Lý do chọn đề tài Trong chơng trình Toán THCS, các bài toán về phơng trình chứa ẩn ở dới dấu căn hay còn gọi là phơng trình vô tỉ không đợc đợc đề cập trong một phần mục riêng nhng nó lạ
Trang 1phơng trình vô tỉ cách giải phơng trình vô tỉ
phần thứ nhất đặt vấn đề
I Lý do chọn đề tài
Trong chơng trình Toán THCS, các bài toán về phơng trình chứa ẩn ở dới dấu
căn( hay còn gọi là phơng trình vô tỉ) không đợc đợc đề cập trong một phần mục
riêng nhng nó lại có nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng Các bài toán dạng này
đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống một số kiến thức khác nh: phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, ĐKXĐ của một số loại biểu thức Nó nâng cao khả năng vận dụng, phát triển khả năng t duy cho học sinh, ngoài ra nó còn là một trong những kiến thức đợc sử dụng thi đầu vào khối THPT
Trên thực tế, với kinh nghiệm bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy HS th-ờng mắc một số khuyết điểm sau khi giải phơng trình vô tỉ:
- Thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phơng trình
- Chỉ giải đợc dạng phơng trình đơn giản trong SGK
- Khi bình phơng hai vế của phơng trình để làm mất căn bậc hai thờng các em không tìm điều kiện để cả hai vế không âm
- ở dạng phức tạp hơn thì các em cha có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng giải rất hạn chế, các em thờng không có cơ sở kiến thức để phát triển phơng pháp giải
Để giúp các em học sinh nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phơng pháp giải
từng dạng, tôi mạnh dạn viết chuyên đề: '' Các dạng phơng trình chứa ẩn ở dới dấu
căn và cách giải'' áp dụng cho khối THCS Hy vọng chuyên đề này phần nào tháo
gỡ những khó khăn cho các em học sinh khi gặp dạng phơng trình này và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp Với kinh nghiệm còn hạn chế và thời gian nghiên cứu cha nhiều, chuên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Do vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý của các bạn đồng nghiệp để chuyên
đề này có thể đợc áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất lợng học tập của các
em học sinh
II - Đối tợng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 9 trờng THCS
- Học sinh thi học sinh giỏi huyện
Iii- phơng pháp nghiên cứu:
- Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK
- Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá, giỏi - trung bình - yếu, kém
- Đa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện
Trang 2- Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiều kinh nghiệm
- Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh
- Dạy thực nghiệm một tiết trên 2 lớp 9 của trờng
iV - Phạm vi nghiên cứu:
- Giới thiệu, nghiên cứu phơng trình vô tỉ trong chơng trình đại số lớp 9
v - điều tra cơ bản:
* Tổng số học sinh khối 9: - 42 học sinh/2 lớp 9 - đại trà
- 1 học sinh đội tuyển Toán giỏi trờng tham dự thi học sinh giỏi huyện
* Phân loại: - Khá, giỏi: 10 học sinh
- Trung bình: 20 học sinh
- Yếu, Kém: 12 học sinh
* Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 42/42 học sinh có đủ
phần thứ hai giải quyết vấn đề
i - Kiến thức cần sử dụng
Để giải quyết tốt các vấn đề về phơng trình vô tỉ thì học sinh cần nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau:
Trang 31 + Khái niệm về phơng trình, nghiệm của phơng trình, ĐKXĐ của phơng trình
+ Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phơng trình tơng đơng
+ Cách giải các loại phơng trình cơ bản nh: Phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình bậc hai một ẩn số
+ Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số
2 Học sinh nắm chắc:
+ Các kiến thức về phơng trình nói chung và phơng pháp giải các loại phơng trình đã học nh phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, + Các kiến thức cơ bản về căn thức
+ Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
+ Các dạng phơng trình vô tỉ, cách giải từng dạng
+ Những sai lầm thờng gặp khi giải phơng trình vô tỉ
ii - các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản và cách giải:
Dạng 1: = m
Đây là dạng đơn giản nhất của phơng trình vô tỉ
I.Ví dụ: Giải các phơng trình sau:
1) 2x 1 2
ĐKXĐ:
2
1
x
2x – 1 = 4
x =
2
5
( Thoả mãn)
Vậy nghiệm của phơng trình là x =
2 5
2) 3x2 12x8 45 ĐKXĐ :
3
2
x
5
2
3
5 2
3
5 3 2
3
3
5 3 2 3 2 2
3
x
x
x
x x
x =1( Thoả mãn)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 1
3) 2x 5 50 8 18 ĐKXĐ :
2
5
x
) (
2
5
0 5
2
0 5
2
Tm
x
x
x
Vậy nghiệm của phơng trình là x =
2 5
Trang 44) 4x 3 48 12 ĐKXĐ :
4
3
x
3 2 3
4
Vậy phơng trình vô nghiệm
II.Nhận xét
Phơng trình = m
- Nếu m > 0 thì ta bình phơng 2 vế
- Nếu m = 0 thì f(x) = 0
- Nếu m< 0 thì phơng trình vô nghiệm
2 Dạng 2 = g (x) (1).
I Ví dụ
1) Giải phơng trình: x 5 = 1 - x (1)
Giải
Phơng trình (1) 1 - x 0 x 1 (2)
x + 5 = (1 - x)2 x2 - 3x - 4 = 0 (3) Giải phơng trình (3) : (x + 1)(x - 4) = 0 => x = -1 hoặc x = 4
Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = -1 thoả mãn Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình (1)
2) x + 3x 1 3 Để đơn giản hơn ta có thể trình bày lời giải nh sau
ĐKXĐ: x -1/3
0 8
9
) 3 0
3 ( ) 3
(
1
3
3
1
3
2
2
x
x
x x
x x
x x
x = 1( tm) ; x = 8(loại)
Vậy nghiệm của phơng trình là x =1
II Cách giải:
= g (x) g(x) 0 (2).
f(x) = [g(x)] 2 (3).
Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phơng trình (1).
Dạng 3: Biểu thức ở dới dấu căn có dạng bình phơng
I Ví dụ: Giải các phơng trình sau
1)
1
7 4
3 4 3 4 3
4 )
3 (
4 9
6
2 2
x
x x
x
x
x
x x
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 7 ; x=-1
Trang 52)
(*) 2 5 4
2 5 )
4
(
x x
x x
- Nếu x-4 thì phơng trình (*) có dạng
x+ 4 = 5 – 2x
x =
3
2
( Tm)
- Nếu x<-4 thì
- x- 4 = 5 – 2x
x = 9( loại)
Vậy nghiệm của phơng trình là x =
3 2
3) 2 2 1
x
x
x = 4 (1)
Giải
Phơng trình (1) (x 1 ) 2 (x 3 ) 2 4
x 1 x 3 4 (2)
3 1 0 3 0 1
x x x x x
(*)
PT (2) có dạng x + 1 + x - 3 = 4 x = 3 thoả mãn (*)
+) Nếu
3 1 0
3 0 1
x x x
x
(không xảy ra)
3 1 0 3 0 1
x x x x
(**)
PT (2) có dạng x + 1 + 3 - x = 4 0x = 0
PT này có vô số nghiệm thoả mãn (**)
3 1 0 3 0 1
x x x x
(***) Phơng trình (2) có dạng: - x - 1 - x + 3 = 4 - 2x = 2 x = -1, thoả mãn điều kiện (***)
Kết hợp nghiệm phơng trình đã cho có nghiệm -1 x 3
4)
x 3 4 x 1 + x 8 6 x 1 5 (1)
Giải
Điều kiện: x 1
Phơng trình (1) x 1 4 x 1 4 + x 1 2 3 x 1 9 = 5
( x 1 2 ) 2 ( x 1 3 ) 2 5
x 1 +2 + x 1 3 = 5 (do x 1)
Vì vế trái luôn không âm nên ta có: 3 - x 1 0 x 1 3 0 x 1 9
10
1
Trang 6Kết hợp điều kiện ta thấy 1 x 10 là nghiệm của phơng trình đã cho
II.Nhận xét
-Nêú biểu thức ở dới dấu căn viết đợc dới dạng bình phơng thì đa về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 4 : Biểu thức ở ngoài biến đổi đợc theo biểu thức ở dới dấu căn( trong căn) :
I.Ví dụ: Giải phơng trình sau:
1)
0 6 3 3
3 3
2 2
2
2
x
x
x
x
Đặt 2 3 ( 0 )
x
Thì phơng trình có dạng
y2 - y – 6 =0
y = 3 (tm) ; y = -2( loại)
y = 3 2 3 3 2 6 6
x
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 6 ; x = - 6
2) x2 + 2 3 5
x
x = 3x + 7 (1)
Giải
Phơng trình (1) x2 - 3x - 7 + 2 3 5
x
x2 - 3x + 5 + 2 3 5
x
x - 12 = 0 (2) Điều kiện: x R
Đặt 2 3 5
x
x = t ( t 0 ) => x2 - 3x + 5 = t2 (*)
Phơng trình (2) có dạng : t2 + t - 12 = 0
= 49 > 0 = 7
Vậy phơng trình có hai nghiệm: t1 = 3 ; t2 = - 4
Vì t 0 nên t = 3 thoả mãn
Theo (*) ta có : x2 - 3x +5 = 9
x2 - 3x - 4 = 0 <=> (x+1)(x-4) = 0 Vậy nghiệm của phơng trình là: x = -1 ; x= 4
II.Nhận xét
-Nếu biểu thức bên ngoài biến đổi đợc theo biểu thức trong căn thì thờng đặt ẩn phụ
(điều kiện của ẩn phụ là không âm)
Dạng 5 : f(x) a g(x) f(x) a g(x) m
