Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

- Nhà trường cần quan tâm đầu tư cung cấp tài liệu, sách tham khảo, cơ sở vật chất: máy chiếu, tranh ảnh... - Xây dựng đội ngũ giáo viên toán học đủ về số lượng, đạt chuẩn về trình độ [r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT ………

=====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến:

Tác giả sáng kiến:

Môn: ………

Trường THCS: ………

Vĩnh phúc, năm 2018

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy

Mã sáng kiến: 25.52…

Vĩnh phúc, năm 2018

Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy

Mã sáng kiến: 25.52…

Vĩnh phúc, năm 2018

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiện đại; kiến thức Toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn khoa học khác Với tư cách là cố vấn cho quá trình học tập, người giáo viên cần có sự đầu tư về thời gian để nghiên cứu bài học, tìm tòi kiến thức để hướng dẫn cho học sinh tiếp cận với tri thức, xóa bỏ rào cản của học sinh khi học môn Toán

Để hoàn thành tốt môn học này các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ thấp đến cao Rèn luyện kỹ năng bằng cách chăm chỉ làm các bài tập trong sách

giáo khoa, sách bài tập và các sách nâng cao Ngoài ra, học tốt môn Toán cần chú ý đến việc hệ thống hóa kiến thức Khi làm một bài toán cần nhanh chóng tư

duy xem bài đó thuộc dạng nào để tìm ra cách giải

Nhị thức Niu - tơn là một trong những nội dung kiến thức hay và có nhiều

điểm có thể huy động khai thác tư duy của học sinh Việc học và rèn luyện nội dung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu đáo cho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung toán 11 Tuy nhiên do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra những tình huống cơ bản của Nhị thức Niu- tơn, do đó học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giải các bài toán này

Đối với đối tượng học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Nhị thức Niu-tơn một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết

Chính vì vậy tôi xin mạnh dạn trình bày "Phương pháp giải bài tập Nhị

thức Niu - tơn" làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình Với hy vọng đề tài này sẽ

là một tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc học tập của các em học sinh nói riêng và cho công tác giảng dạy của đồng nghiệp nói chung

2 Tên sáng kiến:

“Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Hồ Thị Kim Thúy

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Việt Trì – Phú Thọ

- Số điện thoại: 0363735787 E_mail: kimthuy051188@gmail.com

4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Môn toán học lớp 11, 12 – các bài toán liên quan tới khai triển Nhị thức Niu- tơn

5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

- Đề tài được nghiên cứu và thực nghiệm từ tháng 10/2017 đến tháng 3/2018

6 Mô tả bản chất của sáng kiến

6.1 Thực trạng của vấn đề

Nhị thức Niu - tơn trong chương trình THPT được đưa ra với thời lượng chương trình trong 2 tiết học: 1 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập (chương trình cơ bản) Như vậy việc thông thạo kiến thức cũng như tiếp cận các dạng bài tập của học sinh sẽ còn hạn chế rất nhiều Học sinh ít có thời gian luyện tập dẫn đến học

sinh thường không làm được bài tập

Nhiều học sinh thụ động, chỉ áp dụng máy móc công thức, chỉ dừng lại ở dạng bài tập khai triển một biểu thức theo công thức Nhị thức Niu-tơn Trong khi đó các dạng bài tập lại rất đa dạng và phong phú

Học sinh chưa biết tự tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức cho nên kết quả học tập chưa cao

- Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình

để giải quyết các bài toán phức tạp

- Giải quyết tốt các bài trong các đề thi THPT quốc gia, thi học sinh giỏi

6.3 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là đã hệ thống hóa được kiến thức và

khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng tiếp thu để giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó liên quan đến “Nhị thức Niu tơn”

6.4 Phương pháp thực hiện

- Bước 1: Khảo sát tư liệu

Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập Tìm hiểu các đề kiểm tra của học sinh và các nguồn tư liệu khác có liên quan tới quá trình dạy học phần

“Nhị thức Niu tơn”

- Bước 2: Đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải, ví dụ và phân tích ví

dụ minh họa, bài tập tương tự để học sinh luyện tập

- Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp khối 11)

- Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận

Trong vế phải của công thức (1) :

- Số các hạng tử (số hạng ) là n + 1

- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ

0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n

- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

- Số hạng tổng quát của khai triển là T k1C a n k n k b k và là số hạng thứ k +

1 trong khai triển

 Dạng 1 Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển

 Loại 1 Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển:

a) Bài toán thường gặp :

Cho khai triển có dạng a b n Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho

b) Các bước thực hiện bài toán:

Xét khai triển : a b nvới a¡ ;b¡ ;n¥

- Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển

k

Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển

- Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với giái trị của k Giải phương trình tìm k

- Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của xk trong khai triển

* Một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực sử dụng trong loại toán này (để thu gọn số mũ của biến) : Cho a, b là những số thực dương, m,n là những số thực tùy ý:

a a m n a m n

 

m

m n n

a a a

2

2

x

x với x 0 Lời giải :

- Số hạng tổng quát của khai triển :

- Vậy số hạng chứa x10trong khai triển là : C51.( 2)  1 x10  10x10

Phân tích bài toán :

- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên

- Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là : C x126 0 C126

Ví dụ 3 : Tìm số hạng chứa x y25 10trong khai triển x3xy15

10

k k

k k

- Vậy số hạng chứa x y25 10trong khai triển là : C x y1510 25 10 3003.x y25 10

Ví dụ 4 : Tìm hạng tử chứa x2 trong khai triển: 3 2 7

x x



Phân tích bài toán :

- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên

- Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý

+/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 1

1

x x

- Số hạng thứ 7 trong khai triển là : C x126 3

Ví dụ 6 : Tìm hệ số của x5trong khai triển thành đa thức của

1 2 5 2(1 3 ) 10

Phân tích bài toán :

Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x1 2 x5x2(1 3 ) x 10 bằng tổng hệ số của x5trong hai khai triển x1 2 x5 và x2(1 3 ) x10

Hệ số của x5 trong khai triển x1 2 x5 bằng hệ số của x4 trong khai triển

Kết luận : Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của

Phân tích bài toán :

Vì p x ( )  a0 a x a x1  2 2 a x3 3  a x14 14nên a9 tương ứng là hệ số của x9 Khi đó hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển

Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển  3  3 29 là số nguyên

Phân tích bài toán :

Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển Để tìm được hạng tử của khai triển là số nguyên thì số mũ của lũy thừa nguyên

Lời giải :

- Số hạng tổng quát của khai triển :    9 3 92 3

k k

Ví dụ 9: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 1x21x8

Lời giải : Cách 1 :

Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 2 3x 

Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau x3 xy21

b) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau

 

20 4

2 3

4

1

x x

x x

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển x2y14

 Loại 2 Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa mãn điều kiện cho trước

a) Bài toán thường gặp :

Cho khai triển có dạng a b n Cho biết một vài số hạng hoặc các hệ số trong tổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó hoặc số mũ n thỏa mãn điều kiện cho trước Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho

b) Các bước thực hiện bài toán:

- Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n

- Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu

c) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển x21n bằng 1024 Tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó

Phân tích bài toán :

- Khai triển x21ntheo công thức Nhị thức Niu- tơn

- Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1

Lời giải :

Ta có: x21n C n0 x2 nC x n1 2 n1 C (1) n n

Thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức (1) ta được : C n0C1n C n n 2n

Theo bài ta có tổng các hệ số của khai triển x21n bằng 1024 nên

Ví dụ 12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n n1C n3 Tìm số hạng chứa x5

trong khai triển   

2 1 14

n

nx

x với x 0

Phân tích bài toán :

- Tìm n thỏa mãn điều kiện 5C n n1C n3

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1

1 2

x x

- Số hạng tổng quát của khai triển   

212

1xx

Phân tích bài toán :

- Tìm n thỏa mãn điều kiện 5C n n1C n3

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1

1 x x

1 x x

k

- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với

Biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 33 Tìm hệ số của x2

Phân tích bài toán :

- Xác định hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển ( Chú ý hệ số là phần không chứa biến x)

- Cho tổng ba hệ số bằng 33, giải phương trình tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 để tìm hệ số của x2

2

2

x x

- Số hạng tổng quát của khai triển   

4 3

n x

x tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ

ba bằng 36 Hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai Tìm x

Phân tích bài toán :

Bài toán trên tuy không yêu cầu tìm hệ số hay số hạng chứa xk trong khai triển nhưng vẫn dẫn đến việc ta cần tìm n và sau đó tìm x là số mũ liên quan đến các

số hạng trong khai triển

- Xác định hệ số của của hạng tử thứ hai và thứ ba lần lượt là : C C1n; n2; cho

tổng hai hệ số bằng 36, giải phương trinh trình tìm n

- Xác định hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai, từ giả thiết hạng tử thứ ba gấp

7 lần hạng tử thứ hai ta thu được một phương trình mũ; giải phương trình tìm x

n x

2

4

n x

Với n = 8 xét khai triển  

x x

n x

1xx

 Loại 3 Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển nhị thức:

a) Bài toán thường gặp :

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển nhị thức

b) Các bước thực hiện bài toán :

k

- Giả sử uk là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

- Thực hiện giải bất phương trình 

k k

k k

u u và đối chiếu điều kiện của k để

tìm k Từ đó suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển với k tìm được

c) Ví dụ minh họa :

Ví dụ 16 : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển

1 x 101

Phân tích bài toán :

Bài toán yêu cầu tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển 1 x 101nên ta thực hiện theo ba bước đã phân tích nêu trên

101 0

Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là C10150 C10151

Ví dụ 17 : Cho khai triển 1 2 xn a0a x a x1  2 2 a x n n n, N* và các

hệ số a0, a1,a2,…,an thỏa mãn hệ thức  1   

n n

a a

trong các hệ số a0,a1,a2,…,an

Phân tích bài toán :

- Thực hiện tìm số mũ n theo yêu cầu bài toán

- Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển theo ba bước

đã phân tích nêu trên

a) Bài toán thường gặp:

- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức

- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

Phân tích bài toán :

Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 3 giảm từ 16 về 0, trong các số hạng có xuất hiện C n k0k16,kN Nên ta

có thể chọn hàm số f x( )x116, thực hiện khai triển và sau đó thay x = - 3

Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được : C n0C n1C n2C n3   1 n C n n  0

Vậy đẳng thức được chứng minh

Phân tích bài toán :

Nhận thấy cả 2 vế của đẳng thức đều được khai triển theo công thức Nhị thức Niu tơn nhưng các số hạng có đặc điểm khác nhau nên ta cần thực hiện như sau

- Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 4 giảm từ n về 0, trong các số hạng có xuất hiện

0  ,  

k

n

C k n k N Nên ta có thể chọn hàm số f x( )x1n, thực hiện khai triển và sau đó thay x = 4

- Ta thấy vế phải của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số

mũ của 2 tăng từ 0 đến n, trong các số hạng có xuất hiện

0  ,  

k

n

C k n k N Nên ta có thể chọn hàm số f x( )1 xn, thực

hiện khai triển và sau đó thay x = 2

- Khi đó ta thu được kết quả vế trái và vế phải của đẳng thức cùng bằng một giá trị trung gian là 3n

Vậy đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 21 : Tìm số nguyên dương n sao cho C n02C1n22C n2 2 n C n n 243

Phân tích bài toán :

- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 19)

Khi đó ta có : 3n 243n5

Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm

Ví dụ 22: Tìm số nguyên dương n sao cho C21nC23n C22n n1 2048

Phân tích bài toán :

- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 20)

- Giải phương trình tìm n

Lời giải :

Ta có : 1 x2n C20nC x C x12n  22n 2C x23n 3 C22n n.x2n(1)

Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được :22n C20nC21nC22nC23n C22n n (3)

Thay x= -1 vào hai vế của (1) ta được : C20nC12nC22nC23n C22n n(4)

Vậy n = 6 là số nguyên dương cần tìm

Ví dụ 23 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :

 0 2  1 2  2

2n n n n n n

Phân tích bài toán :

Để ý các số hạng của đẳng thức ở vế phải đều được viết dưới dạng  k 2

n

0 k n k, N nên ta thực hiện khai triển một biểu thức theo hai hướng khác

nhau sau đó thực hiện đồng nhất thức hệ số

Lời giải :

Ta có : 1 x2n C20nC x C x12n  22n 2C x23n 3 C x2n n n C22n n.x2n(1)

Mặt khác : 1x2n 1 x n 1 xn

1x2n C n0C x C x n1  n2 2 C x n n nC n0C x C x1n  n2 2 C x n n n (2)

Hệ số của xn ở vế phải của (1) là C2n n

Hệ số của xn ở vế phải của (2) là:

Phân tích bài toán :

Ta thấy các số hạng của đẳng thức ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có đặc điểm :Số mũ của 3 tăng và đều là số chẵn ; trong các số hạng có xuất hiện

Nếu ta thực hiện cộng vế phải của biểu thức A và biểu thức B ta thu được một khai triển Nhị thức Niu tơn trong đó số mũ của 2 giảm dần Vậy để tính giá trị của A và B ta không thực hiện tính riêng lẻ mà thực hiện liên kết A và B vào hệ phương trình gồm 2 ẩn A và B, từ đó tính A và B

Bài 4 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : C n0 C1n C n n 4096

 Dạng 3 Sử dụng đạo hàm và tích phân trong bài toán khai triển nhị thức Niu – tơn

a) Bài toán thường gặp:

- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức

- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

b) Các bước thực hiện: