Vấn đề: Tính tích vô hướng của hai véc tơ

Phương pháp 3 uuur uuur Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ AB và CD , ta có : uuur uuur uuur uuuuur AB.. Phương pháp 4 Sử dụng biểu thức tọa độ.[r]

Vấn đề 1: tính tích vô hướng của hai véc tơ

Phương pháp 1

Sử dụng định nghĩa : đưa hai véc tơ và về cùng gốc để xác định góc ( , ) rồi tính ar br ar br ar

= cos( , )

br ar br ar br

Phương pháp 2

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các hằng đẳng thức véc tơ và thường phối hợp với phương pháp 1

Phương pháp 3

Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ ABuuur vàCDuuur, ta có :

ABuuur.CDuuur=ABuuur.C Duuuuur' '=AB CD.

Trong đó C’,D’ là hình chiếu của C và D trên đường thẳng chứa véc tơABuuur

Phương pháp 4

Sử dụng biểu thức tọa độ.

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120 , AB=AC=a,

I là tâm đường tròn nội tiếp

a) tính ABuuur.CAuur ; ABuuur.IHuur

b) tính ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur ABuuur

a) ABuuur.CAuur=a2cos(ABuuur,CAuur)=a2cos60= a1 2

2 BC=2BH=2ABsin60= 3a I

B H C

áp dụng công thức: IH= 2sin120 =

2(2 3)

ABC

r

+

o V

2 3

4 (2 3)

a

VậyABuuur.IHuur=a 3 cos

4(2 3)

a

8(2 3)

a

= +

b) ABuuur+BCuuur+CAuur=0r (ABuuur+BCuuur+CAuur)2=0

AB2+BC2+CA2+2(ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur +CAuur ABuuur)=0

ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur +CAuur.ABuuur= 5 2

2

a

-Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b

a) tính ABuuur.ACuuur theo a, b, c

b) suy ra ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur +CAuur ABuuur

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos(AGuuur ,BCuuur)

A D

I

B C

Giải:

a) Ta có BC2=BCuuur2=( ACuuur - ABuuur)2=AC2+AB2-2 ACuuur ABuuur

Do đó ACuuur ABuuur=1 2 2 2 = (b2+c2-a2) (1)

2 AC + AB - BC 1

2

Ghi nhớ công thức (1)

b) Từ (1) : CAuur.ABuuur= (a1 2-b2-c2)

2

Tương tự: ABuuur.BCuuur= (b1 2-c2-a2)

2

Và BCuuur.CAuur= (c1 2-a2-b2)

2

ABuuur.BCuuur+ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur= (a1 2-b2-c2)+ (b2-c2-a2)+ (c2-a2-b2)=- (a2+b2+c2)

2

1 2

1 2

1 2

Chú ý : có thể làm theo cách như ví dụ 1 (Câu b)

c) AGuuur = (1 + )

3 ABuuur ACuuur

AG2=AGuuur 2= (1 + )2= (AB2+AC2+2 )= (c2+b2+ b2+c2-a2)

9 ABuuur ACuuur 1

9

= (2b1 2+2c2-a2) AG=

9

1 3

2b + 2c - a

Cos(AGuuur ,BCuuur)= . (1)

.

AG BC

AG BC

uuur uuur uuur uuur

= ( + ).( - )= (b2-c2) (2)

AGuuur BCuuur 1

3 ABuuur ACuuur ACuuur ABuuur 1

3

Thay (2) vào (1) : Cos(AGuuur ,BCuuur)=

-Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD= a

a) Tính các tích vô hướng ABuuur.CDuuur, BDuuur.BCuuur và ACuuur BDuuur

b) Gọi I là trung điểm của CD, tính AIuur.BDuuur Suy ra góc của AI và BD

Giải :

a) BAuuur là hình chiếu của CDuuur lên đường

thẳng chứa BAuuur

Ta có ABuuur.CDuuur=ABuuur.BAuuur=-ABuuur2=-4a2

BDuuur.BCuuur=BHuuur.BCuuur=a.3a=3a2

ACuuur BDuuur=(ABuuur+BCuuur).BDuuur=ABuuur.BAuuur+BCuuur.BDuuur

=-4a2+3a2=-a2

A D

C’