Trang 7I Ví dụ : Giải phơng trình
6 9 6 9
6
x x x
x 6x 9 2 (x 6x 9 )(x 6x 9 ) x 6x 9 36
2x + 2 2 6 9
x
x + x 3 = 18
-Nếu x 3 thì phơng trình có dạng x + x- 3 = 18 x = 21/2( Tm)
-Nếu x<3 thì phơng trình có dạng x – x + 3 = 18 0x = 15(PTVN)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 21/2
II Ph ơng pháp giải
Dùng phơng pháp bình phơng 2 vế :
Dạng 6 + = m ( m là hằng số)
I Ví dụ : Giải phơng trình
1) x 1 x 7 2 ĐKXĐ: x -1 ; x 7
)
(
8
1
7
1 7
7 7 4 4
1
7 2
1
tm
x
x
x
x x x
x x
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 8
2) Giải phơng trình: x 3 + 1 x = 2 (1)
Giải
Điều kiện: x + 3 0 x - 3 -3 x 1 (*)
1 - x 0 x 1
Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên bình phơng hai vế ta có:
x + 3 + 1 - x + 2 x 3 1 x = 4 x 3 1 x = 0
=> x = 1 hoặc x = -3
Cả 2 nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là : x = -3 hoặc x = 1
II.Ph ơng pháp giải
- Đặt ĐKXĐ
- Bình phơng 2 vế
- Chú ý đặt điều kiện 2 vế không âm
Dạng 7
+ =
I.
Ph ơng pháp giải
Trang 8- Đặt ĐKXĐ
- Bình phơng 2 vế
II.Ví dụ : Giải phơng trình
1
5 x - 3 x 2 = x 1 (1)
Giải
Điều kiện: 5x - 1 0 x
5
1
3x - 2 0 x
3
2
x 1 (*)
x - 1 0 x 1
Phơng trình (1) có dạng : 5 x 1 = 3 x 2 + x 1
Với điều kiện (*) bình phơng 2 vế của phơng trình (1) ta có :
5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2 3 x 2 x 1
x + 2 = 2 3 x 2 x 1
Với x 1 cả hai vế của phơng trình này không âm , bình phơng 2 vế của
ph-ơng trình ta đợc:
(x + 2)2 = 4.(x - 1)(3x - 2) x2 + 4x + 4 = 12x2 - 20x + 8 = 0
11x2 - 24x + 4 = 0
(x - 2)(11x - 2) = 0 x = 2 hoặc x =
11 2
Theo điều kiện (*) thì phơng trình chỉ có nghiệm x = 2
Vậy x = 2 là nghiệm của phơng trình
Dạng 8
+ + n = g(x) (1)
I.Sơ đồ cách giải.
Điều kiện: f(x); h(x) 0
Đặt t= + (t 0) => t2 = f(x) +h(x) +2 từ đó ta giải tiếp => =( t2 - f(x) - h(x)):2
II.Ví dụ : Giải phơng trình
1
x + 3 x - x 1 3 x = 2 (1)
Giải
Điều kiện : x + 10
3 - x 0 -1 x 3 (*)
Đặt t = x 1+ 3 x ( t > 0) , ta có : t2 = x + 1 + 3- x+ 2 x 1 3 x
=> 2 x 1 3 x = t2 - 4 (**) Khi đó phơng trình (1) có dạng: 2t - ( t2 - 4 ) = 4
t2 -2t = 0 t ( t - 2) = 0 (2)
Phơng trình (2) có hai nghiệm là t1 = 0; t2 = 2
Nghiệm t = 2 thoả mãn điều kiện: t > 0
Khi t = 2 theo (**), ta có : 2 x 1 3 x = 22 - 4
x 1 3 x = 0 = > x = -1 hoặc x = 3
Trang 9Cả 2 nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3
III Nhận xét chung
- Nh vậy đứng trớc một bài giải phơng trình vô tỉ nhìn chung ta có một số phơng pháp giải sau:
+ Bình phơng hai vế ( Chú ý đăt ĐKXĐ và điều kiện 2 vế không âm)
+ Đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
+ Đặt ẩn phụ ( Chú ý điều kiện của ẩn phụ)
- Ngoài 3 phơng pháp chủ yếu ở trên thì còn có Ph ơng pháp dùng bất đẳng thức
đợc dùng ở nhiều dạng khác nhau
1)Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau Khi đó phơng trình vô nghiệm:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
x 2 x 2 8
Giải
Điều kiện: x 2
Với điều kiện này thì vế phải luôn lớn hơn vế trái nên ph ơng trình là vô nghiệm
Ví dụ 2: Giải phơng trình.
