Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đờng tròn tại C, D; N là giao điểm các dây cung AC, BD.. Đờng thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lợt tại E, F.. MN vuông góc với AB.
Trang 1Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008 Môn thi: toán lớp 9 - bảng a
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
a Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và
tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11
b Chứng tỏ rằng: 3 7 50 3 7 50 là số tự nhiên.
Bài 2: (4,0 điểm)
a Giải phơng trình:
4x 5x 1 3 2 x x 1 9x
b Giải hệ phơng trình:
xyz 24
y 2
Bài 3: (4,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn: a2 + b2 = 1.
a Chứng minh : 1 a + b 2
b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 1 2a 1 2b
Bài 4: (3,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1.
Chứng minh rằng: Nếu x + y + z > 1 1 1
x y z thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1.
Bài 5: (5,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và dây cung CD (C, D không
trùng với A, B) Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đờng tròn tại C, D; N
là giao điểm các dây cung AC, BD Đờng thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lợt tại E, F Chứng minh:
a MN vuông góc với AB.
b NE = NF
Năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức Môn: toán lớp 9 - bảng A
Đề chính thức
Trang 2Gọi số cần tìm là abc (a, b, c N; a, b, c 9, a 0) (1)) (1)
Theo bài ra ta có:
10) (1)0) (1)a 10) (1)b c 11 (2)
a b c 11 (3)
c chẵn (4)
0) (1).5
Từ (2) , (3) 10) (1)1a + 11b + 2c 11 2(a + c) 11
mà 1 a+ c 18 và (2; 11) = 1 a + c = 11 (5) 0) (1).5
do c chẵn và a + c = 11 (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8) 0) (1).5 Vậy các số cần tìm là 90) (1)2; 70) (1)4; 50) (1)6; 30) (1)8 0) (1).5
7 50) (1) 7 50) (1) X3 = 14 – 3X 0) (1).5
X3 + 3X – 14 = 0) (1) (X-2)(X2 + 2X + 7) = 0) (1) 0) (1).5
7 50) (1) 7 50) (1) =2 hay 3 3
7 50) (1) 7 50) (1) là số tự nhiên 0) (1).5
Điều kiện xác định: {x -1 hoặc 1
x 4
}
Đặt
2
2
4x 5x 1 a, (a 0) (1))
2 x x 1 b, (b 0) (1))
4x 4x 4 b
0) (1).5
a 2 – b2 = a - b (a-b)(a+b-1) =0) (1) 0) (1).5
Do b = 2
a + b –1 > 0) (1) a – b =0) (1) 0) (1),5
Từ a – b =0) (1) 9x – 3 = 0) (1) 1
x 3
Với 1
x
3
thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là: 1
x 3
0) (1).5
Với x, y là 2 số bất kỳ ta luôn có (x + y)2 2(x2 + y2) 0) (1).5 Nên a, b 0) (1) và a2 + b2 =1 (a+b)2 2 0) (1).5
a+b 2 (dấu = khi a=b= 1
2 )
0) (1).5
Mặt khác (a+b)2 = a2 + b2 +2ab = 1+ 2ab (a + b)2 1 0) (1).5
Mà a, b 0) (1) a+ b 1 (dấu = xẩy ra khi (a, b) = (1,0) (1)) hoặc (0) (1),1)) 0) (1).5
Xét tích
(x – 1) (y - 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1 0.5
Trang 3= x + y + z - 1 1 1
x y z
mà x + y + z > 1 1 1
x y z (x –1)(y – 1)(z – 1) >0) (1) 0.5
nếu cả 3 thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) đều dơng xyz > 1 (loại) 0.5 nếu cả 3 thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) đều âm (x –1)(y – 1)(z –
1)<0) (1)
Nếu 2 thừa số dơng, 1 thừa số âm (x –1)(y – 1)(z – 1)<0) (1) (loại)
0.5
Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dơng trong 3 số x, y, z có hai số bé hơn
Vậy trong 3 số x, y, z luôn có duy nhất một số lớn hơn 1 0.5
0.5
a Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm của tam giác PAB PN AB 0.5
Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại D với PN là M’ Do góc PDM’ = góc ABD (1/2 số đo
M’P = M’D M’ là trung điểm đoạn PN 0.5
Tơng tự tiếp tuyến tại C cũng cắt PN tại M’ 0.5
b Trên tia đối của tia DB lấy điểm Q sao cho DQ=DB QA//NO 0.5
QA NE A là trực tâm tam giác QEN 0.5
Chú ý:
- Tổng điểm toàn bài là: 20) (1),0) (1) điểm
- Các cách giải khác cũng đợc cho điểm tơng đơng
- Bài 5 không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm.
Q
P
C M
B O
N
E H
D A
F