A’

B C

A D

C’

A’

B C

b) AIuur.BDuuur= (1 + ).( - )

2 ADuuur ACuuur ADuuur ABuuur

= (1 2- + - )

2 ADuuur ADuuur ABuuur ACuuur ADuuur ACuuur ABuuur

Mà Vậy = (a2+3a2-4a2)=0  AI  BD

2

2

2

2

; 0

ùù

ớù

ùù

ùợ

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur AIuur BDuuur 1

2

Bài tập :

1.Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC=a

Tính ABuuur.ACuuur ; ACuuur CBuuur

2.Cho tam giác ABC có AB=4, BC=7, ca=9.

a) Tính BCuuur2 rồi suy ra ABuuur.ACuuur và tính cosÂ

b) Tính CAuur.CBuuur

c) Gọi I là trung điểm của AC Tính CIuur CBuuur

3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2.

a) Tính ABuuur.ACuuur suy ra cosÂ

b) G là trọng tâm tam giác ABC Tính AGuuur BCuuur

c) Tính GAGA GB GCuuur uuur + uuur uuur +GC GAuuur uuur.

d) AD là phân giác trong của góc BAC (DBC)

Tính ADuuur theo ABuuur vàACuuur suy ra : AD

3

p

a) Tính BC, AM (M là trung điểm của BC)

b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi :

5 Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a

Hãy tính AB trong các trường hợp sau :

a) ACuuur ABuuur=a2

b) ACuuur BDuuur=-a

c) IC IDuur uur. =a2 (I là trung điểm của AB)

6 Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B

với AD=2a , AB=BC =a

a) Tính ACuuur BDuuur

b) Suy ra hình chiếu A Cuuuuur' ' của ACuuur lên BDuuur

7 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ; Mlà trung điểm của BC Biêt rằng :

AMuuuur.BCuuur= Tính AB, AC.2

2

a

8 Cho các véc tơ a br,r biết rằng 2a br- r = 3 Tính a br.r ?

9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến

Biết BNuuur.CPuuur=x ; BNuuur.CAuur =y ; CPuuur.ABuuur=z (x, y, z R)

Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x, y, z

10 Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a

Lấy M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a)

a) Tính AMuuuur theo ABuuur và ACuuur

b) Tính x để AM  PN

Đáp số và giải :

1 đs: ABuuur.ACuuur =0; ACuuur CBuuur=-a2

2 đs: a) 49; 24; cosÂ= b) 57 c) 2

3

57 2

2IAuur+ IBuur = 0;JBuur = 2JCuuur

3 đs : a) 3; cosÂ= b) = c) =

2

4

- AGuuur BCuuur 5

3

6 AB BC CA 6

2

2 133 3

d) Hình chiếu A Cuuuuur' ' củaACuuur lên BDuuurngược hướng với BDuuur và có ' '

2

a

A Cuuuuur =

5 đs :

a) AB=a; b) AB=a 3; c) AB=2a

d) Đặt AB=x>0 Ta có BD= x2 +a2

=( + )( + )=- 2+ =-x2+2a2

ACuuur BDuuur ABuuur BCuuur BAuuur ADuuur ABuuur BCuuur ADuuur

Mặt khác theo định lý hình chiếu : ACuuur BDuuur=A Cuuuuur' '.BDuuur=A Cuuuuur' ' BDuuur

cos180=-2

x +a

Dẫn đến phương trình : 2a2-x2=- Giải phương trình ta được x=

2

Vậy AB=a 3

7 đs: AB=a, AC=a 2

8.đs : a br.r= 1

2

9 Hướng dẫn giải : phân tích BNuuur=BAuuur+ANuuur= -ABuuur+1 (1)

2 ACuuur

CPuuur=CAuur+APuuur =CAuur+1 (2)