2 1 2 2 2
Giải
Vì
1 2 2 1 1
2 2
x
x
Vậy vế trái là: 2 1 2 2
x > 2 , còn VP = 2 Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phơng trình.
x 1 5x 1 3x 2
Giải
Điều kiện: x 1
Với điều kiện này thì x < 5x do đó x 1 5x 1 x 1 5x 1<0
vế trái luôn âm còn vế phải không âm nên phơng trình đã cho vô nghiệm
2 ) Sử dụng tích đối nghịch ở hai vế.
Ví dụ 1 : Giải phơng trình.
x
x 3 5 = x2 - 8x + 18 (1)
Giải
Ta có vế phải x2 - 8 x + 18 = (x - 4)2 + 2 2 x
Trang 10Vế trái sử dụng bất đẳng thức: 2 (a2 + b2) (a + b)2
Ta có: ( x 3 5 x)2 2 (x - 3 + 5 - x) = 4
x 3 5 x 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả hai vế có giá trị bằng 2
Vậy (1) x2 - 8x + 18 = 2 (2)
x
x 3 5 = 2 (3) Giải phơng trình (2):
x2 - 8x + 16 = 0 (x - 4)2= 0 x = 4
Thay x = 4 vào (3) thoả mãn,đồng thời x = 4 thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 4
Ví dụ 2 : Giải phơng trình.
3 2 6 7 5 2 10 14
Giải
Ta viết phơng trình dới dạng:
1 ) 4 5 ( 1 ) 9
(
3 x 2 x 2 5 - (x + 1)2
Vì 3(x + 1)2 0 và 5(x + 1)2 0 nên
4 4 ) 1
(
9 9 ) 1
(
5 x 2 = 3
Còn Vế phải là 5 - (x + 1)2 5
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi 2 vế đều bằng 5 (x+1)2= 0 x= -1 Kết luận: Nghiệm của phơng trình cho là x = - 1
3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ1 : Giải phơng trình.
x 1 x 8 = 7 (1)
Giải
Ta thấy x = 8 là nghiệm của phơng trình (1) Nếu x < 8 thì x 1< 3; x 8< 4
Vậy vế trái nhỏ hơn 7 x < 8 không là nghiệm của phơng trình (1) Nếu x > 8 thì x 1> 3; x 8 > 4
Vậy vế trái lớn hơn 7 x > 8 không là nghiệm của phơng trình (1) Vậy x = 8 là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình.
3 2 1
x = 3 (1)
Giải
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình
Vế trái 5
Trang 11Với x > 3 thì 3 x 2 1; x 1 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với - 1 x < 3 thì 3 x 2 1 ; x 1 2 nên vế trái (1) nhỏ hơn 3
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1)
Ví dụ 3: Giải phơng trình.
3 2 1 3 1
Giải
Ta sẽ chứng tỏ x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình
Thật vậy x = 0 là nghiệm đúng của phơng trình (1)
Với x > 0 thì 3 2 x 1> 1; 3 x> 0 nên VT của (1) lớn hơn 1
Với x < 0 thì 3 2 x 1< 1; 3 x< 0 nên VT của (1) nhỏ hơn 1
Vậy x= 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1)
4 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức không chặt.
Ví dụ : Giải phơng trình.
3 2 2
2
x
x x
Giải
Điều kiện : x >
3
2
(*)
Ta có bất đẳng thức Côsi với a, b > 0 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b
Với điều kiện (*) thì (1) x = 3 x 2 x2 - 3x + 2 = 0
(x-1)(x-2) = 0
x = 1 hoặc x = 2 thoả mãn điều kiện (*)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2 hoặc 1
5 Sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc chẵn, của căn bậc hai
Ví dụ : Tìm x, y, z R trong phơng trình
x + y + z + 4 = 2 x 2 + 4 y 3 + 6 z 5 (1)
Giải
Ta sử dụng tính chất : An(x) + Bn(x) + Cn(x) + 0 x (n2, n chẵn, n N) Thật vậy,phơng trình (1) (x- 2 - 2 x 2 + 1) + (y - 3 - 4 y 3 + 4) + (z-5 - 6 5
z + 9) = 0
( x 2- 1)2 +( y 3- 2)2 + ( z 5-3)2 = 0 (2)
Vì A2(x) 0 x nên phơng trình (2)
0 3
5
0 2
3
0 1
2 -x
z y
14 7 9
5 4 3 1 2
z y z
y
Vậy phơng trình (1) có nghiệm (x;y;z) = (3;7;14)
iv - một số sai lầm khi giải ph ơng trình vô tỉ:
Thờng học sinh hay mắc phải sai lầm khi giải phơng trình vô tỉ mà căn là bậc chẵn là: