Bài 3) Cho các số thực x y, thỏa 3 3

2

x y  a) Chứng minh 0  x y 2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

M x y

Bài 4) Cho các số thực x y, (0,1] thỏa x y 4xy

a) Tìm min, max của S = x + y

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 2 2

7

M x y  xy

 Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng một số bất đẳng thức phụ thì mới có thể đặt được ẩn phụ mới nhưng khi dùng bất đẳng thức phụ thì cần lưu ý về điểm rơi của bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa x y 1, tìm giá trị nhỏ nhất của:

a) A x y 1 1

x y

   

b) C x2 y2 1 1

x y

Ví dụ 2: Cho x,y là các số thực thoả mãn hệ thức:(x y )34xy2

a) Tìm min của S = x + y

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A3(x4y4x y2 2) 2( x2y2) 1

Ví dụ 3: Cho x, y là các số thực

a) Chứng minh (x1)2  y2  (x1)2  y2 2 1 y2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  (x1)2  y2  (x1)2 y2  y2

BÀI TẬP

Bài 5) Cho các số thực dương x y, thỏa xy x( y) x y

a) Tìm min của S  x y

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 4( ) 1 21 2

2



Bài 6) Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của  3 3  2 2  2 2

( 1)( 1)

  

 

x y x y

x y

Bài 7) Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1  x  2; 1  y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

- -

LUYỆN TẬP Bài 1) Tìm giá trị nhỏ nhất (a b, 0)

a)

2 2

4 2

A



  

b) B 21 2 1 1 (a b 1)

ab a b

Bài 2) Cho các số thực x y, thỏa x2y2xy3

a) Chứng minh  3 xy1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 4 4 3 3

4

M x y  xyx y

Bài 3) Cho các số thực x y, thỏa 2 2

1

x y xy  x y

a) Tìm min, max của S = x + y

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

1

xy A

x y



 

Bài 4) Cho các số thực x y, thỏa (xy xy)(  1) x2y22

a) Chứng minh x y 2

b) Tìm giá trị lớn nhất của M 1 1

x y

 

Bài 5) Cho x,y thoả mãn (x y xy x )  2y2xy

a) Tìm min, max của S  x y

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 13 13

x y

Bài 6) Cho các số thực dương x y, thỏa x2y2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M (1 x)(1 y)(1 1)

x y

Bài 7) Cho các số thực dương x y, thỏa x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 3 1 3 1

x y xy



Bài 8) Cho các số thực x y, không âm thỏa 3 3

1

x y xy

a) Tìm min, max của S x y

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

M x y xy

Bài 9) Cho x,y,z là các số thực thoả mãn: x2xyy2 1

a) Tìm min, max của Pxy

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :

4 4

2 2

1 1

x y M

x y



Bài 10) Cho các số thực x, y khác không thỏa mãn 2 2

1

x y xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6 6

2 2

1

x y A

xy x y



Bài 11) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

x y x y x y xy P

Bài 12) Cho các số thực x y, thỏa x  y 1 2x 4 y1

a) Tìm min, max của S  x y

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 2 1

x y



Bài 13) Cho các số thực dương x y, thỏa x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

Px y y x

Bài 14) Cho các số thực dương x y, thỏa x y xy3 Tìm giá trị lớn nhất của

M

Bài 15) Cho x,y là các số dương thoả mãn:x y 1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

(4 3 )(4 3 ) 25

A x  y y  x  xy

Bài 16) Cho a và b là các số thực dương thỏa a  b 1 3ab Tìm giá trị lớn nhất của

3

M

a b



Bài 17) Cho a và b là các số thực dương thỏa mản 2 2

2(a b )ab(a b ab )( 2)

a) Tìm min của t a b

b a

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

M

Bài 18) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2

+ (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

Px y  xy x y

Bài 19) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1

a) Tìm giá trị lớn nhất của t x

y



b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 6 3



P

x y

x xy y

Bài 20) Cho các số thực a, b thuộc đoạn 1,1

2

  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

6 3( )

a b



Bài 21) Cho các số thực dương x, y thỏa x khác y và 2

2 12

x  y a) Chứng minh xy8

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 42 42 5 2

A

Bài 22) Cho các số thực dương x, y thỏa 3 x 1 y 1 x y 2

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: t x y

y x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

1 1 3

Bài 23) Cho các số thực x y, không âm thỏa x x( y)0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

P x y

x xy x xy y

- - BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN

 Hầu hết các bài toán bất đẳng thức ba biến ta phải dùng các bất đẳng thức phụ nhằm đánh giá điều kiện của ẩn phụ mới hoặc làm cho biểu thức trở nên đơn giản hơn để có thể đặt được ẩn phụ Khi dùng bất đẳng thức phụ cần lưu ý đến điểm rơi của nó

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A     a b c 1 1 1

a b c

3 , , 0;

2

a b c a b c 

Ví dụ 2: Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x  y z 1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Ví dụ 3: Cho các số thực dương a, b, c

a) Chứng minh

a b  b c a c

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

P

BÀI TẬP Bài 1) Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn x2 y2 z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

8

A xy yz zx

x y z

 

Bài 2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện 2 2 2

3

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a b c

b c a

     

Bài 3) Cho các số thực dương a, b, c thỏa abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 2 1 2

M

 Trong một số bài toán mà vai trò của các biến a, b, c nhƣ nhau (biểu thức đối xứng) thì ta có thể giả sử

a b c hoặc a b c

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 13abc4(ab bc ca  )

Ví dụ 2: Cho các số thực x, y, z không âm, thoả mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M x y z xyz

BÀI TẬP

Bài 1) Cho a b c, , 0;a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

Pabca b c

Bài 2) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a  b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

abc

Pa b c 

Bài 3) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn x  y z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Ax yz y zx z xy

 Trong một số bài toán mà vai trò các biến có thể hoán vị vòng quanh thì ta có thể giả sử a là số nhỏ nhất hoặc lớn nhất trong ba số a, b, c

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a, b, c thuộc [ , 3]1

3 , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c

a b b c c a

BÀI TẬP Bài 1) Cho các số thực dương a, b, c thuộc [ , 3]1

3 , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c

a b b c c a

Bài 2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa a  b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M a b b c c a  abc

Bài 3) Cho các số thực dương a, b, c thỏa a  b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 8abc a( 2b2c2)

- -

LUYỆN TẬP Bài 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) A a2  12  b2 12

2 2 1

 c 

a

3 , , 0;

2

a b c a b c  b) A   a b c 1

, , 0;   1

a b c a b c

Bài 2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 2 2 2

x y z 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P x 3 y3 z – 3xyz3

Bài 3) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện abc1

a) Chứng minh a b c a b c

b    c a

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b c 3

b c a a b c

   

 

Bài 4) Cho các số thực dương x, y, z thỏa 3 3 3

x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của:

x y z P

x z y z



Bài 5) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y z 3

a) Chứng minh x y2 y z2 z x2 x2y2z2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2

xy yz zx

x y y z z x

Bài 6) Cho a b c, , 0;a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P 15abc 4(a3  b3 c3 )

Bài 7) Cho a b c, , 0;a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của P a ab 2abc

Bài 8) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2

+ b2 + c2 = 9 Tìm giá trị lớn nhất: A = 2(a + b + c) – abc

Bài 9) Cho a b c, , 0;a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3

Pabca b c

Bài 10) Cho các số thực x y z, ,  1 thỏa x  y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

P



Bài 11) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y z xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

P



Bài 12) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa 2 2 2

1

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P y  z x xyz

Bài 13) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa 2

1x  1 2 y 1 2 z 5

a) Chứng minh x22(y z) 8

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3

2

P x y z

Bài 14) Cho các số thực x, y, z thỏa 2 2 2

1

x y z 

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của txyyz2zx

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

2

8

P xy yz xz

x y z xy yz

Bài 15) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa x  y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P x y z  xyz x

Bài 16) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P a b b c c a  ab bc ca  a b c

Bài 17) Cho x, y, z là ba số thực thuộc [1; 4] và x y x, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

x y y z z x

Bài 18) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3x y 3y z 3z x 6 6 6

P       x  y  z

Bài 19) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y z 0 và x2y2z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Px5y5z 5

Bài 20) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2

(ac)(b c) 4c

a) Chứng minh

3

(b 3c) (a 3c) c



b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P



Bài 21) Cho a, b, c là các số thực dương

a) Chứng minh (a b ) (a2 )(c b2 )c 2(a2 b2 c2)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( ) ( 2 )( 2 ) 4

P

a b a c b c

a b c

Bài 22) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2

x y z 2

a) Chứng minh (x y z)2 4(1yz)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

2

P

Bài 23) Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a+b)c >0

a) Chứng minh a b 2(a b)

b c a c a b c



b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

P

Bài 24) Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [1,3] và thỏa mãn điều kiện a  b c 6

a) Chứng minh 11ab bc ca12

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

a b b c c a 12abc 72 1

Bài 25) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0,1] và thỏa mãn điều kiện abbc ca 1

a) Chứng minh 3(a b c  ) 5abc6

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 6

10

a b c

Bài 26) Cho các số thực dương x, y, z thỏa xyyzzx3

a) Chứng minh xyz x(   y z) 3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4

( 1)( 1)( 1)

M

Bài 27) Cho các số thực a, b, c thuộc [1, 4] thỏa a b 2c8

a) Chứng minh ab2c7

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3

5

M a  b c

Bài 28) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn 2 2 2

3

x y z  a) Chứng minh x  y z x y2 2y z2 2z x2 2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

1

xy yz zx A

x y z

x y y z z x

 

Bài 29) Cho các số thực dương x, y, z thỏa 2 2 2

1

x y z 

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3

A



Bài 30) Cho các số thực dương a, b, c thỏa

1

ab bc ca

ab bc ca

a) Chứng minh ab bc ca1

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2

M  a b c  a b    b c c a

Bài 31) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn x + y > 0

a) Chứng minh 4z16 2x y 16 4 2x y 4z4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 4 2 16

2

xy yz zx

Bài 32) Cho các số thực dương x, y, z thỏa 2 2 2

5(x y z )9(xyyzzx) a) Chứng minh x2(yz)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 1 3

x P

Bài 33) Cho các số thực dương a, b, c thỏa 2 2 2

a b  c ab bc ca a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của t c

a b



 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

P

a b c a b a b

Bài 34) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn zx z;  y

a) Chứng minh x 2 y 4(x y) 1

y z z x x y z



b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2 y 33 z

y z z x x y

Bài 35) Cho các số thực dương a,b,c thỏa 3 3

( 1)

a b c c a) Chứng minh a b c

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

a b c M

a b c



Bài 36) Cho các số thực dương x, y, z thỏa 1 1 1

x y z a) Chứng minh x y 4

z

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2

A

z x y





Bài 37) Cho các số thực dương a,b,c thỏa 4

2

a b c abc

  



 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tab bc ca

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 4 4 4

M a b c

Bài 38) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa a  b c 3

a) Tìm giá trị lớn nhất của A4(ab bc ca  ) 3 abc

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2

P abc  abc  ab bc ca 

Bài 39) Cho các số thực dương a,b,c thỏa 2 2 2 2 2

(a b ) 4a b  1 (2c 1) a) Chứng minh a b 2 ;c abc2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất M 2( a b ) ab2 c

b c a c c a b

Bài 40) Cho các số thực a b c, , (0,1) thỏa a  b c 2abcab bc ca1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

M a b c

Bài 41) Cho các số thực a b c, , [0, 2] thỏa a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 2 1 2

Bài 42) Cho các số thực dương a, b, c thỏa ( )(1 1 1) 27

2

a b c

a b c

a) Chứng minh a2(b c )

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

Bài 43) Cho a, b, c là các số thực khác nhau, không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P a b b c c a

a b b c c a

Bài 44) Cho các số thực dương a, b, c thỏa a  b c 3

a) Chứng minh a b b c c a2  2  2 abc4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2 32 2 4

a b b c c a abc

- -