Bài soạn Chuyên đề ôn phương trình chưa căn thức

Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản... Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =... Quy phương trình chứa căn thức về hệ phưỡng trình không chứa căn thức Bằng cách

CHUYÊN Đề : PHƯƠNG TRÌNH & BÁT PHƯƠNG TRÌNH

q(x)< 0 q(x)>0

F(x) > gˆ(x)

* vf(x) > g(x) (3) Ta có (3)

II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Loại 1 Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản

y+iz0 2 2

={2-3y>0 =5 =5 =ly=0 ey=0

4(y+1)=(2-3y)2 Ì4y+4=4-12y+9y2 [sy -16y=0 v16

-Nếu x>2, khi đó @x~1~1>0, vậy: (2) vx~1+1+X~1~1=2©vx~1=1©x=2

~ Nếu 1<x<2, khi đó y«~1~1< 0, vậy:

(2)©wx=1+1+1-vk-1=2©

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1< x <2

5/ Xét phương trình: qj%x + 3~44jX=1 + sỶx + 8~6\x =1 =1(1)

Ta c6: (1) <2 y[ve=1-2) + = =1e|Wx=1~2|+|Wx=1 -3|

-Nếu x>10, khi đó x~1 -3> 0, vậy

(Qe ve-1- 2+ yk-1-3=10 4k-1 =3 ox=10

-Néu x<5,khidé yx—-1-2<0, vay

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =

ax 4x (do 1+ J1-4x? > 0 khi có nghiệm)

P xị=h- sẽ} <39|_ age ro) (Go rsfi-2 Tra SẼ >t cb nanemy

48x? +16

(2x+4)~4(2~—x) _ 2(6x~—4) v2x+4+2J2-X xj0x2+16

'Thực hiện phép nhân liên hợp ta có:

(ai nhân liên hợp lần thứ hai)

Điều kiện x>1 Đặt y=ŸÏ2~x ©y3=2-x©x=2-yŸ

Khi đó (1) có dạng: y+aj1-y? >1© 1-y? >1-y (2)

Do x21,nén y=32-x<1

a-y>1-zyey? ly? ty? -2y<0 “he +y-2)<0 Ìy<-2

vay nghiệm của (1) là:

3/ Xét bất phương trình: fx? - 8x +15 + yx? + 2x-15 > 4x2 -18x +18 (1)

Ta có: (1) <> Y= 3-5) + RTT S) > YR 3X6) (2)

(x-3)Ke-5)20 [x«-5 Miền xác định của (1) là ‡(x~3)(x+5)>0©|x=3

'Vậy nghiệm cúa hệ phương trình đã cho là:

Loại 2 Quy phương trình chứa căn thức về hệ phưỡng trình không chứa căn thức

Bằng cách đặt ẩn phụ, ta quy phương trình chứa căn thức vẽ một hệ phương trình không chứa căn thức Trong chuyên đề "Phương trình và hệ phương trình không chứa căn thức”ta đã đề cập đến một số bài tập thuộc loại này

“Ta chỉ xét thêm vải thí đụ nữa

Thí dụ 2:

Giải phương trình sau: 2(x2 +2) = 54x” +1 (1)

Viết lại (1) dưới dạng tương đương sau: 2(x2 +2) =5-& +1ajx2 -x+1 (2)

Đặt u=xX+1; v=Alx”~x+1, với điều kiện x>~1

Vậy ta dẫn đến: 2(u2 - v2) = 3uv ©(u ~2v)(v +2u) =0 ©u= 2v (do 2u +v >0

ras ois [IE

x=3-<13 Thí dụ 3: : 5

“Giải phương trình sau: (&i¬x) +(##si>} =123 (1)

Ta có: uŠ +vŠ =(uŠ + vŸ)(u2 + v2)~ u2v2(u + v) (do uv = 1)

~(Ẻ +v2(t2 +v2)~(0+v) =[(u+v)Š~3w(0+v) [(u+ v? =2uv]~(u+v)

Wades -0 [eo zetews) |

Vậy (1) có 3 nghiệm x = 2; x = -3; xe}

„u=5 (đo u>0)

'Vậy (1) dẫn đến phương trình hệ quả sau:

