b Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của hàm số 1 luôn có hai điểm cực trị 44, 8, đồng thời trung điểm 7 của 4ð luôn chạy trên một đường thẳng cố định.. Goi H là điểm thuộc đoạn BC sao c
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ NỘI DE THI THU ĐẠI HỌC LAN I NAM 2014
Thời gian làm bài: 180 phúi, không kế thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x) ~3mx? +3(0n —1)x— mỆ +5m - (D, trong đó m là tham số
a) Khao sat sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị 44, 8, đồng thời
trung điểm 7 của 4ð luôn chạy trên một đường thẳng cố định
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình I-Gin x1eos x) = —COSX
sin x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình
[+ —12x!+9x? +16 S—2x? +3x|Wx+3+x=1) =8 (xeR)
4
J xInxv1+3in? x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC cé đáy 4BC là tam giác vuông tại 4, ABC = 60° , BC = 2a
- Goi H là điểm thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH Biết rằng SH vuông góc với mặt đây (415C) và
SA tao voi mặt đáy một góc 600, Tính thể tích của khối chóp S.4BC và chứng minh rằng SC vuông
-góc với 4D, trong đó 2 là điểm được xác định bởi 3 = 2.SĐ
Câu 4 (1,0 diém) Tinh tich phan J =
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y,z,f 6 (1;2| Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =log „(+ 4xz—4)+log „(+ 4y—~4)+log (2Ÿ +4z—4)+ log, (f° +4~4),
CAu 7 (1,0 diém) Trong mat phang toa dé Oxy, cho-hinh vuéng ABCD cé tam 1(5;3) Tim tọa độ
cia diém D biét rang dudng thing AB di qua diém M(2;4), đường thắng BC di qua điểm NG;1)
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(I;2;3) Tìm tọa độ của điểm
4 thuộc mặt phẳng (Oxy) (4 khác gốc O), điểm C thuộc trục Oz sao cho ba diém M, A, C thing
2° +4" =2" +4"
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
logs(27”—4")=x
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Củn bộ coi thì không giải thích gì thêm
Ho va tén thi Sanh: 20 na 5 ae : Số báo danh: .-c«cc<.cc««
www.DeThiThuDsiltocec.com
Trang 2SO GD & DT HA NOI
TRUONG THPT LUONG THE VINH ĐÈ THỊ THỬ ĐẠI HỌC LÀN 1 NĂM 2014
ĐÁP ÁN - THANG DIEM MON TOAN KHOI A
* Sự biến thiên: p'=3x°-6x; y'=0€>x=0 hoặc x =2
* Hàm số đông biển trên các khoảng (-œ;0) và (2;+s}; nghịch bién trén (0; 2}; yep = 4, Yer = 9 0,25d
* Bang bién thién
x —œ 0 2 +0
_
b) Ching minh ring véi moi m, đồ thị của hàm số y= xì -3mx? +30n? —])xS— mÈ) +5m (1), luôn có 1 điềm
hai điểm cực trị 4, B, đồng thời trung điểm 7 của 44B luôn chạy trên một đường thắng cố định
Ta có y'=3x2 — 6mx + 30m” — Ì); “là ae
x=m+]
Lập bảng biến thiên (hoặc có thê lập luận: vì y` = 0 có hai nghiệm phân biệt nên y đôi dẫu hai lân 0,25đ khi x chạy qua các nghiệm) suy ra hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị
=m —ÌÏ—= y,=2m+2 Giả sử fea m “ On 5
x„ =m +Ì]=> yy = 2m-~ 2
Câu 2 Giải phương trình 1~Gin° z+cos 3) _- —CO§ x
Điều kiện sinx #0 @> x # kZ
Phương trình <>l~ | (sin? x -+cos? x)’ —3sin? x.cos” x(sin’ x + cos” x) | = 3 sin XCOSX 2 0,25d
ka x= —
| ? (k eZ)
x=“.+kz 0,25đ
4
Đối chiếu với điều kiện ta được x= s+ ka hoae x= 4 tke (keZ) | 0,25d
Câu 3 Giải phương trình (Vax' — 12x? 49x? +16 — 2x? +3x).(vx +34+Vx~1}=8 1 diem
DAt w= x’ - 5 =x/x—~1>0 Phương trình đã cho trở thành:
www.DeThiThuDsiltocec.com
Trang 3
4
<>Ay?+-4 + ——————=\u? +4 +
Jue +4 —-u
0,25d |
Do đó #/) đồng biến trên R Kết hợp với ƒ() = f(y) ta suy rau = v `
Ta có x=v?+l Do đó
tứ =v © (y?+1)Ÿ “5 +l =v 2y' +v? -2v-1=0 œ@-D@v +2” +3y+-1)= 0 ©vw=] 0,25đ
hoặc 2v) +2w?+3v+1=0 (Loại VÌ v>0=>2v)+2y2+3v+1>0+0+0+1>0), Vậy x = 2, 0,25đ
+ xInxXV1+3lnˆ x
? —
Đặt /=1+3ln” x >> In? x<Ÿ Là 2lnxdx = Ta Inx4x _ và x=e=>l=2; x=e°` >f=], 0.254
3
7
=] 3
Cau 5 Cho hinh chép S.ABC có đáy ⁄4BC là tam giác vuông tại 4, ABC = 60°, BC = 2ú Gọi H là điểm
thuộc đoạn 8C sao cho BC = 4BH Biết răng ,ŠSW vuông góc với mặt đáy (ABC) va SA tao véi mặt đáy
một góc 60 Tính thể tích khối chóp ,S 48C và chứng mỉnh rằng ,$%C vuông góc với 4D, trong đó Ð là | 1giểm điểm được xác định bởi 3.5 = 2.5)
Trang 4
Góc giữa SA và mp(ABC) la SAH = 60° Ta c6
điểm D biết rằng dwong thang AB di qua diém M(Q;4), dwong thang BC di qua điểm NG;1)
AH? = BH’ + BA’ -2.BH.BA.cos60° = +a -2 5 a= AH =—-—
0,25d
| => SH = AH.tan 60° =—
Tacó 4B? = AH? + BH” > aH LBC Kéthop voi AH LSH tasuy ra AH L(SBC)=> AH LSC (0 0,25đ
Ta có SB=x|SH? + BH” = (=) + (<) = wid _, sp D= 25B = alo
a
cosSBH = = —— —> cosCBD =-—cosSBH = ——==
2
_— Jio y avid -1 _ 90a" 3a-J10
CD? = BC? + BD? ~2BC.BD.cosCBD = (2ay +| ^ 2.24 2 —==——->CD= = SD
~ _ (a) | 4 4/10 16 4
Kết hợp với #79 = HC tasuy ra HD LSC (2)
Ạ Cc hú ý: Có thé ching minh SC va AD vuông góc bằng tích vô hướng hoặc chứng mình HD ải qua trung điểm
cua SC
_ | Cau 6 Cho x, y,z,f¢ (1;2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 điểm
= 10g yay (X" +4x-4)+log,, (y`+4y— 4) + log,,, (7? +4z-4) + log,,, (? + 4ƒ — 4)
Ta CÓ wah 2] => («-DQ? -4)s0> x +4x—- 4>x° Mat khac do yat> 1 nên ta có
log,, (0? 44x-4) 2 log v1 (x°)
_-| Chứng minh tương tự ta có
_ lop (` +4y—4)>log „3; log, (2” +4z—-4) 2 log, (23, logy,zŒ?+4/—4)>log (`)
Từ đó suy ra
P>log„(4ˆ2)+log„(0Ÿ2) + log„(22) + log,„ (Ÿ) = Ó, 0,254
Đặt a= 1⁄21,b = xzl,c = xyt,d = xyz
, ` bed acd abd abe
Tacó a,b,c,đd >1 và xÌ =a =e = sứ =
Do đó
O=log, (=) +log, (SF }+ log, l2 ae + log, (2) =(log„ b + log, a) +(log, ¢ + log, a) abd
a +(log, d + log, a) + (log, ¢ + log, b) + (log, d + log, b) + (log, d + log, c)—8 | 0.25d
P2O>24+24+2424+24+2-8=4
Khix=y=z=f=2thi P=4 Vay gid tri nhỏ nhất của P bằng 4
| Cau 7 Tr ong mặt phẳng tọa dé Oxy, cho hình vudng ABCD co tam 1(5;3) Tim tọa độ của 1 điểm
www.DeThiThuDsiltocec.com
Trang 5
Tacé BC LAB=>n „ = (ð;—a) Phương trình đường thắng 8C là ð(x— 3) — a(y — l) = 0
Vì 7 là tâm của hình vuông ABCD nên ta có đ(1; 4B) = Ä4(1; BC} 0,25
Ba-b| — |2b-2a| ©|347Ð=2a~2b _|a=~ð
<> =
Trường hợp 1: a= —ð Phương trinh dudng thing AB, 8C lần lượt là x— y+2=0,x+y—4=0 Suy ra
Trường hợp 2: 5ø = 3ö Phương trình đường thẳng 4B, 8C lần lượt là
3x+5y—26=0,5x—3y—]2 =0
| Câu 8 Cho diém (1;2;3) Tim toa độ diém A thuéc mat phang (Oxy) (A khac géc O), diém C 1 điểm thudc true Oz sao cho M, A, C thang hang va M4 = J14
Goi A(a,b,0),C(0,0,c) Tacé MA =(a—1;b-2;-3), MC =(-1;-2:¢ -3)
Vi M, A, C thang hang nén ton tai số thực & sao cho
—3 = k(c-3) k(e—3)=~3
Ta có A4? =14>(a—=1)” +(b—2Ÿ! +32 =14 © k? +4k? +9=14 © k=+l, 0,25d
Với k=—l fa suyra 4(2;4;0),C(0;0;6) 0,25d
log, (2”"' —4”) = x
Điều kiện 27! 4" > 0 <> 2"! > 2” & yt+lo2pyoy<l
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2° 2" +4" =47 =0 & (2° -2”).(2" +2” +1) =0 0,254
Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được
log, (2°" -4") = yp 2"! 4” = 8" <> 8" 44" -2.2” =0
Lo đó y = 0 (thỏa mãn điêu kiện) Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0; 0) 0,25đ
www.DeThiThuDsiltocec.com