Chứng minh rằng hàm số 1 luôn có cự đại,cực tiểu với mọi m.Tìm m để các điểm cự trị của hàm số 1 cùng với điểm I1;1, tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5.. Gọi
Trang 1www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGHI SƠN
ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN I NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: TOÁN ; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−m3+m (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= 0
2 Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có cự đại,cực tiểu với mọi m.Tìm m để các điểm cự trị của hàm số (1) cùng với điểm I(1;1), tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 32 tan 2 3 sin (1 tan tan )
x
2 Giải bất phương trình: x+ + − − ≤2 x2 x 2 3x−2
Câu III (1,0 điểm)
Tính nguyên hàm sau:
3
3 3
cot x
sin x sin x sin x
=
−
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy
Gọi E là trung điểm của BC góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300 Hãy tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC thao a
Câu V (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 Chứng minh rằng: (a 1 1)(b 1 1)(c 1 1) 1
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Biết cạnh huyền nằm trên đường ,
thẳng (d)x+7y− =31 0,điểm 5
(1; ) 2
N thuộc đường thẳng AC,điểm M(2 ;-3) thuộc đường thẳng AB
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.biết rằng điểm A có hoành độ âm
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1;0;2), N(-1;-1;0),P(2 ;5 ;3) Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ P đến (R) lớn nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2
3
2
n
x
biết rằng
C21n+1+C22n+1+C23n+1+ + C2n n+1 =228−1
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho điểm M(-3;1) và đường tròn ( ) :C x2+y2−2x−6y+ =6 0.Gọi A,B
là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C).Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB
2 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,góc A bằng 60 Góc 0
giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 30 Tính khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD) 0
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2 log ( 2 2) log ( 2 1) 6
-Hết -
Trang 2www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN : Khối A
3 3( 1)
y=x − mx + m − x−m +m (1)
I.1 Khi m=0 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3
3
y= −x x
HS tự làm:
1 điểm
I.2 Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có cự đại,cực tiểu với mọi m.Tìm m để các điểm cự trị của
hàm số (1)cùng với điểm I(1;1), tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng 5
Ta có ∆ = > ∀' 1 0 m⇒y'=0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m suy ra hàm số luôn có CĐ,CT
+) Điểm CĐ A(m-1;2-2m),CT B(m+1;-2-2m)
+) pt AB : 2x+y=0, nên A,B,I lập thành một tam giác
Với R= 5,AB=2 5 nên tam giác ABC vuông tại I với AB là đường kính
Khi đó ycbt tương đương với 2 2 2 2
3
1
m
m
= −
Kết luận: 3
5
m= hoặc m= -1
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
II.1
Giải phương trình: 32 tan 2 3 sin (1 tan tan )
x
ĐK:
cos 0
2 cos 0
2 2
x
x
π π
π π
≠
⇔
≠
2
2
sin sin
tan 2 3 sin 1
2 cos cos sin sin
tan 2 3 sin cos
cos cos
2
x x
x
x x
x
2
2
cos( )
2 3(1 tan ) tan 2 3 sin
cos cos
2 cos 2 3(1 tan ) tan 2 3 sin
cos cos
2
x x
x x
x
x x
1 điểm
0.25
0.25
Trang 3www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
tan 3 3(1 tan ) tan 2 3 tan 3 tan 2 tan 3 0 1
tan
3 tan 3
3 1
tan
6 3
x
x
π π
π π
= −
0.25
0.25
II.2 Giải bất phương trình: 2
x+ + − − ≤x x x− - www.DeThiThuDaiHoc.com
Đk: 2
3
x≥
2 3 2 2
2 3 2
x
−
Ta có ( ) 2 ( 1)
2 3 2
−
2 ( ) ( ) 0
3
f x
f x f
+
Vậy tâp nghiệm của BPT là 2; 2
3
=
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
Tính nguyên hàm sau:
3
3 3
cot x
sin x sin x sin x
=
−
∫
………
3 3
2 3
2
3
3
3
3 7
3 10
1 sin x sin x sin x
sin x 1
sin x cot x
dx sin x cot x cot x
d(cot x) cot xd(cot x) cot x
3 cot x C 10
=
−
−
∫
0.25
0.25
0.25 0.25
Câu IV
IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Gọi E là
trung điểm của BC góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300 Hãy tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC thao a
Trang 4
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
H T
M K
B E C
A D I S
Vì CB AB CB (SAB)
CB SA
⊥ SB là hình chiếu của SC trên mp(SAB)
(SC SAB.( )) (SC SB, ) CSB 30 SB BC.cot 30 a 3 SA a 2
Vậy thể tích hình chóp SABCD là:
3
.
a
Từ C dựng
2 ( , ) ( , ( )
a
d DE SC d DE CSI
Từ A kẻ AK ⊥CI cắt ED tại H, cắt CI tại K
Ta có AK CI CI (SAK) (SCI) (SAK), (SCI) (SAK) SK
SA CI
⊥
⊥
Trong mp(SAK) kẻ HT ⊥ AK⇒HT ⊥(SCI)⇒d DE SC( , )=d H SCI( , ( )=HT
5
CD AI a
AK CI CD AI AK
CI
Lại có
sin
19 38
( , )
19
0.25
0.25
0.25
0.25
V Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 Chứng minh rằng:
(a 1 1)(b 1 1)(c 1 1) 1 (1)
………
Do abc=1 nên tồn tại 3 số dương x,y,z sao cho a x,b y,c z
(1)⇔ − +(x y z y)( − +z x z)( − +x y)≤xyz (2)
Không mất tính tổng quát giả sử x= max{x,y,z} khi đó x− + ≥y z 0,x− + ≥z y 0
• Nếu z− + <x y 0thì (2) luôn đúng
• Nếu z− + ≥x y 0
0.25
0.25 0.25
Trang 5www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Ta có
2 2
2 2
2 2
4
4
4
x y z y z x
y z x z x y
x y z z x y
− + + − +
− + + − +
− + + − +
Từ đó ta có (2) được chứng minh
Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z hay a=b=c
0.25
Câu VIa
VIa.1
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Biết cạnh huyền nằm trên ,
(1; ) 2
N thuộc đường thẳng AC,điểm M(2 ;-3) thuộc đường thẳng AB Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng điểm A có hoành độ âm
2 2
0
2 2 2 2
7
a b ABC
a b
a b
+
= −
=
TH1
3a=4b⇒AB: 4x+3y+ =1 0⇒AC x:3 −4y+ =7 0⇒A( 1;1), ( 4;5), (3; 4)− B − C
TH2
4 3 : 3 4 18 0 :4 3 0 (4; ), (10;3), ( ; )
a= − b⇒ AB x− y− = ⇒AC x+ y− = ⇒A − B C − (loại)
Vậy các đỉnh của tam giác ABC là : ( 1;1), ( 4;5), (3; 4)A − B − C
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1;0;2), N(-1;-1;0),P(2 ;5 ;3).Viết phương
trình mặt phẳng (R) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ P đến (R) lớn nhất
pt (MN)
1 2
y t
= +
=
= +
Gọi H là hình chiếu của P trên (MN) suy ra H(3 ;1 ;4)
Gọi K là hình chiếu của P trên (R) nên d P R ( ,( )) = PKta có PK ≤ PH
vậy PK max khi K trùng với H
H
N
M K
P
(R) qua H(3 ;1 ;4) nhân PH (1; 4;1) − làm VTPT suy ra (R) x-4y+z-3=0
1 điểm
0 25
0.25 0.25
0.25
Trang 6www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
VIIa
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2
3
2
n
x
biết rằng
C21n+1+C22n+1+C23n+1+ + C2n n+1 =228−1
………
Ta có C12n+1+C22n+1+C23n+1+ + C2n n+1=228−1
C22n n+1+C22n n+−11+C22n n+−12+ + C2n n++11 =228 −1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 29
n
n
+
+
( )
14
0
( ) 2 14
2
k
k k
k
k
k
x
−
=
− +
− +
∑
Số hạng không chứa x khi 14
3
k
−
Vậy 2( )12
3 14 2
T = C
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
VIb.1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho điểm M(-3;1) và đường tròn 2 2
( ) :C x +y −2x−6y+ =6 0.Gọi
A,B là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C).Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên
đường thẳng AB
………
( ) : (C x−1) + −(y 3) =4
Gọi A x y ( ; ), ( ;1 1 B x y2 2)
Tiếp tuyến tại A,B có phương trình 1 1
Vì hai tiếp tuyến cùng đi qua M(-3;1) nên 1 1
Nên (AB) 2x+y-3=0
H là hình chiếu của M trên AB nên pt (MH): x-2y+5=0
Suy ra 1 13
( ; )
5 5
H
1điểm
0.25
0.25
0.25 0.25 VIb.2 2 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,góc A bằng
0
60 Góc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 30 Tính khoảng cách từ đường thẳng BC tới 0
mặt phẳng (B’AD)
………
1điểm
Trang 7www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
K
B' C'
A' D'
B C
A I D
Gọi I là trung điểm của AD,K là hình chiếu của B trên B’I, vì A=600 ⇒∆ABDđều cạnh a
0
'
BI AD
0 3
' tan 30
Do BC/ /AD⇒BC/ /( 'B AD)⇒d BC B AD( , ( ' )=d b B AD( , ( ' )
Vì BK B I' BK ( 'B AD)
BK AD
Xét tam giác vuông B’BI tại B ta có
( ( ' )
0.25
0.25 0.25
0.25
VIIb
Giải hệ phương trình:
2
2 log ( 2 2) log ( 2 1) 6
………
+ Điều kiện:
2
( )
I
2 log [(1 )( 2)] 2 log (1 ) 6 log ( 2) log (1 ) 2 0 (1) ( )
log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2)
I
Đặt log2+y(1− =x) t thì (1) trở thành: t 1 2 0 (t 1)2 0 t 1
t
Với t=1 ta có: 1− = + ⇔ = − −x y 2 y x 1 (3) Thế vào (2) ta có:
2
log ( 4) log ( 4) = 1 log 1 1 2 0
0 2
x x
=
⇔
= −
Suy ra:
1 1
y y
= −
+ Kiểm tra thấy chỉ có x= −2, y=1thoả mãn điều kiện trên
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x= −2, y=1
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