- Abi oad 21-94 7 be —46e+ 429-0 - S=lx=<3 TT =x=3

Thử lại x = 3 vào (1) thấy đúng, vây (1) có nghiệm duy nhất x = 3

Hệ phương trình chứa căn thức

@ of ety) + yey -20-0 yxry=4 (do (ÄX+y>0)œx+

4) (2) x+y =16 2 x+y =16 2 fer 16

vây hệ (1) (2) có hai nghiệm (10, 6) và (6, 10)

Tử (3) (4) suy ra: 2j(xy)” + 964 ~ 2xy)+ 81 = 82 ~64 +2xy

= yoy)? + 9(64 ~ 2xy) + 81 = 18+ 2ny (5)

Đặt xy = t từ (5) có: —18t+ 2 657 -9+t

ofS LỆ —18E+ 657 = 81+18E+ E2 22 [t=16

vậy đi đến hệ |X*Ÿ “8C x~y =4, ny=16

u+v=13 (u+v=13

Đặt u=xX+5+JX; v=Aÿy+5+„jÿ,ta có hệ si s_ © 65

Điều kiện -1<x<2, ~1<y <2

Viết lại hệ (1) (2) dưới đạng tương đương sau: { r1 +aB—y = 8

Vậy (1) (2) có hai nghiệm (-1, -1); (2, 2)

Loại 5 Sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Vậy f(x) là hàm số đồng biến khi xi

Ta có f(-1) = 0 Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của (1)

Thí dụ 2:

Giải phương trình sau: yx? +15 =3x-2+yx2+8 (1)

Viết lại (1) dưới dạng f(x) = 3x ~2 + jx2 + A? 415=0 (2)

Ham số f(x) xác định với mọi x thuộc R Xét hai khả năng sau:

Vậy f(x) là hàm đông biến khi x >Ÿ Mặt khác 1) = 0

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của (1)

Tir dé suy ra nghiệm của (2) là x > 0

: víx+2(2x=1)~3-K+6=4~-ƒX+6)GX=1)+3K+2 (1)

Viết lại (1) dưới dạng tưởng đương:

f0)= JOP TORT) - 3456 + Vx+ 92x=Ð ~3-fĂ +5 =4

Vay f(x) la ham dong bién khi x25, mat khdc F(7) = (13 +3)(13 -3) =4

Do đó x = 7 là nghiệm duy nhất của (1)

Dễ thấy từ đây suy ra x = y = 0 hoặc x = ÿ = 2

Đó là hai nghiệm của hệ (1), (2)

vay (1) (2) = {

Loại 6 Phương pháp đánh giá hai vế để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức Phương pháp này dựa trên nhận xét sau:

f@)>A VxeD Với phương trình f(x) = g(x), xD có tính chất sau: li

phương trình sau: yx—2+/4—x =x? -6x+11 (1)

Ta thấy miền xác định của (1) là D= {X:2<x<4}

~ Nấu > 3 và xeD, Öì V3) > 0,VTG) < 0, đo để loại khả năng này,

~ N8ux < 3 và xeD, tÖì V3) < 0, VI) > 0, đo đồ loại khả năng này,

~ Với x = 2, thì rõ xe D và thóa mãn (3), do VP =VT =0

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (1)

Vậy x = ~1 là nghiệm duy nhất của (1)

'Chú ý điều kiện đế (1) có nghĩa là 5x-220Sx>Ê

'Từ (2) và theo bất đẳng thức Côsi suy ra: (2) ©x?+x+1=5x~2©x2~4x+3= se xe1

3

2/ Xét phương trình: 2x2 +2x +¬2j2x—1 =xj3XẼ +4x+1 (1)

xP 42x20 Điều kiện là ‡2x~1 >0 exe

Vây (1) có nghiệm duy nhất x =

Loại 7 Phương trình và bất phương trình chứa căn thức có tham số

Dạng 1 Giải và biện luận phương trình và bãt phương trình căn thức có tham số Thí dụ

~ 2m thöa mãn (2) và (3), ta cần có

Từ đó suy ra:

~ Nếu m < 0: Phương trình có nghiệm x =

~ Nếu m = 0: Phương trình có nghiệm x

~ Nếu 9 <m 2: Phương ình có nghiệm x =

rang (2) vô nghiệm

x»o -2x<0 0<x<a

Ta thấy (3) ©|Ía2-x2»g ||-a<x<a©| aw§ =-3<x<a

Phương trình (1) vô nghiệm

2 Nếu a 0: Phương trình (1) có nghiệm là Hễ

sau: 1.Nếua =

<xs|

Dạng 2 Các bài toán định tính vẽ phương trình và bất phương trình chứa tham số

Thí dụ 1:

‘Cho phương trình: ¥4—x+yx+5=m

‘Tim m để phương trình có nghiệm duy nhất

Thay lại vào (1) có £ Bem tay m

'Vậy điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là m = 3/2

Đảo lại: khi m = 32 , ta có phương trình: y4—x + +5 =3y2

Lập bảng biến thiên sau:

Từ đó suy ra (*) có nghiệm duy nhất (tức là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi:

1

mf[-Ÿ)=3/P

2/ Ta xét cách giải thứ ba như sau:

Đặt u=x4~x >0, v=aX +5 >0 u+v=m

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất tương đương với hệ sau: © 4u” +v2 =9 có nghiệm duy nhất

Từ đó suy ra hệ trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng

+v=m là tiếp tuyến với cung trỏn A8 (cung ở góc phần tư thứ nhất),

tức là khi và chỉ khi m = 3x/2

Thí dụ 2:

Cho phương trình: yx+3+J6—x - f(x+3(6-x) =m

‘Tim m 48 phurong trinh có nghiệm

Dễ thấy (1) có nghiệm e (2) (3) có nghiệm

Cũng thấy ngay điều đó xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng u+v =1+-/“10+ 2m nằm giữa hai đường thẳng u + v'

TII BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC

1 Các đề thi tuyến sinh BH - CB

(Đại học, Cao đẳng khối B - 2002)

Ä⁄-y=ax-y @) x+y=#+y+? (2)

(Đại học Cao, đẳng khối D - 2002)

Vay nga cia (2) 8 (=, -2] () V3 +>)

Bai 3: (Bai hoc, Cao đẳng khéi A - 2004)

Giải bất phương trình: w

Vay nghiém cia (1) 18x >10 - 34

(Đại học, Cao đăng khối D - 2004)

Ta có uŠ + vŸ =1~3m© (u+v) ~3u(u + v)=1~3m

Khi u+v=1,ta có uv=m

Điều đó xây ra khi va chikhi {27° (dos P20 =1 > 0) m>0 osms2 in +

Vay 0 <in-< 2 tt oS cde gi tị căn im của tham số m

Bài 5: (Đại học, Cao đẳng khối A - 2005)

Giải bất phương trình: y5x=1~-f£=1 >/2x=4 (1)

Vậy nghiệm của (1) là 2<x <10

Bài 6: (Đại học, Cao đẳng khối D - 2005)

phuong tinh: 2yx=2+2k=1—vxs1=4 (1)

Thay (4) vào (5) và có: 4 =-#2+1+ yjy+1<4

Điều đó chứng tö rằng trong bất đẳng thức Bunhiacopski có dấu bằng

: (Đại học, Cao đẳng khối B - 2006)

Cho phutong trinh: yx? +mx +2 =2x +1 (1)

‘Tim m dé (1) có hai nghiệm phân biệt

Ta có (1)© fF

Bài toán trở thành: Tìm m để hệ (2) (3) có hai nghiệm phân biệt Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm

phân biệt xị, xạ sao cho wo me-$

A»0 an (4) af{-4)20 (6) (3)

27-2

vay m>Š là tập hợp các giá trị cần tìm của tham số m

Bài tập tự giải

Đáp số: x= 2

ÿ_5

Ễ 2 Dap sO: (1, 4); (4, 1); (1, -4); (-4, -1)

| Giải và biện luận theo a bat phương trình sau: -/x-— a > y¥x- 2a+/x —3a

Dap số: 1/ Nếu a < 0: vô nghiệm

.2/ Nếu a>0: 3a sx < 28G - vẼ)

Bài 7:

Giải và biện luận theo a bất phương trình sau: Ja +x + fa- vx <Š ^5

Đáp số: 1/ Nếu a < 0: vô nghiệm

2/ Nếu 0<a<1: 0<x«<aˆ

3/ Nếu 1<a<2: 4(a- 1) <x <aˆ

4/ Nếu a > 2: vô nghiệm