rằng trong ba số a, b, c phải có một số bằng bình phương của một số còn lại... Tính giá trị của biểu thức P=.[r]
Trang 1Chứng minh một đẳng thức có điều kiện
và tính giá trị của biểu thức khi biết điều kiện rằng buộc cho trước chủa biến I/ Chứng minh các đẳng thức cơ bản
Chứng minh các đẳng thức sau:
1)( a+ b)2 = (a – b)2 + 4ab 2)(a – b)2 = (a + b)2 - 4ab
3)2(a2 + b2 ) = (a+b)2 + (a – b)2
4)(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + by)2
5)a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2
6)a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) 7)a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
8)(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
9)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a +b) + 3bc(b +c) + 3ca (c +a) +6abc
10)(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) – (ax + by + cz)2 = (ay – bx)2 + (az- cx)2 + (bz- cy)2
11)an – bn = ( a – b)(an-1 + an-2b + … + a1bn-2 + bn )
(Từ câu 11, ta có khi n lẻ thì a n – b n chia hết cho a = b)
12) Giới thiệuTam giác PASCAN
13)Với n lẻ ta có: an + bn = (a+b)(an-1 – an-2b1 + an-3b2- ….- abn-1 + bn-1)
II/ Bài tập và phương pháp
1)Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c) (5a – 3b – 8c) = (3a- 5b)2
2)Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2thì ( với x, y )
y
b x
3)Cho (a2 + b2 + c2)x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2với x, y, z khác 0 thì
z
c y
b x
a
4) Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2) Chứng minh rằng a = b
5)Chứng minh rằng a = b= c nếu có một trong các điều kiện sau :
a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+c)2 = 3(a2 + b2 + c2)
c)(a + b + c)2 = 3(ab +bc + ca)
6)Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc
7)Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng : a3 + b3 + a2c + b2c – abc = 0
8)Chứng minh rằng trong ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau, tồn tại hai số bằng nhau:
a2(b –c) + b2(c –a) + c2(a – b) = 0
9)Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b,c là các số dương thì a = b = c
10)Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì
a = b = c = d
11)Chứng minh rằng nếu m = a + b +c thì
(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a+b)2(b+c)2(c+a)2
12)Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5 ) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
13) Chứng minh rằng nếu 1 11 2 và a + b + c = abc thì
c b
1 1 1
2 2
c b a
14)Cho a + c = 2b Chứng minh rằng : a2 + 8bc = (2b +c)2
15)Cho a + b = ab Chứng minh rằng : (a3 + b3 – a2b2)3 + 27a6b6 = 0
16)Cho a + b + c = 2x Chứng minh rằng : x2 + (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2 = a2 + b2 +c2
Trang 217)Cho 2b = 1 + ab và a b1 , 1 Chứng minh rằng: 2.
1
1 1
1
b
b a
a
c b a
1 1 2
c a
c a b a
b a
1
1 1
1 1
20)Cho 1 Chứng minh rằng
b a
b c c a
a b c
b
c
a
4
b a
a c a c
c b c b
b a
21)Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn : a + b + c = 0 Chứng minh rằng:
0 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2
2
b
22)Cho a b, c là các số khác 0 thoả mãn điều kiện 111 0 Chứng minh rằng :
c b a
3
2
2
b
ca
a
bc
c
ab
23)Cho a, b, c, x, y, z là các số thoả mãn : a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; Chứng
c
z b
y a
x
minh rằng : xy + yz + zx = 0
24)Cho a + b + c = 0; x + y + z = 0; 0 Chứng minh rằng: xa2 + yb2 + cz2 = 0
c
z b
y a x
25)Cho 0 và Chứng minh rằng :
z
c y
b x
a
1
c
z b
y a
x
1
2 2 2
c
z b
y a x
26)Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1, a3 + b3 + c3 = 1.Chứng minh rằng : a97 + b97 + c97= 1 27)Cho a, b, c là các số đôi một khác nhau thoả mãn : 0 Chứng minh
c a c
b c b a
c c
a
b c
b
a
28)Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a + b 0; b + c 0; c + a 0 thoả mãn :
1
c a
c
b
c
b
a
0
2 2
2
c a c
b c b a
29)Cho ab =1 Chứng minh rằng : a5 + b5 = (a2 + b2)(a3 + b3) – (a + b)
30)Cho ba số a, b, c là các số khác không và đôi một khác nhau thoả mãn a + b + c = 0 .Chứng minh rằng :
a)a3 + b3 + c3 + a2b + ab2 + b2c + cb2 + c2a + ca2 = 0
a c
b c b
a b a
c b
a c a
c b
c
b
a
31) Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn điều kiện (a + b+ c)2 = a2 + b2 + c2
Rút gọn biểu thức sau: P =
ab c
c ca
b
b bc
a
a
2 2
2 2
2 2
2
32)Chứng minh rằng nếu x2(y +z) + y2(x +z) + z2(x +y) + 2xyz = 0
Thì x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3
33)Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc Thì a = b = c hoặc a + b + c = 0
Trang 334)Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức : A =
a
c c
b b
a
1 1
1
35)Cho x + y + z = 0 và 1 11 0 Rút gọn biểu thức M =
z y
6 6 6
z y x
z y x
36) Cho a + b + c = 2p Chứng minh rằng : pp ap bp c
abc c
p b p a
1 1
1
37)Cho Chứng minh rằng :
z y x z y
1 1
1 1
n n n n n n
z y x z y
1 1
1 1
38) Cho x > 0 thoả mãn x2 + 12 7 Chứng minh rằng x5 + là một số nguyên
1
x
39)Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức
T = (x – 1)1997 + y1998 + (x +1)1999
40) Cho a, b, c là các số khác 0 thoả mãn a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Tính giá trị của các biểu thức sau: P = (1 + )( 1 )( 1 )
a
c c
b b
a
41)Cho a + b + c + d = 0 Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3(c +d)(ab- cd)
42)Cho a > b > 0 thoả mãn: 3a2 + 3b2 = 10ab Tính giá trị của biểu thức sau: P =
b a
b a
43)Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2= 1, ac + bd = 0 Chứng minh rằng : ab + cd = 0
44)Cho a, b,c đôi một khác nhau thoả mãn ab + bc + ca = 1 Tính giá trị của biểu thức a) A = b) B =
2 2 2
2 2
2
1 1
a c c b b
a
2 2
2
1 2 1
2 1
2
a c c b b a
ab c
ac b
bc a
45)Cho ; x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng :
b a b
y a
x
4
a)bx2 = ay2 b)
2000 2000 1000
2000
2
b a b
y a
x
46)Chứng minh rằng, nếu a, b,c lầ ba số thoả mãn : a + b + c =2000 và
2000
1 1 1
c b a
Thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2000
47)Chứng minh rằng, nếu x = thì
a c
a c z c b
c b y b a
b a
;
;
(1 +x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
48)Cho a, b,c là ba số hữu tỉ đối một khác nhau và khác 0 thoả mãn :
a + Chứng minh rằng abc = 1 hoặc abc = - 1
a
c c
b
b
1 1
1
49)Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn : abc = 1 và Chứng minh
c
a b
c a
b a
c c
b b
2 2
rằng trong ba số a, b, c phải có một số bằng bình phương của một số còn lại
50)Cho x, y, z thoả mãn xyz =1; x + y + z = Tính giá trị của biểu thức
z y x
1 1 1
Trang 4P = (x19- 1)(y5 – 1)(z1890- 1)
51)Cho a, b, c là ba số thoả mãn : abc = 2000 Tính giá trị của biểu thức
P =
1 2000
2000 2000
2000
c b
bc
b a
ab
a
52)
a) Cho a – 2005b = 2006 Tính A =
2006
2006 2006
2003
2005 2004
b
a b a
b a
b)Cho 2a- b = 2006 Tính B =
2006 2
2 3 2006
3
b
a b a
b a
53) Cho ba số a, b, c thoả mãn : b c; a + b c và c2 + 2(ab – ca – bc) = 0 Chứng minh rằng :
c a c b
b
c a
a
2 2
2 2
54)Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn: a + b + c = 2006 và 111 0 Tính giá trị của
c b a
S = a2 + b2 + c2
55) Cho 1 Tính giá trị của biểu thức A =
c s c
b c b
a
b a
c a c
b c b
a
2 2
2
56)Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì
xn + yn = an + bn
57)Cho ax + by + cz = 0 và a + b + c = Chứng minh rằng :
2006 1
2006 )
( )
( )
2 2 2
y x ab z
x ac
z
y
bc
cz by ax