2 ABuuur

Thay (1),(2) vào BNuuur.CPuuur=x(-ABuuur+1 ).( + )=x5 -2 2-2 2=4x

2ACuuur CAuur 1

2ABuuur ABuuur ACuuur ABuuur ACuuur

Đặt ABuuur.ACuuur =t; AB=c; AC=b Ta được : 5t-2c2-2b2=4x

Tương tự : BNuuur.CAuur=y -b2+2t=2y

CPuuur.ABuuur=z-c2+2t=2z

2

2

5 2 2 4

2 2

2 2

ỡù - - =

ùù

ùù - + =

ớù

ùù - + =

ùùợ

2 2

(4 4 4 ) / 3 (8 8 2 ) / 3 (2 8 8 ) / 3

ỡù = - -ùù

ùù = - -ớù

ùù = - -ùùợ

(8 8 2 ) / 3 (2 8 8 ) / 3 (2 8 2 ) / 3

ỡù = - -ùù

ùù = - -ớù

ùù = - -ùùợ

10.Giải :

a) BM=a; BC=3a Suy ra :

uuur uuuur r uuur uuuur uuur uuuur r

uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur

b) AM  PN  AMuuuur.PNuuur =0 (2 + ).( )=0

3ABuuur 1

3ACuuur ANuuur- APuuur

3ABuuur 1

3ACuuur 1

3ACuuur

3

x

a AB

uuur

(2- ) +9ax 2-18ax=0x=

a

1

2

4 5

a

Chứng minh hai véc tơ vuông góc

Thiết lập điều kiện vuông góc

A

H

B M C

Phương pháp :

 sử dụng 3 quy tắc như ở vấn đề 1

 Về độ dài , chú ý rằng : AB2=ABuuur2=((OA OBuuur- uuur) 2 với O là một điểm tùy ý

 Để chứng minh hai véc tơ và vuông góc ta chứng minh =0aur br aur br

Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề :

  =0 aur br aur br

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng :

a) MAuuur.BCuuur +MBuuur.CAuur +MCuuuur.ABuuur=0

b) MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2, với M là một điểm tùy ý

Suy ra vị trí của M để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

a) MAuuur.BCuuur=MAuuur.(MCuuuur-MBuuur)=MAuuur.MCuuuur-MAuuur.MBuuur

Tương tự: MBuuur.CAuur=MBuuur.MAuuur-MBuuur.MCuuuur

MCuuuur.ABuuur=MCuuuur.MBuuur-MCuuuur.MAuuur

Cộng từng vế ta có kết quả câu a)

b) Phân tích AM2= MAuuur2=(MGuuuur+GAuuur)2=MG2+GA2+2MGuuuur.GAuuur

Tương tự MB2=MG2+GB2+2MGuuuur.GBuuur

MC2=MG2+GC2+2MGuuuur.GCuuur

Cộng từng vế 3 đẳng thức ta được: MA2+MB2+MC2= 3MG2+GA2+GB2+GC2

Từ đó MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng :

a) MHuuuur.MAuuur= BC1 2 b) MA2+MH2=AH2+ BC2

4

1 2

Giải :

a) Ta có : 4MHuuuur.MAuuur= -4MHuuuur.AMuuuur=

-2MHuuuur.(ABuuur+ACuuur )=2MHuuuur.BAuuur+2MHuuuur.CAuur=

=2(MCuuuur+CHuuur).BAuuur+2(MBuuur+BHuuur)CAuur

A B

O

D C

=2MCuuuur.BAuuur+2MBuuur.CAuur =2MCuuuur.(BAuuur-CAuur )=BCuuur.BCuuur

=BCuuur2= BC2

b) AH2=(MHuuuur-MAuuur)2=MH2+MA2-2MHuuuur.MAuuur=MH2+MA2- 1BC2

2

MA2+MH2=AH2+ 1BC2

2

Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD M là một điểm tùy ý Chứng minh :

a) MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur

b) MAuuur.MCuuuur=MBuuur.MDuuur

c) MA2+MC2=MB2+MD2

Giải :

a ) Gọi O là giao điểm của AC và DB

Ta có : MAuuur+MCuuuur=2MOuuur

MBuuur+MDuuur =2MOuuur

Vậy MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur

b) MAuuur.MCuuuur=(OAuuur-OMuuur).(OCuuur-OMuuur )=(MOuuur+OAuuur).(MOuuur-OAuuur)=MO2-OA2

MBuuur.MDuuur=(OBuuur-OMuuur).(ODuuur-OMuuur)=(MOuuur+OBuuur).(MOuuur-OBuuur)=MO2-OA2

c) Theo câu a) : MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur(MAuuur+MCuuuur)2=(MBuuur+MDuuur )2

 MA2+MC2+2MAuuur.MCuuuur=MB2+MD2+2MBuuur.MDuuur

 MA2+MC2=MB2+MD2 (theo câu b)

Bài tập :

1 Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo.

a) Chứng minh : 2ACuuur BDuuur=AB2-BC2+CD2-DA2

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là :

AB2+CD2=BC2+DA2

c) Chứng minh : AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4EF2

2 Cho bốn điểm A, B, C và M tùy ý Chứng minh hệ thức :

a) MAuuur.BCuuur+MBuuur.CAuur+MCuuuur.ABuuur=0

b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đường cao đồng quy

3 Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD

Chứng minh rằng OE vuông góc với CD

4 Cho đường tròn (O, R) Chứng minh điều kiện cần và đủ

để AM là tiếp tuyến với đường tròn tại M là:

OAuuur.OMuuur=R2

5 Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O,

đường kính AB=2R Gọi I là giao điểm

của hai đường thẳng AM và BN

a) chứng minh : AMuuuur.AIuur=ABuuur AIuur; BNuuur.BIuur= BAuuur.BIuur

b) Tính AMuuuur.AIuur+ BNuuur.BIuur theo R

6 Cho tam giác ABC , trung tuyến AM, đường cao AH

Chứng minh các đẳng thức sau :

a) ABuuur ACuuur =AM2- 2 = (AB2+AC2-BC2)

4

2

b) AB2+AC2= 2AM2+1 BC2

2

c) AB2-AC2=2ABuuur.MHuuuur

d) SABC=1

2

2 2 ( ) 2

AB AC - AB ACuuur uuur

7 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b

Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:

a)AC vuông góc với BD

b) BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC

8 Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BM, CN Đặt BC=a, CA=b,AB=c

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c khi BMvuông góc với CN

9 Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho :

a) CI vuông góc với DI (I là trung điểm của AB )

b) BD vuông góc với CI

c) AC vuông góc với DI

d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung tuyến CN của tam giác BCD

O

A M

M

N I

B O A

A a B

h M

D C

A

E D

O

B C

10 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi :

ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur+CBuuur.CDuuur+DCuuur DAuuur = 0

Lời giải và đáp số :

3 Giải :

Ta chứng minh OEuuur CDuuur=0

Thật vậy : OEuuur.CDuuur=(AEuuur-AOuuur).(ADuuur-ACuuur )=

Mà AEuuur= (1 + ) (vì E là trọng tâm của tam giác

3 ACuuur ADuuur

ADC)

OEuuur CDuuur 1

3 ACuuur ADuuur AOuuur ADuuur ACuuur

= (AD1 2-AC2)- + (1)

3 AOuuur ADuuur AOuuur ACuuur

Thay AOuuur.ACuuur =AFuuur ACuuur (định lý hình chiếu, với F là trung

điểm của AC)

=1AC2

2

Và AOuuur.ADuuur=AD2 (định lý hình chiếu)

Vào (1) , ta được OEuuur.CDuuur= (AC1 2- 4AD2)= 0

6

4 Giải :

Xét điểm M tùy ý(O, R)

OAuuur OMuuur OAuuur OMuuur OMuuur MAuuur OMuuur =0

OM2+MAuuur.OMuuur=0

OMuuur.AMuuuur=OM2OMuuur AMuuuur=R2

5 Giải :

a) AMuuuur là hình chiếu của ABuuur trên đường thẳng AI

Vậy ABuuur.AIuur=AMuuuur.AIuur (định lý hình chiếu)

BNuuur là hình chiếu của BAuuur lên đường thẳng BI Vậy : BAuuur.BIuur =BNuuur.BIuur

b) AMuuuur.AIuur+ BNuuur.BIuur=ABuuur.AIuur+ BAuuur.BIuur=ABuuur.(AIuur-BIuur )=ABuuur2=4R2

7 Giải :

a) Ta chứng minh : ACuuur BDuuur=0

ACuuur BDuuur ACuuur ADuuur ABuuur ACuuur ADuuur ACuuur ABuuur

Mà ACuuur ADuuur=ADuuur.ADuuur=h2

A

N M

B N

A B

D C

Và ACuuur ABuuur=DCuuur ABuuur=b.a (định lý hình chiếu)

Do đó (1) trở thành : ACuuur BDuuur=h2-ab

Vậy AC  BD h2-ab=0

b) BD AM BDuuur.AMuuuur=0

1 ( + ) = 0

2 BDuuur ABuuur ACuuur

BDuuur.ABuuur+BDuuur.ACuuur = 0 (2)

Mà BDuuur.ABuuur=BAuuur.ABuuur=-AB2=-a2

Và BDuuur.ACuuur =h2-ab (kết quả trên)

Do đó (2) trở thành : -a2+h2-ab=0

Vậy BD  AM h2 =a(a+b)

8 Giải :

BM  CN BMuuur CNuuur=0  (1 + ) ( + ) =0

2 BAuuur BCuuur 1

2 CAuur CBuuur

 BAuuur.CAuur +BAuuur.CBuuur+BCuuur.CAuur +BCuuur.CBuuur= 0

 ABuuur.ACuuur -BAuuur.BCuuur-CBuuur.CAuur-CBuuur2= 0

 (AB1 2+AC2-BC2) - (AB2+BC2-AC2) –

2

1 2

-1(BC2+AC2-AB2) – BC2= 0

2

AC2+AB2-5BC2 = 0 b2+c2= 5a2

9 đs :

a) ab- h1 2 = 0

4 b) ab-1h2 = 0

2

c) 1h2-ab = 0

2

d) h2-2b2+ab = 0

10 Giải :

ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur+CBuuur.CDuuur+DCuuur DAuuur = 0

 (ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur) +(CBuuur.CDuuur+DCuuur.DAuuur) = 0

 ABuuur.(ADuuur-BCuuur) -DCuuur (ADuuur-BCuuur) = 0

 (ADuuur-BCuuur).(ABuuur-DCuuur ) = 0  AD BCABCD là hình bình hành

ộ = ờ ờ

ờ = ờở

uuur uuur uuur uuur

Vấn đề 3 : tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức

A a D

I N M

B b C

về tích vô hướng hoặc độ dài.

Phương pháp :

Có thể sử dụng một trong các cách sau :

 Đưa đẳng thức cho trước về dạng MAuuur.MBuuur=k( A, B :cố định; k : giá ttrị không

đổi.)

 Đưa đẳng thức cho trước về dạng AMuuuurvr = 0 , trong đó A là điểm cố định và vr

là véctơ cố định

 Đưa đẳng thức cho trước về dạng AM2 = k , trong đó A là điểm cố định và k

là một số dương không đổi

Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa :

a) MAuuur.MBuuur =k (k là giá trị cho trước) Biện luận

b) MA2 + MAuuur MBuuur = 0

c) 2MB2+MBuuur.MCuuuur = a2 (với a : độ dài cạnh BC)

Giải :

a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB Thế thì :

MAuuur.MBuuur =k  (MIuuur+ ).(IAuur MIuuur- ) =kIAuur

IM2-IA2=k IM2= 2+k

4

AB

Biện luận :

 Nếu 2+k > 0  k >- :

4

4

AB

thì tập hợp những điểm M là một đường tròn tâm I, bán kính 2

4

 Nếu k = - 2 : tập hợp M là điểm I

4

AB

 Nếu 2+k < 0 thì tập hợp M là 

4

AB

Đặc biệt : nếu k = 0 thì tập hợp M là đường tròn đường kính AB

b) MA2 +MAuuur.MBuuur =0  MAuuur.(MAuuur+MBuuur ) = 0  MAuuur.MIuuur = 0 

tập hợp M là đường tròn đường tròn đường kính AI

c) 2MB2+MBuuur.MCuuuur =a 2 MBuuur.(2MBuuur+MCuuuur) = a2 (1)

Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2KBuuur+KCuuur = ,0r

thế thì 2MBuuur+MCuuuur =2(2MBuuur-MKuuuur) +(MCuuuur-MKuuuur) =0r

(2MBuuur+MCuuuur) = 3MKuuuur

do đó : (1)  MBuuur.MKuuuur = 2

3

a

M

A I B