Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O, hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1
NGÀY 05/01/2014
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013 – 2013
Môn : TOÁN, Khối A, B
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: y 2x 1
x 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm m để đường thẳng y=1
2xmcắt đồ thị (C) tại hai điểm A,B sao cho KA=KB với K(2;0)
Câu II (2,0 điểm)
4 2 cos ) sin 2 ( 2 cos ) 2
cos 2 (sin 2
x x
x x
2 Giải phương trình : 1 2 2 27 2 2
8
x x x x x
Câu III (1,0 điểm) Tính: I=.
2 2
1
x x x x
x e xe e
dx xe
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, và góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) với (SBD)
Câu V:(1,0 điểm) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn:x2y2xzyz2xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 4
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng có phương trình lần lượt là d1: 3x-4y-24=0,
d2: 2x-y-6=0 Viết phương trình đường tròn(C ) tiếp xúc với d1 tại A và cắt d2 tại B, C sao cho BC = 4 5 và
sin A = 2
5 Biết tâm I của đường tròn (C ) có các tọa độ đều dương
2
Câu VII.a (1,0 điểm).
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập các số có 4 chữ số khác nhau Lấy ngẫu nhiên một số trong các số được
lập, tính xác suất để số được lấy có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2
C x y Viết phương trình tiếp tuyến của
đường tròn (C) biết tiếp tuyến đó cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ
nhất
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(-2;0;0) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm H tiếp xúc với Oy
Câu VII.b (1,0 đi ểm)Giải bất phương trình 2log22x4log2x200
.……….Hết………
Họ và tên thí sinh , Số báo danh
www.VNMATH.com
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu
-ý
I.1 *Tập xác định :D \ 1
Tính
2
1
( 1)
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (;1) và (1;)
*Hàm số không có cực trị
Giới hạn
1
x lim y
1
x lim y
2
x lim y 2
x lim y
Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2
*Bảng biến thiên
x 1
y’ - -
y
2
2
*Vẽ đồ thị (Học sinh tự vẽ)
0.25
0.25
0.25
0.25 I.2
* PT hoành độ giao điểm của dm: y =1
2xm với (C) là :
1 2
x
x m x
1
x
dm cắt © tại hai điểm khi (1) nghiệm phân biệt khác
2
m
* Gọi x1, x2 là các nghiệm của PT(1):x1x2 5 2m Toạ độ giao điểm của dm với (C):
A x x m B x x m
;
I
2
m
0.25
0.25
0.25 0.25 II.1
2
sin 2 cos sin 2 2
cos 2
cos 2 sin 1 2
cos 2 sin
2
sin 2 cos sin 2 2 cos sin 2
1 1 2
cos 2 sin
0 1 2 cos 2
0 sin 2
0 2
sin 2 cos 0
1 2 cos 2 ) sin 2 ( 2
sin 2 cos
x x
x x
x x
x x
+) 2sinx0sinx2 (vô nghiệm)
0.25
0.25
0.25
www.VNMATH.com
Trang 3+) 2cos 1 0 cos 1 4 4
Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 , x 4k4 k
0.25
II.2
III
ĐK: x0, Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình
Nhân hai vế của phương trình với 2 ta có:
x x x x x x x x x
2
2 27
4
x
x x
VT(*) = f(x) có f’(x) =
2
1
x x x
, f(x) là hàm nghịch biến trên khoảng 0;
VP(*) = g(x) có g’(x) = 27 0, 0 ( )
2 x x g x là hàm đồng biến trên khoảng 0;
phương trình (*) có không quá một nghiệm
Mặt khác x = 2
3là nghiệm của (*).Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =
2
3
2
1
x
0.25
0.25
0.25
0.25
0,5 0,5
IV
Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC , BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của
mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a Gọi K là hình
chiếu của O trên AB, gọi I là hình chiếu của O trên SK
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên
giao tuyến của chúng là SO (ABCD)
Ta chứng minh được khoảng cách O tới (SAB) là đoạn OI
Ta có trong tam giác vuông AOB ta có: 1 2 12 12 12 12 3
a OK
OK OA OD a a
.Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao 12 1 2 12
2
a SO
OI OK SO
Diện tích đáy S ABCD 4SABO 2.OA OB 2 3a2;
đường cao của hình chóp
2
a
SO Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
.
S ABC ABC
a
Ta có hình chiếu của tám giác SAB trên mf(SBD) là
Tam giác SBO Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SBD) ta có os SBO
SAB
s c
s
Ta có :
2
2
a
s OB SO SK as a c
0.25
0.25
0.25 0.25
A
O
I
D
a
K
S
www.VNMATH.com
Trang 4V
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho hai số dương và bất đẳng thức: 2 2 2
2
a b
a b
4
Đặt 4
x y
t z
P
Xét hàm số
2
t
Ta có f(x) nghịch biến trên0;1
0;1
81
8
t P f
Khi đó x = y =
2
z
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.1 Gọi I(x;y), R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (C )
Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: R = d(I; d1) =5 ( do (C ) tiếp xúc với d1)
Gọi M là trung điểm của BC theo định lý Pitago ta có MI = d(I;d2) = R2MB2 5
Khi đó ta có hệ: 3 4 24 25
x y
x y
Giải hệ ta đươc 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu
TH1 I 1;1 ta có phương trình (x -1)2+(y-1)2=25
TH2 I(9;7) ta có phương trình (x -9)2+(y-7)2=25
0.25 0.25
0.25 0.25 VIa.2
0
2 0
x y
xy
Khi đó ta có hệ
2
2
2 3
y xy
x xy
2
2
2
1( )
3 1
1
2 3
3
x y loai
x
x y
x y
y
x xy
x xy
(t/mđk)
0.25
0.25
0.5
VIIa Từ 6 chữ số đã cho ta lập được 4
A số có 4 chữ số khác nhau
Số cách chọn 2 chữ số chẵn từ 3 chữ số 2,4,6 là 2
C
Số cách chọn 2 chữ số lẻ từ 3 chữ số 1,3,5 là 2
C
Từ 4 chữ số được chọn ta lập số có 4 chữ số khác nhau, mỗi số lập được ứng với một hoán
vị của 4 phần tử theo quy tắc nhân ta có số các số lập được thỏa mãn yêu cầu là:
3 3.4! 216
Xác suất để chọn được số có 4 chữ số khác nhau được chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 trong
đó có 2 chữ số chẵn 2 chữ số lẻ là: 216 3
360 5
P
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.1
Tâm : 0; 0
C R
Gọi tọa độ A a ;0 , B 0;b với a0,b0 0.25
www.VNMATH.com
Trang 5+ Phương trình AB: x y 1 x y 1 0
a b a b
AB tiếp xúc (C)
1
ab
d O AB
a b
(***)
2
a b a b
S
SOAB nhỏ nhất khi a b
Từ a và (***) suy ra b a b 2
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là 1 0
x y
0.25
0.25
0.25
VIa.2
AO BC
Tương tự ABOH Suy ra OH (ABC)
x y z
x y z
*mp(ABC) có vtpt n 1; 2;1
nên OH có vtcp un(1; 2; 1)
*Phương trình đường thẳng OH: 2 1 2 1; ;
3 3 3
x t
x t
Khoảng cách từ H tới Oy là 2
3
R
Phương trình mặt cầu tâm H tiếp xúc với Oy là
0.5
0.25
0.25
VIIb Điều kiện: x> 0 ; BPT 24log 2x4log 2x200
Đặt. log2
4 x
y , y 1
0.25
BPT trở thành y2 + y- 20 0 - 5 y 4.Do y 1nên ta có y 4 0.25 Khi đó ta có : log2 2
4 x4log x 1 1 log x1 1 2
2 x
0.25 0.25
Lưu ý : Nếu thí sinh làm cách khác đúng thì giám khảo chấm theo các bước làm của cách đó
www.VNMATH.com
