Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy môn Toán cao cấp cho sinh viên chuyên ngành kinh tế

Bài viết sẽ giới thiệu một số khái niệm về mô hình hóa trong dạy học toán, các bước cơ bản của phương pháp mô hình hóa xuất phát từ một bài toán thực tế. Ngoài ra, dựa trên một số ví dụ minh họa cụ thể, bài báo cũng đề xuất một số khuyến nghị nhằm nâng cao hiệu quả học tập các môn Toán cao cấp của sinh viên.

59

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG GIẢNG DẠY

MÔN TOÁN CAO CẤP CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH KINH TẾ

Phạm Mỹ Hạnh1

1 Trường Đại học An Giang

Thông tin chung:

Ngày nhận bài: 09/08/2018

Ngày nhận kết quả bình duyệt:

19/09/2018

Ngày chấp nhận đăng: 02/2019

Title:

Applying mathematical modelin

g and simulation

method in teaching advanced

mathematics

for economic students

Keywords:

Modelling, modelling methods,

teaching advanced mathematics

Từ khóa:

Mô hình hóa, phương pháp mô

hình hóa, giảng dạy toán cao

cấp

ABSTRACT

Teaching mathematics for economic students by using mathematical modelling and simulation of some practical situations will improve the quality of teaching as well as the student modelling knowledge This article represents some definitions and basic steps of mathematical modelling and simulation Moreover, it also gives some examples of mathematical modelling to clarify the steps as well as to improve the students’ learning skills when studying advanced mathematics

TÓM TẮT

Dạy học các môn Toán cao cấp cho sinh viên chuyên ngành Kinh tế thông qua những bài toán thực tế bằng phương pháp mô hình hóa góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, cũng như phát triển năng lực mô hình hóa của sinh viên Bài báo sẽ giới thiệu một số khái niệm về mô hình hóa trong dạy học toán, các bước cơ bản của phương pháp mô hình hóa xuất phát từ một bài toán thực tế Ngoài ra, dựa trên một số ví dụ minh họa cụ thể, bài báo cũng đề xuất một số khuyến nghị nhằm nâng cao hiệu quả học tập các môn Toán cao cấp của sinh viên

1 GIỚI THIỆU

Mô hình là vật thay thế mang đầy đủ các tính chất

của một vật thực tế Qua nghiên cứu mô hình, ta

có thể nắm vững các thuộc tính của đối tượng cần

nghiên cứu mà không cần phải tiếp xúc với vật

thật Theo Kai Velten (2009), mô hình tốt nhất là

mô hình đơn giản nhất nhưng vẫn đáp ứng đầy đủ

các mục tiêu cần khảo sát, nói một cách khác nó

cũng có đủ sự phức tạp để chúng ta hiểu rõ cách

hoạt động của hệ thống và giải quyết tình huống

có vấn đề đã đặt ra Lê Thị Hoài Châu (2014)

nhận định rằng, để sử dụng kiến thức và kỹ năng

toán vào việc giải quyết một vấn đề của thực tiễn,

người ta phải trải qua các bước của quá trình mô

hình hóa toán học Hiện nay, mô hình toán học có nhiều ứng dụng trong vật lý cũng như trong các ngành Khoa học Tự nhiên khác Tuy nhiên, ngoài các ứng dụng trong khoa học tự nhiên, mô hình toán học cũng thường được sử dụng trong các ngành Kinh tế hay Khoa học Xã hội Kai Velten (2009) cho rằng, một mô hình toán học là một bộ

ba thành phần (S, Q, M) hay (System, Question, Mathematical statements); trong đó S là hệ thống,

Q là các câu hỏi hay vấn đề được đặt ra đối với hệ thống và M là tập hợp các mệnh đề toán học dùng

