CHUYÊN ĐỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC SAI LẦM KHI GIẢI PT VÔ TỈ I-MỤC TIÊU: HS:Nắm được các phương pháp giải PT vô tỉ HS:Biết được các sai lầm cần tránh HS:Biết vận dụng các phương pháp
Trang 1CHUYÊN ĐỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC SAI LẦM KHI GIẢI PT VÔ TỈ I-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải PT vô tỉ
HS:Biết được các sai lầm cần tránh
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
II-CÁC SAI LẦM KHI GIẢI PT VÔ TỈ:
Ví dụ 1:
Giải pt: x− 1 − 5x− 1 = 3x− 2 ( 1 )
Lời giải sai:(1) ⇔ x− 1 = 3x− 2 + 5x− 1 ( 2 )
Bình phương hai vế :x-1 = 5x-1+3x-2+2 15x2 − 13x+ 2 ( 3 )
Rút gọn :2-7x = 2 15x2 − 13x+ 2 ( 4 )
Bình phương hai vế :4-14x+49x2= 4(15x2-13x +2)(5)
Rút gọn ;11x2-24x +4 = 0
(11x-2)(x-2) = 0
2
; 11
2
2
1 = x =
x
Phân tích sai lầm :Không chú ý đến ĐK Căn thức có nghĩa
1
−
x xác định khi x ≥ 1.Do đó x = 112 Không phải là nghiệm
Sai lầm thứ hai (4) và (5) Không tương đương
Mà (4)
+
−
=
−
≥
−
⇔
) 2 13 15 ( 4 ) 7 2 (
0 7 2
2
x
x
PT(5) là PT hệ quả của PT (4),nó chỉ tương đương với (4) với ĐK 2-7x ≥ 0.Do đó x=
2 cũng không phải là nghiệm của (1)
Cách giải đúng :
Cách 1:Giải xong thử lại
Cách 2:Đặt ĐK căn thức xác định x≥ 1,x ≤72.Do đó khi giảixong KL phương trình vô nghiệm
Cách 3:Chứng minh Vế trái số âm Còn vế phải không âm.KL phương trình vô nghiệm
Ví dụ 2: Giải PT(x+3) x− 1 = 0
Lơì giải sai:Ta có :(x+3) x− 1 = 0
=
−
=
⇔
=
−
= +
⇔
1
3 0
1
0 3
x
x x
x
Nhận xét :Rõ ràng x=-3 không phải là nghiệm của PT
Ghi nhớ :
=
=
≥
⇔
=
0 0
0 0
B A
B B
A
Ví du 3:Giải PT:
Trang 2Lời giải sai: x+ 4 =x+ 2
= +
−
≥
⇔
+ +
= +
−
≥
⇔ +
= +
≥ +
⇔
0 ) 3 (
4 4
4 4
4 )
2 ( 4
0 4
2
x x
x x
x x
x x
−
=
=
⇔
−
=
=−
≥
⇔
3
0 3
04
x
x x
x
x
Nhận xét :Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của PT
Ghi nhớ :
=
≥
⇔
B A
A B A
2
5
−
+
x x
2
5 2
=
−
+
x
x
−
=
≥
⇔
−
= +
≥
−
⇔
−
= +
⇔
=
−
+
⇔
7
2 2
5 2
0 2 2
5 2 1 2
5 2
x
x x
x
x x
x x
x
Vậy PT trên vô nghiệm
Nhận xét :PT đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ :
>
≥
<
≤
−
−
=
0
;
0 B
khiA B
B A B
A
A
0 B 0;
A khi
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi A≤ 0 ;B< 0Nên mấtmột
nghiệmx=-7
Ví dụ 5:GiảiPT:2 x− 4 + x− 1 = 2x− 3 + 4x− 16
Lời giải sai: Ta có :2 x− 4 + x− 1 = 2x− 3 + 4x− 16
−
=
−
≥
−
⇔
−
=
−
⇔
− +
−
=
− +
−
⇔
3 2 1
0 1 3
2 1 )
4 ( 4 3 2 1 4
2
x x
x x
x x
x x
x
=
≥
⇔ x x 21;Vậy PT có nghiệm x= 2
Nhận xét :Ta thấy x=2 không phải là nghiệm của PT
C B
A C
A B
Ví dụ 6:Giải PT: x(x− 1 ) + x(x− 2 ) = 2 x(x− 3 )
Lời giải sai:Ta có x(x− 1 ) + x(x− 2 ) = 2 x(x− 3 ) ⇔ x. x− 1 + x. x− 2 = 2 x. x− 3
3 2 2
−
⇔ x x x ;Căn thức có nghĩa ⇔ x≥ 3Khi đó ta có :
3 2 2 1
3 2
3 1
−
>
− +
−
⇒
−
>
−
−
>
x
x
x
x
.Do đó PT vô nghiệm
Nhận xét :Có thể thấy ngay x = 0 là một nghiệm của PT.Việc chia hai vế cho x đã làm mât nghiệm này
Ghi nhớ:
≤
≤
−
−
≥
≥
=
0
; 0
.
B khiA B A
B A B
Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp x = 0,và xét trường hợp x<0
Trang 3CHUYÊN ĐỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
II-MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1-Phương pháp bình phương hai vế của PT:
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương hai vế của PT
Ví du 1ï:Giải PT:2+ 2x− 1 =x(1)
Giải:ĐK:x ≥21(2)
PT(1) ⇔ 2x− 1 =x− 2 ( 3 );ĐK: x≥ 2(3)⇔ 2x− 1 = (x− 2 ) 2 ( 5 ) ⇔x2 − 6x+ 5 = 0
Giải x1=1 không thõa mãn (4);x2= 5thoã mãn cả (2)và (4).Vậy PT có nghiệm x = 5
Ví dụ 2:Giải PT: x+ 1 − x− 2 = 1 ( 1 )
Giải:ĐK:x ≥ 2(2) PT(1) ⇔ x+ 1 = 1 + x− 2 ( 3 ).Hai vế của (3) không âm bình phương hai vế :x+1= 1+x-2+2 x− 2 ⇔ 2 = 2 x− 2 ⇔ x− 2 = 1 ⇔x− 2 = 1 ⇔x= 3,thõa mãn ĐK (2) Vậy PT có nghiệm x = 3
2-Phương pháp:Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ: Giải PT: x2 − 4x+ 4 +x= 8(1)
5
x
luận
Kết
nghiệm vô
PT 8, x 2 x
-2thì
x
Nếu
xét.
đang khoảng
Thuộc
5, x 8 x 2 -x 2thì x Nếu Giải(1)
=
= + +
<
=
⇔
= +
≥
= +
−
⇔
= +
−
⇔ (x 2 ) 2 x 8 x 2 x 8
3-Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ:Giải pT:x2 - x2 − 2 = 4
Giải:ĐK: x2 ≥ 2;PT đã cho có dạng: x2 − 2 − x2 − 2 − 2 = 0
Đặt : x2 − 2 =t ≥ 0 PT có dạng t 2 −t− 2 = 0 Giải t 1 = 2 ;t2 = − 1 ( loại)
Với t = 2 Thì x2 − 2 = 2 ⇔x2 = 6 ⇔x= ± 6
Kết luận:x = ± 6
4-Phương pháp đưa về HPT hữu tỉ:
Giải PT: 3 x− 2 + x+ 1 = 3;
Giải:ĐK:x≥ − 1 ( 1 )
Đặt 3 x− 2 = y, x+ 1 =z;Khi đó x-2= y3 ;x+1 = z2
Ta có HPT sau:
≥
=
−
= +
) 4 ( 0
) 3 ( 3
) 2 ( 3 3 2
z
y z
z y
;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;Giải tìm x = 3(Thoã
mãn)
Kết luận:x= 3
5-Phương pháp BĐT:
a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau:
Ví dụ:Giải PT: x− 1 − 5x− 1 = 3x− 2 ( 1 )
ĐK:x ≥ 1;Ta có với ĐK này thì x < 5x
Trang 4Do đó
nghiệm vô
PT vậy âm không phải
vế âm số một (1)là trái Vế
⇒
−
<
− 1 5x 1
x
b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế:
Ví dụ: Giải PT: 3x2 + 6x+ 7 + 5x2 + 10x+ 14 = 4 − 2x−x2
Giải:Vế trái của PT: 3 (x+ 1 ) 2 + 4 + 5 (x+ 1 ) 2 + 9 ≥ 4 + 9 = 5
Vế phải của PT:5-(x+1)2 ≤ 5
Vậy hai vế của PT bằng 5 ⇔x= − 1
KL:x= -1
c)Sử dụng tính đơn điệu:
Ví dụ :Giải PT: 3 x− 2 + x+ 1 = 3 ( 1 )
Giải :Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
Với x >3 Thì 3 x− 2 > 1 , x+ 1 > 2.Nên vế trái của (1) >3
Với -1 ≤x< 3 Thì 3 x - 2 < 1 ; x+ 1 < 2.Nên vế trái của (1)<3
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d)Sử dụng ĐK xẩy ra dấu bằng :
1
x x
x
Giải ;ĐK:x > 41 Áp dụng BĐT + ≥ 2
a
b b
a
Với a>0,b>0 Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi a=b
4
1 (
0 1 4 1
4 1
4 − ⇔ 2 = − ⇔ 2 − + = > ⇔ = ±
=
6-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:
5
3 2
3 1
4 + − − = x+
x x
2
≥
x
Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
) 2 3 1 4 ( 5
3
+
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT
III- LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải PT: x2 − 4 =x− 2 ( 1 );HD:ĐK:x ≥ 2Bình phương hai vế giải x = 2
4
1 2
1 + + = +
4
−
=
⇒
≥
x
2
1 2
=
+
2 1
2 − ⇔x= −
Trang 5CHUYÊN ĐỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
x x
3 1
1
=
⇔
=
≤
Bài 4:Giải PT:
3 4
1
)
1 2
1
)
1 1
)
= + +
−
= +
−
−
−
=
+
x x
c
x x
b
x
x
a
; HD:Dùng Phương pháp bình phương hai vế
Kết quả:câu a x=3;b)x= −1−2 5;c)x =0;x=3
x
x x
+
=
−
−
1
3 2 2
(1);HD:ĐK: − >+ ≥ ⇔ >1
0 ) 3 )(
1 (
1
x x
x x
(1) ⇔ ⇔ x+ 3 = 3 +xBình phương hai vế giải kết quả x=-3;x=-2(KTM)PT vô
nghiệm
Bài 6:Giải các PT sau:
3 5 3
14 5
)
; 1 2
1
− +
−
−
−
−
=
−
x
x x
b x
x
nghiệm x ≥ 5
Bài 7:Giải PT:a) 3 −x = 3x− 5;b) 5 +x − 2x= 7
Câu: a) Biến đổi Tương đương
= +
−
≥
0 22 29
5
x x
Câu: b)Tương tự
Bài 8 :Giải PT:3x2 +2x = 2 x2 +x+ 1 −x(1);HD:Biến đổi (1)3x2 + 3x− 2 x2 +x− 1 = 0 Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ: x2 +x =t ≥ 0Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1;t= −31 Thay giải tìm x
Bài 9:Giải :a) x2 − 2x+ 1 + x2 − 4x+ 4 = 3 ; b) x+ 3 + 4 x− 1 + x+ 8 − 6 x− 1 = 5
HD:Biến đổi về PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu:a)− 2 ≤x≤ 1; Câu b) 1 ≤ x≤ 10
Bài 10:Giải PT:x2 +4x +5 = 2 2x+ 3 (1);HD ĐK: x ≥−32;Biến đổi (1)
=
− +
= +
⇔
=
− + +
+
⇔
0 1 3 2
0 1 0
1 3 2
2 2
2
x
x x
x
Bài 11:Giải các PT:
1 2 2 )
; 2 3 4
4
)
1 2 5
2 )
4 4 ) 4
2
)
2 2
2 2
−
= +
− +
= +
−
−
−
= +
−
−
=
−
−
=
−
x x x e x x
x
d
x x x x c x
x b x
x
a
Câu a,b,,d,e;Dùng phép biến đổi
=
≥
⇔
B A
B B A
Câu c:Dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Trang 6Bài 12:GiảiPT:
) 1 ( 11 6 4
2
)
) 1 ( 2 4 14 10 5 7 6
3
)
2
2 2
2
+
−
=
− +
−
−
−
= + + +
+
+
x x x x
b
x x x
x x
x
a
Dùng BĐT:
Câu a)VT ≥ 5;VP ≤ 5.Do đó PT có nghiệm khi và chỉ khi hai vế bằng nhau:x=-1 Câub)VT:Áp dụng BĐT Bu nhiacốp xki :(1 x− 2 + 1 4 −x)2 ≤ ( 1 2 + 1 2 )( 2 ) ≤ 4 ⇒VT ≤ 2Dấu
“=” xẩy ra khi và chỉ khi ….x=3
VP:=…=(x-3)2 +2 ≥ 2;Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x =3
Vậy PT có nghiêm là x= 3
Bài 13:Giải PT: x+ 1 + 3 −x− (x+ 1 )( 3 −x) = 2
HD:ĐK:− 1 ≤x ≤ 3;Đặt t = x+ 1 + 3 −x;Với ĐK t ≥ 0
PT có dạng:t2-2t = 0
Duyệt của tổ CM: GV
Trang 7
CHUYÊN ĐỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM