Bai tap Cong thuc luong Giac

Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng các [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH

các bạn thấy được tinh thần và phương pháp của lượng giác được vận dụng như thế nàotrong các bài toán thì các bạn sẽ thấy được toàn bộ nét đặc trưng và vẻ đẹp của lượng giác.

Để giúp các bạn có một bộ tài liệu tương đối đầy đủ để học về lượng giác,chúng tôi

đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập một

hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập được biên soạn theo 2 hướng Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải Tất nhiên các lời giải đưa ra không phảibao giờ cũng là cách giải duy nhất và hay nhất Đối với các bài này thì các bạn cần suynghĩ theo các hướng mở sau:

 Giải thích được các phép biến đổi và lập luận trong lời giải

 Tìm một lời giải khác nếu có thể

 Lí giải xem tại sao lại giải như vậy

 Tìm cách vận dụng bài toán

 Nêu các bài tập tương tự

Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng cơbản, dễ hoặc tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải quyết

Chú ý: Đối với các bài toán có phần hướng dẫn đi kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúpcác bạn phát hiện ra vấn đề chứ không phải là cách trình bày

y x O Góc 1 0  180 1 góc bẹt

2 Đường trịn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

k A

D

B,

k

,

2 2 -

D

2k

2 2

B

2k

III Định nghĩa hàm số lượng giác:

, (Ox Oy   k  



t

(điểm ngọn)



y B

1 '

t

3

Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2

2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

tg cot

OP OQ AT

k k

IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

u u'

1

1 -1

-1 -/2



5/6 3/4 2/3

-/6 -/4 -/3

6

 4

 3

 2

2 2

2 2

1 Cung đối nhau :  và - (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6

sin( ) cos 2

( ) 2

1

1 tg =

cos 1

tg +tg tg( + ) =

tg tg tg( ) =

2

2 1

tg tg

tg

4 Công thức nhân ba:

Hơn kém  tang , cotang

4

cos 3 3 cos

2 cos 1

; 2

2 cos 1 sin

; 2

2 cos 1

1 cos

; 1

2 sin

t

t tg

t

t t

2 1

3

4

4 cos 3 sin

cos

6 6

4 4

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Phần 1 Đẳng thức lượng giác không điều kiện

1: Đẳng thức với biến

Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điềukiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thườngvận dụng các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.Tuy nhiên do sốluợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn trong việc lựachọn công thức nào cho hợp lí.Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trong là khi thực hiện cácphép biến đổi là các bạn cần phảp có một định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng khilựa chon công thức

Các bài toán chứng minh đẳng thức

Khi gặp các bài toán dạng này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong đề bài.Từ đódẫn đến các hướng để giải quyết:

 Hướng 1: Biến đổi vế trái sao cho bằng vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vếphải,từ về trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi làm xuất hiện các biểu thức trong

 Hướng 2:Biến đổi vế phải sao cho bằng vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuấthiện các biểu thức trong vế trái.Các bạn có thể lấy ngay ví dụ một để thực hiện theo hướngnày hoặc theo dõi ví dụ sau:

Bài 2:

Chứng minh rằng:

cos x sin x 1 sin 2x

cos x sin x cos x sin x

tg1

tg1

Ta có: (*) 8 cot32 tan32 2tan16 4tan 8

41

2 4

2 2

3 os2x + 4cos2x(1-sin xcos x)

4os2x(-3 + 4 - sin 2x)

=cos2x(1 - sin 2x) = cos 2

x c

x





Cách Cách 2:

Bài 9: Chứng minh

cot (1 cot ) (1 cot ) cot cot 1 (1)

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh

Các bạn làm thêm một số bài sau:

1 a.sinxsin x sin x sin 3x

Các bài toán rút gọn biểu thức

Việc rút gọn biểu thức lượng giác khó hơn bài toán chứng minh vì không biết trước kếtquả của quá trình biến đổi.Thường thì kết quả phải ở dạng đơn giản nhất mới được chấpnhận.Với loại toán này ta bắt buộc phải biến đổi từ biểu thức trong đề bài,nhưng cũng nên

để ý một chút về dạng của biểu thức để việc định hướng trở nên đơn giản hơn.Chẳnghạn,dạng phân thức thì tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để giảnước,dạng căn thức thì tìm cách đưa về dạng bình phương của một biểu thức

Bài 1: Rút gọn biểu thức A=

2 2

a A sin3xsin x cos3xcos x 3  3

b

2 2

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến:

Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn có thểkiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì biểu thứckhông phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay đổi,do đó tachỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu thức:

Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:

 Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn

 Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi vềcùng một hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi ở trên

ta đã tìm cách ghép các biểu thức rồi sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đưatất cả các hàm số lượng giác về một hàm số cos2x.Các bạn cũng có thể tách ghép theomột cách khác,miễn là đưa tất cả về cùng một hàm số lượng giác là được

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:

a) A 2 osc 4x sin4 x sin2xcos2x 3sin2x

Bài 3: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a A cos (x a) cos x 2cosa cosxcos(a x) 2   2  

b B cos (x a) sin (x b) 2cos(x a)sin(x b)sin(a b) 2   2     

Bài 4: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:

b B sin x(1 sin x) cos x(1 cos x) 5sin xcos x 4  2  4  2  2 2

c C sin x cos x 6sin xcos x 2sin xcos x 1 8  8  4 4  2 2 

d D 3(sin x cos x) 4(sin x cos x) 6sin x 8  8  6  6  4

Tìm điều kiện của tham số để biểu thức không phụ thuộc vào biến

Biến đổi f(x, m) về dạng f(x, m) A(m).B(x) + C(m) và lập luận A(m)=0

Bài 1 Tìm m sao cho:

f(x) = sin x + cos x + m(sin x + cos x) + (m +1)sin 2x

không phụ thuộc vào x

Các bài tập còn lại làm tương tự

Bài 2 Tìm m sao cho các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a f (x) cos x cos(x 2m) cos(x 4m) cos(x 6m)      

Bài 3 Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a f (x) m(sin x cos x) (2m 1)(cos x sin x) cos2x 48  8   4  4  

b f (x) cos2x msin x 3cos x 1  2  2 

c f (x) sin x sin(x m) sin(x 2m) sin(x 3m) sin(x 4m)        

Bài 4 Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a f (x) m(sin x cos x) 4(2sin x cos x) n sin x 8  8  6  6  4

Phần này khá đơn giản,đề nghị các bạn tự giải quyết

Bài 1 Biến đổi biểu thức sau thành tích

a A sin a sin b sin(a b)    d.D cos x cos y sin(x y)   

b B sin(a b) sin(b c) sin(c a)      e E sin x sin 2x sin 3x  

c C 1 sinx cos x   f F cos x cos 2x cos3x  

Bài 2 Chứng minh rằng A 2(1 sinx)(1 cos x)   là một bình phưong hoàn toàn

(Chứng minh A có dạng (a sin x bcos x c)  2)

2 Đẳng thức với số cụ thể Tính giá trị biểu thức

Trong phần trước chúng ta chỉ xét những biểu thức chứa biến và các dạng bài tập củanó.Phần này sẽ tiếp tục tìm hiểu về các biểu thức của các số cụ thể,sẽ có nhiều khó khănhơn

A.Tính trực tiếp giá trị của biểu thức nhờ vận dụng các công thức biến đổi phù hợp

Trong phần này các bạn cần biến đổi, ghép cặp hợp lí nhằm tạo ra các tính chất đặc biệt Đểlàm được điều đó các bạn phải căn cứ vào các góc trong đề bài và xét mối quan hệ giữa cácgóc ấy

Bài 1 Tính tổng đơn giản nhờ ghép cặp triệt tiêu

B.Tính tổng, tích các biểu thức có quy luật bằng cách nhân thêm một lượng phù hợp

Thông thường đó là tổng hoặc tích của một hàm số lượng giác của các góc mà 2 góc liên

tiếp cách nhau một khoảng không đổi(chẳng hạn



)hoặc tỉ lệ vớinhau theo một tỉ số nhất định.Biểu thức cần nhân thêm ở đây thường là tạo ra các số hạnggiống nhau,nhưng trái dấu để giản ước hết

Bài 1: Chứng minh 16sin10 sin 30 sin 50 sin 700 0 0 0  1

Bài 2: Chứng minh 16sin10 0 sin30 0 sin50 0 sin70 0 = 1

Chia cả 2 vế cho sin 7



thu được

1A2

b/Ta có:B sin10 sin50 sin 70    cos80 cos40 cos20  

Nhân 2 vế của B với 8sin 20 ta được:

8sin20 B=8cos80 cos40 cos20 sin 204cos80 cos40 sin 40

2cos80 sin80 sin160 sin 20



cos80 cos60 cos40 cos202

C Hệ thức Viet và ứng dụng để tính giá trị của một biểu thức

Chúng ta đã quá quen thuộc với định lí Viet cũng như ứng dụng của nó trong các bàitoán về phương trình bậc 2,hay các bài về biểu thức nghiệm đối xứng.Trong phần này cácbạn sẽ tiếp tục thấy được vẻ đẹp và tính ứng dụng rộng rãi của nó trong các bài tính giá trịcủa một biểu thức lượng giác

tự nhiên,sẽ rất thuận lợi trong việc sử dụng phương pháp quy nạp.

c (2cosx 1)(2cos2x 1) (2cos2 x 1)

sin 2a sin 4a sin 8a sin16a

sin2

Phần 2: Đẳng thức lượng giác có điều kiện

Bài 1: Cho ABC. Chứng minh rằng:

Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Giả sử a + c = 2b.

Chứng minh rằng: cot 2 cot 2 2cot 2

.Giải:

Ta có a + c = 2b sinA +sinC = 2sinB => 2sin 2 os 2 4sin 2 os 2

2sin sin sin

1 tan tan tan tan

.Giải:

Từ (*) sin sin2 2 os 2 2 os2 os 2 2sin sin2 2

2 3sin sin 2 os os tan tan

B C c

B C A

Cách 3 (Ước lượng + phép tính đạo hàm)

Đặt M cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3

6 6 0

2

Suy ra f(t) đồng biến trên

2 (0; ] 2 2

90 2

sin

B C c

Nhận xét: Cách này phức tạp, rườm rà hơn cách 1 vì đã không sử dụng ước lượng

Cách 4: (Ứng dụng tích vô hướng của các véc tơ)

Từ điểm O bất kì thuộc ABC vẽ các véc tơ

đơn vị e e e   1 , , 2 3

theo thứ tự vuông góc với cạnh

BC, AC, AB và hướng ra ngoài ABC,

Suy ra cos2A 2 osc 2A  1 2cosA 1

Bởi vậy từ (1) kéo theo cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3

Bài 8 Tính sin x cos x4  4 biết sin2x =

17

Bài 9 Cho sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính tga tgb

3sin a cos a

x





sin a sin b sin c

tgbcosa cosb cos c

Chứng minh rằng: sin2asin2bsin2c 1

Bài 19 Cho sinx + cosx = a Tính sinn xcosn x theo a với n = 1, 2, , 7

sin(2x y) m Tính

tgx tgyA

Bài 25 Chứng minh rằng nếu có tga = 2tgb thì sin(a + b) = 3sin(a - b)

a sin a sin b sin c 2sin a sin bsin c

b tg(a b)sin c cosc

c sin(a b) sin a sin b

Bài 27 Cho tg, tg là nghiệm của phương trình: ax2 bx c 0

Tính theo a, b, c giá trị của biểu thức:

A a .sin (2  )bsin( )cos( )ccos2( )

2(sin 6sin cos ) 1 os2 6sin 2 1 os2 6sin 2

1 2sin cos 2 os 1 sin 2 1 os2 2 sin 2 os2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -6 và giá trị lớn nhất của P bằng 3.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Nên y giảm trên (0; 1)

Vậy maxx D (0) 1, minx D (1) 1

Bài 3: Cho hàm số y sin4 x c os4x 2 sin x cosm x

( ) sin os 2 sin x cos

(sin os ) sin 2 2sin os