để tìm lời giải cho Q

Ngày nay, trước yêu cầu nâng cao chất lượng đào

tạo và phát huy tính tích cực của người học, giảng

viên cần đổi mới phương pháp giảng dạy Trong

những năm gần đây, phương pháp dạy học thông

qua việc nghiên cứu tìm hiểu mô hình đã được áp

dụng rộng rãi và đạt được nhiều kết quả khả quan

Theo Nguyễn Danh Nam (2015), mô hình sử dụng

trong dạy học Toán là mô hình trừu tượng sử

dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống

nào đó Những mô hình toán học này thường có

các dạng hàm số, đồ thị, phương trình, biểu đồ,

hoặc các mô hình ảo được thiết kế từ các chương

trình của máy vi tính

Qua quá trình giảng dạy, khảo sát về kết quả học

tập trong những năm gần đây của sinh viên

chuyên ngành Kinh tế tại Trường Đại học An

Giang, khi bắt đầu học các môn Toán cao cấp sinh

viên thường gặp nhiều khó khăn trong việc nắm

vững các kiến thức toán Bên cạnh đó, các em

không hiểu rõ các áp dụng của các kiến thức đã

học với ngành học hay yêu cầu thực tiễn của công

việc trong tương lai Vì thế, việc sử dụng các mô

hình toán dựa trên các bài toán thực tế trong dạy

học giúp sinh viên hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa

toán học với các vấn đề thực tiễn trong sản xuất

Qua quá trình tìm tòi lời giải cho các bài toán thực

tế dựa trên các mô hình toán, sinh viên tự nâng

cao khả năng tư duy linh hoạt khi giải quyết các

tình huống có vấn đề và ngày càng yêu thích, sáng

tạo hơn học tập Do đó, vận dụng tốt phương pháp

mô hình hóa thông qua các bài toán thực tế cho

từng nhóm kiến thức toán học là một trong những phương pháp giảng dạy hiệu quả, phát huy tính tích cực của người học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo, đáp ứng yêu cầu chuẩn đầu ra đối với sinh viên nói chung và sinh viên chuyên ngành Kinh tế, Trường Đại học An Giang nói riêng

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC MINH HỌA

2.1 Các quy trình trong phương pháp mô hình hóa

Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), quá trình mô hình hóa có thể tóm tắt qua bốn bước sau:

Bước 1: Xây dựng mô hình mô phỏng thực tiễn

của vấn đề Trong bước này cần xác định dữ liệu đầu vào và yêu cầu cần đạt được, hay dữ liệu đầu

ra của vấn đề thực tiễn

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề

đang xét, với lưu ý rằng với cùng một vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau

Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để giải quyết

bài toán hình thành ở bước 2

Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết quả thu được

trong bước 3 Nếu kết quả không phù hợp thì phải thực hiện lại quy trình

Bốn bước này có mối quan hệ mật thiết với nhau

và được thể hiện qua sơ đồ Hình 1

61

Hình 1 Các bước trong quy trình mô hình hóa

Trong bước 1, giảng viên cần xác định các tình

huống có vấn đề trong thực tế và có dữ liệu đầu

vào phù hợp với mục đích của hoạt động giảng

dạy, học tập Ngoài ra, giảng viên cần giúp người

học xác định rõ dữ liệu đầu vào và kết quả đầu ra

cần đạt được Bước 2, giảng viên sẽ tổ chức cho

người học xây dựng mô hình toán, cụ thể là thiết

lập hệ thống các phương trình toán, hay một

chương trình mô phỏng trên máy vi tính, dựa trên

các dữ liệu đầu vào, trong đó đặt ra yêu cầu phải

xác định rõ mối quan hệ giữa các dữ liệu đã có và

kết quả cần đạt được

Đối với bước 3, người học cần chủ động vận dụng

các kiến thức toán đã học có liên quan đến vấn đề

cần giải quyết để tìm ra lời giải của bài toán và

giảng viên chỉ hỗ trợ khi cần thiết Bước 4 là bước

kiểm định lại mô hình, giảng viên và người học

cùng nhận định lại phương pháp giải; từ đó cải

tiến mô hình hoặc lời giải của bài toán, góp phần

nâng cao chất lượng của mô hình Ngoài ra, dựa

trên mô hình đã có, giảng viên và người học có

thể cùng nhau cải tiến và xây dựng một mô hình

mới

Khi vận dụng phương pháp mô hình hóa trong

dạy học, tùy vào đối tượng người học cụ thể mà

giảng viên vận dụng linh hoạt các bước, điều

chỉnh kết quả thực hiện ở từng bước sao cho mô

hình đạt hiệu quả tốt nhất đáp ứng với mục tiêu giảng dạy Ngoài ra, người học có thể chủ động trong việc xây dựng mô hình toán xuất phát từ tình huống có vấn đề trong thực tế và đề xuất lời giải, khi đó giảng viên chỉ đóng vai trò hỗ trợ trong việc đánh giá mô hình và kết quả tìm được

so với dữ liệu đầu vào

2.2 Tổ chức các hoạt động dạy học cụ thể

Theo chương trình khung các khối ngành Kinh tế của Trường Đại học An Giang, sinh viên năm nhất được tiếp cận hai môn Toán cao cấp B1, 3 tín chỉ, tương ứng với 45 tiết lý thuyết và Toán cao cấp B2 với 2 tín chỉ tương ứng với 30 tiết lý thuyết Môn Toán cao cấp B1 gồm các kiến thức

về giải tích như: Giới hạn hàm số, Phép tính vi phân hàm một biến, Phép tính vi phân hàm nhiều biến, Phương trình vi phân và Lý thuyết chuỗi Học phần Toán cao cấp B2 gồm các kiến thức chủ yếu về đại số tuyến tính như: Ma trận, Định thức,

Hệ phương trình tuyến tính, Phép biến đổi tuyến tính, Chéo hóa ma trận Với thời gian trên lớp khá

ít và khối lượng kiến thức nhiều, các môn Toán cao cấp B1 và B2 đã cung cấp những khối kiến thức tương đối mới và khó Vì sinh viên năm nhất hầu hết là học sinh mới tốt nghiệp chương trình trung học phổ thông, nên còn nhiều bỡ ngỡ và chưa có phương pháp học tập phù hợp đối với bậc

đại học Đa số sinh viên gặp khó khăn trong việc

hiểu các kiến thức Toán cao cấp và chưa có kỹ

năng vận dụng các kiến thức này vào việc giải các

bài toán, đặc biệt là các bài toán xuất phát từ các

tình huống thực tế Do đó, việc xây dựng các mô

hình toán xuất phát từ các tình huống thực tế trong

sản xuất sẽ góp phần nâng cao chất lượng của

hoạt động giảng dạy và học tập Khi giảng dạy

cho sinh viên về khái niệm phép tính vi phân hàm

nhiều biến, giảng viên có thể xem xét

tình huống dẫn đến mô hình toán học trong ví dụ

1

Ví dụ 1 Một hãng sản xuất mỹ phẩm độc quyền

dự định bán ra thị trường hai loại sản phẩm nước hoa Qua quá trình khảo sát nhu cầu thị trường và ước lượng giá bán tương ứng, hãng sản xuất có được bảng số liệu sau:

1

Q 50 70 90 100 150 200 250 300

1

2

Q 50 70 90 100 150 200 250 300

2

1, 2

Q Q là số lượng sản phẩm thứ 1 và thứ 2

(Đơn vị: Hộp)

1, 2

P P là giá bán tương ứng đối với sản phẩm

thứ 1 và thứ 2 (Đơn vị: Trăm ngàn đồng)

a) Tìm mối quan hệ giữa số lượng từng loại

sản phẩm với giá bán

b) Nếu chi phí sản xuất được doanh nghiệp

xác định tương ứng theo sản lượng

1, 2

Q Q

Hãy xác định sản lượng tương ứng Q Q1, 2 để

doanh nghiệp này có được lợi nhuận tối đa

Đối với bài toán thực tế này, giảng viên có thể

giúp sinh viên xây dựng mô hình toán trong sản

xuất hai loại sản phẩm, xác định rõ các dữ liệu

đầu vào và yêu cầu kết quả cần đạt được

Bước 1: Xây dựng mô hình mô phỏng thực tiễn

của vấn đề

Dữ liệu đầu vào: Mối quan hệ giữa giá sản phẩm với sản lượng và hàm chi phí sản xuất:

Dữ liệu đầu ra: Xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để hãng sản xuất đạt lợi nhuận tối đa

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học

i) Tìm mối quan hệ giữa giá thành sản phẩm và sản lượng tương ứng, P1 và Q1; P2 và Q2.

Qua bảng số liệu của tình huống đề bài nêu ra, sinh viên có thể xác định được mối quan hệ tuyến tính giữa giá thành sản phẩm và sản lượng của từng loại sản phẩm Để giải thích rõ hơn mối quan

hệ này, giảng viên có thể yêu cầu sinh viên vẽ biểu đồ minh họa cụ thể

63

Biểu đồ 1 Mối quan hệ giữa sản lượng và giá bán

Qua Biểu đồ 1, sinh viên có được các nhận định

sau:

- Nếu số lượng các sản phẩm tăng thì giá thành

sản phẩm sẽ giảm

- Mối quan hệ giữa giá thành và sản lượng xác

định bởi hệ phương trình sau:

1300

+ =





Do đó, dữ liệu đầu vào bao gồm:

1300

3

Q P

C Q Q Q Q

 + =









Dữ liệu đầu ra: Xác định số lượng sản phẩm cần

sản xuất để hãng sản xuất đạt lợi nhuận tối đa

ii) Xây dựng hàm doanh thu theo nguyên tắc

bằng giá thành 1 đơn vị sản phẩm nhân với số sản

phẩm:

𝑅 = 𝑃1𝑄1+ 𝑃2𝑄2

= −𝑄1− 2𝑄2+ 1300𝑄1 + 1350𝑄2

Hàm lợi nhuận được tính bằng doanh thu trừ

đi chi phí sản xuất:

𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = −2𝑄1− 3𝑄2+ 1300𝑄1

+ 1350𝑄2− 3𝑄1𝑄2

iii) Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa tương ứng với tìm cực trị không điều kiện của hàm lợi nhuận

Bước 3: Sinh viên giải bài toán tìm cực trị địa

phương qua các bước tìm điểm dừng và kiểm tra

điều kiện cực trị của điểm dừng

i) Giải hệ phương trình tìm điểm dừng Tọa

độ điểm dừng thỏa hệ phương trình sau:

2

0

0

Q













Tìm được Q1= 250, Q2 = 100.

ii) Tại điểm dừng Q1= 250, Q2 = 100 ta có:

𝐴 = 𝜕

𝜕𝑄12= −4 ; 𝐵 = 𝜕

𝜕𝑄1 𝜕𝑄2= −3 ; 𝐶 =

𝜕2𝜋

𝜕𝑄22

= −6

Vì A  0, AC − B2 0 nên hàm số lợi nhuận đạt cực đại tại Q1= 250, Q2 = 100.

230000.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

P1 P2

Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết quả

Trong bước này giảng viên cùng người học đánh

giá lại lời giải Kiểm tra tính hợp lý của kết quả

tìm được với dữ liệu bài toán đã cho, đồng thời

phát triển bài toán cho những trường hợp khác

i) Kiểm tra lại số liệu bài toán đã cho, giảng viên cho sinh viên kiểm tra các số liệu bài toán, vẽ

sơ đồ hoặc lập bảng tương ứng với các trường hợp sản xuất của doanh nghiệp để kiểm tra doanh thu, chi phí và lợi nhuận tương ứng

Bảng 1 Khảo sát doanh thu, chi phí và lợi nhuận của doanh nghiệp dựa trên số sản phẩm và giá bán tương ứng

Khi đó, sinh viên nhận thấy trong trường hợp 9, doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất Vậy kết quả mô hình phù hợp với dữ liệu đầu vào của bài toán thực tế và đáp ứng tốt điều kiện đầu ra

Biểu đồ 2 Mối quan hệ giữa doanh thu, chi phí và lợi nhuận

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

DOANH THU CHI PHÍ LỢI NHUẬN

65

Tương ứng với các trường hợp khảo sát, Biểu đồ

2 thể hiện mối quan hệ giữa doanh thu, chi phí và

lợi nhuận Trong đó trường hợp 8, doanh thu và

chi phí lớn nhất, nên lợi nhuận thấp nhất Trường

hợp 9, doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất

ii) Giảng viên có thể mở rộng mô hình bài

toán này sang bài toán cực trị có điều kiện, khi bổ

sung thêm các điều kiện biên cho chi phí sản xuất

Ngoài ra, trong hoạt động sản xuất và kinh doanh,

nhiều trường hợp các bài toán kinh tế thường dẫn

đến việc giải hệ phương trình Khi sinh viên học

về hệ phương trình tuyến tính, một nội dung trong

học phần Toán cao cấp B2, giảng viên có thể tham

khảo ví dụ của Hendry Pollak sau:

Ví dụ 2 Xét ví dụ của Hendry Pollak (1969) trang

92

A take-away food shop sells hamburgers,

sausages and pizzas On one day the number of

hamburgers sold was three times the number of

pizzas, and the number of sausages sold was five

times the number of pizzas The number of

hamburgers and pizzas sold was in total 176 How

many of each type of food was sold?

Tạm dịch, một cửa hàng bán thức ăn mang đi có

bán bánh hamburger, xúc xích và pizza Một

ngày, số bánh hamburger bán được gấp 3 lần số

bánh pizza và số xúc xích bán được gấp 5 lần số

bán pizza Tổng số bánh hamburger and pizza bán

được trong ngày là 176 Hỏi cửa hàng đã bán

được mỗi loại bao nhiêu?

Bước 1: Nghiên cứu tình huống thực tế

Dữ liệu đầu vào: Số bánh hamburger bán được

gấp 3 lần số bánh pizza và số xúc xích bán được

gấp 5 lần số bán pizza Tổng số bánh hamburger

and pizza bán được trong ngày là 176

Dữ liệu đầu ra: Tìm số lượng bánh hamburger,

pizza và xúc xích mà cửa hàng đã bán được trong

ngày đó

Bước 2: Xây dựng mô hình toán

Giả sử x y z , , lần lượt là số lượng hamburger, xúc xích và pizza mà cửa hàng đó bán được Khi

đó, ta có hệ phương trình tuyến tính sau:

176



 − =



 + =



Bước 3: Tìm lời giải cho mô hình toán

Sinh viên có thể dùng phương pháp thế trong kiến thức toán phổ thông để giải hệ phương trình này, hoặc sử dụng phương pháp Cramer để giải hệ và tìm đượcx = 132, y = 220, z = 44.

Bước 4: Phân tích và đánh giá kết quả lời giải và

phát triển mô hình

i) Phân tích và đánh giá kết quả lời giải: Kết quả cửa hàng bán được 132 bánh hamburger, 220 xúc xích và 44 bánh pizza Kiểm tra được kết quả đáp ứng yêu cầu bài toán,

số bánh hamburger bán được gấp 3 lần số bánh pizza và số xúc xích bán được gấp 5 lần số bán pizza Tổng số bánh hamburger và pizza bán được trong ngày là 176

ii) Mở rộng mô hình:

- Nếu giá bán mỗi bánh hamburger, pizza và xúc xích tương ứng là $10, $20 và $5 Hỏi trong ngày hôm đó doanh thu của cửa hàng đạt bao nhiêu?

- Để đạt doanh thu $5000 thì cửa hàng phải bán ít nhất bao nhiêu hamburger, pizza và xúc xích

Để giải đáp câu hỏi thứ nhất, ta chỉ cần thực hiện phép nhân hai ma trận, trong đó ma trận thứ nhất

là số lượng bánh hamburger, xúc xích và pizza bán được, ma trận thứ hai chỉ giá bán của từng loại sản phẩm

132 220 44 5 10 132 10 220 5 44 20 $3300

20

 

 

  Vậy doanh thu của cửa hàng trong ngày hôm đó là

$3300

Để cửa hàng đạt doanh thu $5000 thì bài toán có

nhiều lời giải, giảng viên có thể cho sinh viên

phân chia các tình huống, trong đó có thể tham

khảo các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Tăng số lượng pizza bán được, vì

giá bán pizza là cao nhất và số lượng bánh pizza

cửa hàng bán được hiện là thấp nhất Sinh viên có

thể đề xuất các chính sách khuyến mãi kích cầu

nhằm tăng số lượng sản phẩm bán được

Trường hợp 2: Tăng số lượng xúc xích bán được,

vì xúc xích có giá thấp nhất và có số lượng bán

được nhiều nhất

Trường hợp 3: Tăng giá bán của mỗi loại sản

phẩm Tuy nhiên, đối với trường hợp này nếu tăng

giá, thì theo quy luật cung cầu, số lượng sản phẩm

bán được có thể sẽ thấp hơn so với ban đầu, sinh

viên cần đề xuất việc tăng giá phù hợp để doanh

thu đạt mục tiêu $5000

Trường hợp 4: Giảm giá các sản phẩm Trong

trường hợp này cần xem xét đến chi phí sản xuất,

giảng viên có thể bổ sung thêm thông tin về chi

phí sản xuất, để đảm bảo cửa hàng đạt doanh thu

$5000

Vì đây là bài toán mở nên có nhiều đáp án để lựa

chọn, giảng viên có thể bổ sung thêm các yêu cầu

khác nhằm tìm ra lời giải tối ưu cho từng trường

hợp

3 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Tóm lại, phương pháp mô hình hóa dựa trên các

bài toán thực tế giúp sinh viên tìm hiểu thêm một

số ứng dụng của toán cao cấp trong đời sống và ý

nghĩa của các kiến thức toán học Để hoạt động

giảng dạy dựa trên phương pháp mô hình hóa đạt

được hiệu quả thì cả giảng viên lẫn người học

phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu

tài liệu, đi sâu vào thực tế hoạt động sản xuất kinh

doanh Tuy nhiên, với khối lượng kiến thức Toán

cao cấp khá rộng, giảng viên có thể lựa chọn một

số kiến thức cụ thể để đưa vào các mô hình toán

dựa trên các bài toán thực tế trong sản xuất Bên

cạnh đó, các tình huống của những bài toán thực

tế có thể được sử dụng như là các bài tập nhóm để

sinh viên theo từng nhóm sẽ nghiên cứu, đề xuất

mô hình toán và tìm lời giải đối với từng trường

hợp cụ thể Ngoài ra, giảng viên có thể yêu cầu các nhóm sinh viên tự khảo sát và nghiên cứu các tình huống thực tế, tham khảo tài liệu chuyên ngành, từ đó xây dựng mô hình toán đối với tình huống mà sinh viên đã nghiên cứu Thông qua các hoạt động tự học và tự nghiên cứu các mô hình toán dựa trên một số bài toán thực tế dưới sự hướng dẫn của giảng viên, người học sẽ chủ động trong việc lĩnh hội tri thức và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào các hoạt động thực tiễn Ngoài ra, việc khai thác tốt các tình huống mô hình hóa từ các bài toán thực tiễn không những giúp phát triển năng lực mô hình hóa của sinh viên mà còn thể hiện mối quan hệ mật thiết giữa các kiến thức toán cao cấp đối với lĩnh vực kinh tế nói riêng và thực tiễn cuộc sống nói chung Bên cạnh các ứng dụng trong lĩnh vực giảng dạy và nghiên cứu, việc xây dựng và kiểm chứng mô hình trong lĩnh vực kinh tế còn mang tính dự báo góp phần định hướng tốt cho hoạt động sản xuất kinh doanh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Kai Velten (2009) Mathematical modelling and

simulation WILEY-VCH Verlag, Weinheim

Lê Thị Hoài Châu (2014) Mô hình hóa trong dạy

học khái niệm đạo hàm Tạp chí Khoa học Đại

học Sư phạm, Thành phố Hồ Chí Minh, 65

Nguyễn Danh Nam (2013) Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường phổ

thông Kỷ yếu Hội thảo khoa học Cán bộ trẻ

các trường đại học sư phạm toàn quốc năm

2013 NXB Đà Nẵng, tr 512 - 516

Nguyễn Quốc Hưng (2013) Toán cao cấp C1 và

một số ứng dụng trong kinh doanh NXB Đại

học Quốc Gia TP HCM

Trần Trung (2011) Vận dụng mô hình hóa vào

dạy học môn toán ở trường phổ thông Tạp chí

Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 6

Werner Blum, Peter L.Galbraith, Hans-Wolfgang

Henn & Mogens Niss (2007) Modelling and

Application in mathematics education The

14th ICMI Study Springer