Tìm giá trị nhỏ nhất... Ta có M, N là trung điểm của AB, AC suy ra MH=MA; NA=NH trung tuyến ứng với cạnh huyền suy ra MN là đường trung trực của AH⇒KA=KH.. Vậy F là trung điểm của MN.. -
Trang 1UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2010-2011 Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
Câu 1:(1,5 điểm ) Rút gọn biểu thức: 1 1
ax bx A
ax bx
=
với x 1 2a b
−
= và 0 < a < b < 2a
Câu 2:(2,0 điểm )
2008 x2009 + 2009 y2010 = 2011.
b) Xét dãy số a1 = 1; a2 = 3 và an+2 = 2 an+1 − + an 1 với mọi n là số nguyên
dương Chứng minh rằng A = 4 a an n+2 + 1 là số chính phương.
Câu 3:(3,0 điểm )
a) Giải hệ phương trình: (I)
3xy = 2 x+ y 5yz = 6 y + z 4zx = 3 z + x
x + y + = x + y + y +
Câu 4:(1,0 điểm)
Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a3+ + =b3 c3 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
A a b c
a b c
+ +
Câu 5:(2,5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R (AB<AC).
Đường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N (M, N không trùng với A) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
a) Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
2
AB AC R
AH
c) Kẻ dây cung AE của đường tròn (I) song song với MN Gọi F là giao điểm của MN và HE Chứng minh F là trung điểm của MN.
====== HẾT ======
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHềNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN 9 H ƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2010-2011
1
Đặt
( )
2 2 2
ax a x M
+ + Thay x=1 2a b a b− vào M ta đợc:
2 1
a b
b a b
M
a b
−
(1)
1
bx
bx bx
+
Thay x 1 2a b
−
= vào N ta đợc:
N
( vỡ a< b nờn ( )2
a b− = − = −a b b a) (2)
2 2
1
A
a b a ab b
a b
b
−
0,5
0,5
0,5
- Nếu y chẵn thỡ với mọi x ∈ Z cú 2008x2009 + 2009y2010 là số chẵn; mà 2011 là số lẻ suy
ra phương trỡnh đó cho khụng cú nghiệm nguyờn
- Nếu y lẻ thỡ y1005 là số lẻ Đặt y1005 = 2k + 1 ( k ∈Z )
⇒ 2009y2010 = 2009(y1005)2 = 2009(2k + 1)2 = 2009(4k2 + 4k + 1) = 4[2009(k2 + k)] +
2009
Ta cú 2009y2010 chia cho 4 dư 1 ⇒ 2008x2009 + 2009y2010 chia cho 4 dư 1; mà 2011 chia
cho 4 dư 3 suy ra phương trỡnh đó cho khụng cú nghiệm nguyờn
Vậy khụng cú cỏc số nguyờn x, y nào thỏa món hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011
0,25
0,5 0,25
2
n
n n
a = +
(*)
Thật vậy: Với n=1 ta cú a1 = 1 (*) đỳng
Giả sử (*) đỳng đến n k = + 1 (k Z ∈ +) nghĩa là 1 ( 1)( 2)
2
k
a+ = + +
Ta phải chứng minh (*) đỳng với n k = + 2
0,25
Trang 3Ta có 2 1 ( 1)( 2) ( 1)
2
k + k + ⇒
(*) đúng với n k = + ⇒ 2 (*) đúng với mọi n Z ∈ +
Do đó A = 4 a an n+2 + = 1 ( n2 + 3 n + 1)2 ⇒ A là số chính phương.
0,5
0,25
3
a)
+ Với xyz=0 suy ra x = y = z = 0
+ Với xyz ≠ 0 thì hệ (I) được viết lại:
+
+
⇔(II)
+ =
+ =
+ =
Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:
2
x+ + =y z 6 (*) Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có: x = 1,
y = 2, z = 3 Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm là: (0; 0; 0) và (1; 2; 3)
0,25
0,5
0,5
0,25
2
Vì x y N , ∈ nên 2 x y + ≥ 2 x y − và 2 x y + ≥ 0 Do đó từ (1) suy ra
KL: Phương trình có nghiệm duy nhất (x,y)=(2;3)
0,5
0,5
0,5
4
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 2+a3 = + +1 1 a3 ≥33 a3 =3a
Tương tự: 2+ ≥b3 3 ; 2+cb 3 ≥3c Do đó 6+ + + ≥a3 b3 c3 3(a b c+ + ⇒ + + ≤) a b c 3
3
a b c
a + + ≥b c + + (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xky)
3
a b c
A a b c
+ +
2
a b c
a b c a b c a b c
+ +
(Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và do 0< + + ≤a b c 3.)
Vậy minA=673 Dấu bằng xảy ra ⇔ = = =a b c 1
0,25
0,5
0,25
Trang 4a) Ta có: ·AMO ANO=· =900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )
;
OM AB ON AC
,
M N
⇒ lần lượt là trung điểm của AB, AC ( Quan hệ giữa đường kính và dây cung)
b) Kẻ đường kính AD của đường tròn (O)
90
ACD= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I) )
Xét HBAV và CDAV có µH C= =µ 900; ·ABH =·ADC ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung
AC) ⇒VHBA đồng dạng với VCDA g g( − ) AH AB AD AB AC.
Mà AD 2R 2R AB AC.
AH
2
AB AC R
AH
=
c) Gọi K là giao điểm của AH và MN Ta có M, N là trung điểm của AB, AC suy ra
MH=MA; NA=NH (trung tuyến ứng với cạnh huyền) suy ra MN là đường trung trực của
AH⇒KA=KH
AHE
V có: KA=KH (cmt); AE//MN (gt)⇒FH=FE
Hình thang AENM nội tiếp đường tròn (I) ⇒ AENM là hình thang cân⇒ENM· =·AMN
Lại có ·AMN =·HMN(tính chất đối xứng)⇒ENM· =·HMN ⇒EN/ /MH
Xét MFHV và NFEV có: ·MFH =·NFE (đối đỉnh); FH=FE (cmt); ·MHF =NEF·
(vì EN//MH)⇒VMFH =VNFE g c g( − − )⇒FM =FN.
Vậy F là trung điểm của MN
0,25
0,5
0,5 0,25
0,5
0,5
Ghi chú :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải
khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.
