Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.. Mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy góc 600.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2013
MÔN: TOÁN; KHỐI: A - A1 - B - V
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3
2
x y
x
−
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận
của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M
sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất
Câu II (1,0 điểm) Tìm nghiệ m trên khoảng π
0;
2 của phương trình
π
x
Câu III (1,0 điểm) Giả i hệ phương trình − + − = ( ∈ )
− + + =
ℝ
x y
x y x y
,
Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân
4
2 6
tanx
dx.
cosx 1 cos
I
x
π
π
=
+
∫
Câu V (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết AB = BC = a, AD = 2a (a > 0) Mặt
phẳng (SCD) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a
Câu VI (1,0 điểm) Cho bố n số dương a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 4
b c2 c d2 d a2 a b2 2
Câu VII (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
( ) −
A 3;6 , trực tâm H 2;1 , tr ( ) ọng tâm 4 7
;
3 3
G
Xác định tọa độ các đỉnh B và C
Câu VIII (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương
trình x2 + y2 + z2 − 2 x + 4 y − 6 z − = 11 0 và mặt phẳng ( α ) có phương trình
2x + 2y – z + 17 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( β ) song song với ( α ) và cắt (S)
theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6 π
Câu IX (1,0 điểm) Tìm hệ số x3 trong khai triển 2 2 ( )
n
x
biết n là số tự nhiên
thỏa mãn C12n+ C23n + + C22n n−1 = 223
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh ; Số báo danh
Trang 2TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
Tổ: Toán ***
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - KHỐI A - A 1 - B - V - LẦN I
NĂM HỌC: 2012 – 2013
Thời gian làm bài : 180 phút
1
\ 2 , y' = 0,
2
x
−
−
ℝ
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng(−∞; 2) và (2;+∞)
0.25
Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2;
→+∞ = →−∞ = tiệm cận ngang y = 2
lim ; lim
→ = −∞ → = +∞; tiệm cận đứng x = 2 0.25
Bảng biến thiên:
x -∞ 2 +∞ y’ - -
y
0.25
Đồ thị
0.25
2 x
3 x
; x
0
0
−
−
,
( )2 0
0
2 x
1 )
x ( ' y
−
−
=
Phương trình tiếp tuyến ∆ với ( C) tại M :
3 x 2 ) x x ( 2 x
1 y
:
0
0 0
2
− +
−
−
−
=
∆
0.25
Toạ độ giao điểm A, B của (∆) và hai tiệm cận là:
( x 2 ; 2)
B
; 2 x
2 x 2
; 2
0
−
−
0
2 2 2
M x
0
0 B A
y 2 x
3 x 2
y
−
−
=
+
⇒ M là trung điểm AB
0.25
Mặt khác I(2; 2) và ∆IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp ∆IAB có
diện tích:
0.25
-∞
+∞
2 2
Trang 32 2 0 2
x
Dấu “=” xảy ra khi
=
=
⇔
−
=
−
3 x
1 x )
2 x (
1 )
2 x (
0
0 2
0
2
⇔ − = −
⇔
ℤ ℤ
5
6
0.25
0,25
Vì 0
2
∈
x = 5
− + + =
Điều kiện: x− ≥y 0;x+ ≥y 0
0.25
Ta có: (1) ⇔ x( −y) (2 x−4 )y =0 ⇔ x y
• Với x = 4y: (2) ⇒ x =32−8 15;y= −8 2 15 0.25
∫
+
= 4
6
2 cos 1 cos tan π
π
dx x x
x
cos tan cos
cos
2
2
1
x
x
+ +
0.25
cos
x
π π
= ⇒ =
= ⇒ =
1
1 4
u
u
+
∫
1 2 1 3
2
0.25
2
2
2
u
u
+ ;
;
u = 1 ⇒t= 7 u=1⇒t = 3
3 3
0.25
3
3 7
3
3
Trang 4V 1.0
60 0 H
D
C B
A
D
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là .SCA
60
SCA
-
ABC
a
Vậy:
3
a
0.25
0.25
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Lập luận tìm được ( ( ) ) 2 51 ( ( ) ) 51
2
D D
D
3
S BC SB
SB
V a
S
∆
∆
0.5
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
2
b c
2
(1 )
(1)
2 1
+
+
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
( )
2
c d
2
1
(2)
2 1
+
+
( )
2
d a
2
1
(3)
2 1
+
+
( )
2
a b
2
1
(4)
2 1
+
+
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
b c2 c d2 d a2 a b2 4
0,25
2
4 2
+ + +
Dấu "=" xảy ra ⇔ a + c = b + d
0.25
0.25
Trang 5a b c d
2
4 2
+ + +
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1
Vậy ta cĩ: a b c d
b c2 c d2 d a2 a b2
4 4 4
4 4
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1
0.25
1,0
Gọi I là trung điểm của BC Ta cĩ 3 7 1;
AI = AG⇒I
Đường thẳng BC qua I vuơng gĩc với AH cĩ phương trình: x - y - 3 = 0
0,25
Vì I 7 1;
2 2
là trung điểm của BC nên giả sử B x( B;yB) thì C(7−xB;1−yB)
và
H là trực tâm của tam giác ABC nên CH⊥AB, CH= − +( 5 x yB B; ),AB=(xB+3;yB−6)
Từ (1) và (2) ta cĩ hpt:
3
0,25
VII
1,0
Do (β) // (α) nên (β) cĩ phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D≠17)
Mặt cầu (S) cĩ tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5
Đường trịn cĩ chu vi 6π nên cĩ bán kính r = 3
0,25
Khoảng cách từ I tới (β) là h = R2−r2 = 52−32 =4 0,25
D (loại)
2 2 2
17
VIII
Vậy (β) cĩ phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0 0,25
1,0
Khai triển: 1+ 2n = 20 + 12 + 22 2+ 23 3+ + 22n −1 2n −1+ 22n 2n
Thay x = 1; x = –1 ta cĩ :
C20n +C21n +C22n +C23n + + C22n n−1 +C22n n =22n
C20n−C12n+C22n−C23n + − C22n n−1+C22n n =0
Từ đĩ: C21n +C23n + + C22n n−1 =22n−1
0,25
kết hợp giả thiết ta được n = 12 0,25
Khai triển:
12 12
12 0
2
2 −
=
k
IX
Hệ số x3 là: 7 7
122
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa
- Hết