Bài soạn Chuyen de BD HSG - Phuong trinh

Lời Mở đầuTrong môn toán ở trờng THCS các bài toán về phơng trình ngày càng đợc quan tâm và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ đặc tính độc đáo của các phơng pháp giải chúng.. Phơng trình là một

Lời Mở đầu

Trong môn toán ở trờng THCS các bài toán về phơng trình ngày càng đợc quan tâm và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ đặc tính độc đáo của các phơng pháp giải chúng Phơng trình là một trong những mảng kiến thức cơ bản nhất của toán học bậc THCS vì thông qua các bài tập về phơng trình học sinh có thể hiểu sâu sắc hơn về:

- Các phép biến đổi toán học cũng nh một số các tính chất về dấu giá trị tuyệt

đối, căn thức bậc hai, tính chất luỹ thừa, tính chia hết

Thông qua quá trình giải các dạng bài tập và các phơng pháp giải phơng trình

đặc chng, năng lực suy nghĩ độc lập, sáng tạo của học sinh đợc phát triển đa dạng, mạnh mẽ Đòi hỏi học sinh phải có lối suy nghĩ logic, liền mạch kết hợp giữa các kiến thức cũ và mới một cách linh hoạt và sáng tạo

Với sự nghiên cứu chọn lọc tôi đã phân loại phơng trình và đa ra một số phơng pháp giải phơng trình phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng t duy của học sinh THCS mong muốn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán giải phơng trình

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

1

A Mục tiêu:

* Giúp học sinh:

- Nắm chắc các khái niệm phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai, phơng trình bậc cao, phơng trình vô tỷ, phơng trình nghiệm nguyên, các kiến thức cơ bản cũng nh nâng cao mà ta thờng bắt gặp trong bài toán giải phơng trình

- Nắm đợc các phơng pháp giải phơng trình, đặc biệt là một số phơng trình đặc biệt

- Rèn kỹ năng vận dụng giải bài tập có sử dụng “bất đẳng thức” (dùng bồi dỡng học sinh giỏi)

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

2

B môc lôc

Kh¸i niÖm vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn 4

Ph¬ng tr×nh bËc cao gi¶i b¾ng c¸ch ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nh©t mét Èn 8

PhÇn II: Ph¬ng tr×nh bËc hai vµ ph¬ng tr×nh bËc cao 10

Phần IPhơng trình bậc nhất một ẩn

I Khái niệm về phơng trình Phơng trình bậc nhất một ẩn.

Nếu a≠ 0 ,a≠ 1thì phơng trình có một nghiệm duy nhất

Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x khi b = 0, phơng trình vô nghiệm khi b≠ 0

Sau khi biến đổi ta đợc: 2ax = a (1)

Nếu a ≠ 0, phơng trrình có nghiệm duy nhất

Nếu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x

Kết luận: Nếu a≠ 0 ,a≠ ± 1, phơng trình có nghiệm duy nhất

Nếu a = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Nếu a = ± 1, phơng trình vô nghiệm

Bài tập vân dụng Bài 1: Tìm giá trị của m sao cho phơng trình:

311 103

313 101

x a a

x a

b) 0

16 4

1

−

− + +

− + +

−

−

a

a x a

a x a

a x

c) − − + − − + − − = 3

c

b a x b

a c x a

c b x

d)

1

) 1 ( 2 1

1 2 1

1 1

− +

−

−

a

x a a

x a

x a

6 8 1 4

2 4

=

x x

x

Giải: Nghiệm của phơng trình nếu có, phải thoả mãn điều kiện x≠ ±41

Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:

3(4x + 1) = 2(1 - 4x) + (8 + 6x)

14x = 7

x =

2 1

Giá trị này thoả mãn điều kiện trên Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x =

2 1

Ví dụ 4: Giải phơng trình:

) 3 5 )(

5 1 (

4 5

3

2 1 5

Giải: Điều kiện của nghiệm số, nếu có, là ; 53

a) 2 1 1 2 − 1+1= ( 4 +3 2 +1)

−

− + +

+

x x x x x

x x

−

−

x x

x

x x x x

x

c)

bx ax

b b

b a bx

b a b a

+ +

x a x x

x a x

a x

a x

Bài 4: Với giá trị nào của a thì phơng trình sau có một nghiệm duy nhất?

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

5

1 1

1

2

2 2

2

−

= +

III Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét từng khoảng giá trị của biến Cần nhớ và năm vững lý thuyết sau:

1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối:

A ={−A

2 Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a≠ 0 ):

Nhị thức cùng dấu với a khi x >

Chú ý rằng −a b là nghiệm của nhị thức Do vậy định lý trên đợc phát biểu nh sau:

“ Nhị thức ax + b (a≠ 0 ) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các trí trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức ”

đó phơng trình có dạng x – 4 + 9 - x = 5 <=> 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là 4 ≤x≤ 9.

+ Nếu x > 9, thì x – 4 > 0 => x− 4 = x – 4 và x - 9 > 0 => x− 9 = x - 9, khi đó phơng trình có dạng x – 4 + x - 9 = 5 <=> x = 9, không thuộc khoảng đang xét

Vậy phơng trình có nghiệm là 4 ≤x≤ 9

Cách 2: Viết phơng trình có dạng x− 4 + 9 −x = 5

Chu ý rằng 5 chính là tổng của x – 4 và 9 – x Nh vậy tổng các giá trị tuyệt đối của hai biểu thức bằng giá trị tuyệt đối của tổng hai biểu thức ấy, điều này chỉ xẩy ra khi (x – 4)(9 – x) ≥ 0

Giải bất phơng trình này ta đợc 4 ≤x≤ 9

Bài tập vận dụng Bài 5: Giải các phơng trình sau:

IV Phơng trình bậc cao giải bằng cách đa về phơng trình bậc nhất một ẩn

Để giải các phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử để đa về giải các phơng trình bậc nhất một ẩn

Sau khi biến đổi ta đợc y2(y2 + 6) = 0, do đó y = 0 Vậy x = -4.

Ví dụ 10: Giải các phơng trình sau:

a) 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0

b) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0

* Nhận xét:

Hai phơng trình trên đều là những phơng trình đối xứng(Chú ý các hệ số có tính

đối xứng) Trong phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì a1 cũng là nghiệm Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1 Ph-

ơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ y = x +

Cách2: Chia hai vế của phơng trình cho x2 (Vì x ≠ 0)ta đợc:

Với y = 2 ta có x2 – 2x + 1 = 0, nên x = 1.

Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

Ví dụ 11: Giải phơng trình:

x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

Giải: Ta thấy x – 1 ≠ 0 vì x = 1 không nghiệm đúng phơng trình

Nhân hai về của phơng trình với x – 1 ≠ 0 ta đợc x5 – 1 = 0 hay x = 1, không thoả mãn điều kiện trên

Vậy phơng trình vô nghiệm

Bài tập vận dụng Bài 6:Giải các phơng trình sau:

I/ Phơng trình bậc hai một ẩn.

ở phần này tôi xin chỉ đa ra một số bài tập cơ bản và đơn giản mà không nói sâu, tôi xin tập chung sâu ở các phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng trình bậc cao) cùng với một số phơng pháp giải

3/ Hệ quả (nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai):

Phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x1 = 1; x2 =

a c

Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0

Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu <=> { 0

P S

P S

B/ Bài tập

Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + mx – 5 = 0

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm còn lại

Bài 2: Cho phơng trình: x2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn:

- x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 6.

Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2x + m + 2

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn:

- x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 6

- x1 + x2 + 4x1x2 = 10

Bài 4: Cho phơng trình: x2 – 8x + m + 5 = 0

a) Giải phơng trình với m = 2

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng

c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia Tìm các nghiệm trong trờng hợp này

Bài 5: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0

a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình CTR: A = x1 + x2 –x1x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

x1 + x22 - 3x1x2 = 6

Bài 6: Cho phơng trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – m – 2 = 0

a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 ≤3

Bài 7: Cho phơng trình: x2 + 2x + 2m + 5 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tính A = x1 + x2 theo m

b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x1 x2 + x1x2 = 10

Bài 9: Cho phơng trình: x2 – 2x + m – 2 = 0

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu?

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 103

1

2 2

1 + =

x

x x

x

Bài 10: Cho phơng trình: 3x2 – 4x + m – 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = 6

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1 = 3x2

b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x22 = 12.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22

Bài

12 : Cho phơng trình: x2 – 3x - m + 2 = 0 (1)

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x1 + x2 = 8

d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình (1)

Bài

13 :

Cho phơng trình: x2 – 2(a – 1)x + 2a - 5 = 0

a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a

b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < 1 < x1

- Nếu trờng hợp n > 2 Đặt xn = y, phơng trình (1) đa đợc về dạng

{x y

c by ay

n=

= + + 0 2

3) Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phơng trrình – x6 + 9x3 – 8 = 0

Giải:

Cách 1: Đặt x3 = y, ta có phơng trình y2 – 9y + 8 = 0 Phơng trình này có nghiệm y1 = 1; y2 = 8, từ đó ta tìm đợc x3 = 1 và x3 = 8, suy ra x = 1; x = 2

Cách 2: Phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử, vế phải bằng 0:

- x6 + 9x3 – 8 = 0

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

12

Phơng trình này không có nghiêm x = 0, chia cảc hai về của phơng trình cho

x2 ≠ 0 rồi nhóm lại ta đợc: a(x2 + 2

Trở lại ví dụ 2 tacó cách giải sau:

Chia hai vế của phơng trình cho x2, rồi nhóm lại ta có:

Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a] = 0

Giải tiếp phơng trình đối xứng bậc chẵn:

ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a = 0, ta tìm đợc nghiệm của phơng trình

Qua hai ví dụ trên ta thấy rằng:

- Nếu hạ bậc của một phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc một phơng trình đối xứng

- Các nghiệm của một phơng trình đối xứng đôi một nghịch đảo của nhau Nh vậy nếu

a là một nghiệm của phơng trình đối xứng thì a1 cũng là nghiệm của phơng trình Vì

lẽ đó các phơng trình đối xứng (bậc chẵn hay bậc lẻ) còn đợc gọi là phơng trình thuận nghịch (bậc chẵn hoặc bậc lẻ)

Bài tập vận dụng Bài 17: Giải các phơng trình sau:

VI/ Một số cách giải các phơng trình bậc cao

ở chơng trình toán sau này chúng ta sẽ có dịp là quen với phép giải tổng quát phơng trình bậc cao ở đây chúng ta nghiên cứu một số cách giải khác để giải phơng trình bậc cao

1 Phơng pháp đặt ẩn phụ.

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

14

Thực ra phơng pháp nay đã đợc tôi đề cập đến ơ trên khi trình bày về phơng trình bậc nhât một ẩn Song ở trên tôi cha đi sâu mà mới chỉ đa ra và đề cập đến những phơng trình đa về phơng trình bậc nhất một ẩn ở đây tôi xin đa ra ở mức độ sâu hơn

2 , 1

4 , 3

2 , 1

4 , 3

24 = 0 hoặc x2 + 10x + 24 = 0 Hai phơng trình này cho các nghiệm:

2

129 15

Phơng trình còn có dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = A, để giải phơng trình dạng nay ta cũng

đặt y =

2

b x a

Vế phải là một đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc thành hai nhân tử bậc hai

x2 + px + q và x2 + rx + s, trong đó p, q, r, s là các số nguyên cha xác định, khi đó: x4

x2 - 5x + 2 = 0 và x2 + x – 7 = 0, ta đợc nghiệm của phơng trình (7) là:

2

17 5

2 , 1

x P x

Ví dụ 9: Giải phơng trình:

23

3 5

5 3

x x

5 1

+ + +

x

x x x

) 5 )(

1 (

15 2

2

=

− +

− +

y y

y y

Giải phơng trình này tìm đợc y1 = -5; y2 = 3

Bx c

x b ax

Ax

= + +

+ +

2 1

Trong đó ABC ≠ 0 và ac ≠ 0, đặt ẩn phụ y = ax + a c rồi đa về phơng trình dạng:

C b

2 2

x x

1 2 1

2 2

2 44 1

2

2 2

2

=

−

− +

−

x

x x

x x

2

, ta cã ph¬ng tr×nh 5u2 – 44v2 +12uv = 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm u = v = 0; u = 2v hoÆc u =

5 1

− +

−

x

x x x

x x

− +

x

7 10 4

5 7

8 4

x x

2 5 1

2

2

2 2

x x

x

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

18

d)

12

1 15 16

15 15 15

14

15 13

2

2 2

2

−

= +

−

+

−

− +

−

+

−

x x

x x

x x

x x

Bài 23: Giải các phơng trình sau:

4

4 3

3 2

2 1

−

+ + +

− + +

− +

−

+

x

x x

x x

x x

x

b)

3

8 2

8 2

8 1

4 1

4

− +

− +

−

+

= +

− +

−

+

x

x x

x x

x x

x

) 5 (

x

x x

x3 13 6 1

e)

11 6

6 11

f)

x

x x

78 133

78 133

Các phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn gọi là phơng trình vô tỉ.

Để giải các phơng trình này, phải khử dấu căn Sau đây là một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ:

Ta phải có thêm điều kiện: x – 3 ≥ 0 <=> x ≥ 3 (4)

Với điều kiện (4) thì

Giái trị x1 = 2 không thoả mãn ĐK (4) loại

x2 = 6 thoả mãn ĐK (2) và (4), là nghiệm của phơng trình

Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 6

Nhận xét

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

19

a) Nếu không đặt điều kiện x – 3 ≥ 0 ở (3), ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của (1) Chú ý rằng từ (3) suy ra đợc (5) nhng từ (5) chỉ suy ra đợc (3) với điều kiện x – 3 ≥ 0.

b) Có thể bình phơng hai vế của (1) với điều kiện x ≥ 0 (điều kiện này đã có ở

2x – 3 ≥ 0), nhng lời giải không ngắn ngọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế

Đến đây có hai cách giải

Cách 1: Với điều kiện 2 – 7x ≥ 0 <=> x ≤ 72 (4)

không thoả mãn điều kiện (1), loại

Giái trị x2 = 2 không thoả mãn (5), loại

3x+ + 3 x x+ = (3)

<=> 3 3 x( 2x+ 1 ) = −x (4)

<=> x(2x +1) = -x3 <=> x(2x + 1 + x2) = 0

<=> x(x + 1)2 = 0 <=> x1 = 0; x2= -1

Thử lại: - với x1 = 0 thảo mãn (1)

- với x2 = -1 không thoả mãn (1), loại

Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 0

Nhận xét:

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

20

Các phơng trình (1) và (2) hai tơng đơng, nhng các phơng trình (2) và (3) không tơng đơng Từ (2) ruy ra đợc (3), nhng từ (3) không suy ra đợc (2) Do đó sau khi tìm

đợc các nghiệm của (3) là 0 và -1, phải thử các giái trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1)

II/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

3 ( 2 9 3

2x2 x x2 x  + + +16 

63 ) 16

9 4

3 2 (

3 (

Phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ đợc thể hiện dới nhiều dạng:

1 Chứng tỏ rằng phơng trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia.

Bằng cách chứng tỏ rằng với điều kiện xác định của phơng trình, có một vế của phơng trình luôn nhỏ hơn vế kia.

Giải:

Điều kiện để xác định của (10) là x ≥ 1 Với điều kiện này thì x < 5x, do đó

1 5

+) Với x > 0 thì 3 2x+ 1 > 1và 3 x> 0 nên vế trái của (12) lớn hơn 1

+) Với x < 0 thì 3 2x+ 1 < 1và 3 x< 0 nên vế trái của (12) nhỏ hơn 1

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (12)

4 Sử dụng điều kiện xẩy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt.“ ”

Bài tập vận dụng Giải các phơng trình sau:

Bài 1:

nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981

23

1 3

3

x x

x

x

+ +

= +

c) x2 + 6 =x− 2 x2 − 1 h)

12

7 2 2

2 2

2 2

= +

+

− +

+

x

x x

−

−

− + +

− +

−

x

x x

x x x

2

2 )

2 ( 4 ) 2 )(

−

x

x x

x x

2 2

2 2

+

x

x x

1 2

1

1

a

= + + + +

Nếu a > 0, b > 0 thì 2a2 + 3ab + 2b2 > 0 Do đó a = 0 hoặc b = 0

Suy ra x = 1 hoặc x = 2 Loại x = 2 vì trái với điều kiện (*)

Phần IVPhơng trình nghiệm nguyên I/ Phơng pháp Đa về dạng tích.

Biến đổi để đa về dạng f(x,y).g(x,y) = a (a ∈Z) Với f(x,y) và g(x,y) là các đa thức với hệ số nguyên

Từ đó ta đi giải các hệ

*) Chú ý: Ta phải xét hết các trờng hợp xẩy ra

Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau:

m a y x g

) , ( ) , ( (với m ∈ Ư(a))