Luyện tập : Tích vô hướng của hai véc tơ

Câu 10: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai vectơ Trong các vectơ có toạ độ dưới đây, vectơ nào vuông góc với cả hai vectơ trên?. Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra độ dài đường

Chuyên đề Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Tích có hướng của hai vectơ và áp dụng

A Kiến thức cơ bản



Gọi  là góc giữa hai vectơ và thì

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là :

B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho

PA: C

 1; ;1 1,  2; ;2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1

1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2



,

a b   a b ,  0

a b

a b

1 2 1 2 1 2

cos

 

 

, ,

a b c    a b c,  0

Δ

,

AB AC

 

' ' ' '

VABCD A B C D AB AD AA,  '

  

1

6

ABCD  AB AC AD

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

1;2; 1 ,  2;1;5 

Câu 2: Trong hệ trục toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

PA: D

Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC: A(1; 1; 1), B(4; 1; 0), C(2; 1; 4) Kết luận nào sau đây là sai?

PA: D

Câu 4: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2; 1; 0), B(-3; 0; 4), C(0; 7; 3) Khi đó,

PA: A

Kết luận sai là:

PA: B

Câu 6: Trong không gian cho các vectơ , trong đó: ,

Kết luận nào sau đây là sai?

PA: D

Mệnh đề sai là:

A Tồn tại duy nhất số thực k sao cho: B

, ,

i j k

  

2;0; 2

a i  a j  . 2 a k   0 a i  .  j k 0

AB AC 

2

2

C 

cos  AB BC ,

14

3 2 59

18 59

14

14 57

14 57

1; 1;1 , 3;2; 1 , 3; 1;1

 a b c    0  b c a    0 b c a,  0

 

  

a b c

  

, , ,

a b c d   

0

a   a b; ca b, ,

  

d  a b

a c   d c   0  a b d     0

 a d b    0



 ; ; ;  '; '; '

a x y z b x y z

a kb    a b ,   0

C D .

PA: A

Câu 8: Trong không gian cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = SB = SC.

G là trọng tâm tam giác ABC Kết luận đúng là:

PA: C

Câu 9: Trong không gian cho tam giác nhọn ABC, Chọn mệnh đề sai trong các

mệnh đề sau:

PA: A

Câu 10:

Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai vectơ Trong các vectơ có toạ độ dưới đây, vectơ nào vuông góc với cả hai vectơ trên?

PA: B

C bài tập tự luận

Các bài tập sau xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho trước.

: : ': ': '

SA SB SC     0

SA SB SC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

GA GB GC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

GA GB GS

  

BA AC, 

 

cos

BA AC

BA AC

 

 

cos

AB AC

AB AC

 

 

, sin

AB AC

AB AC





 

, sin

BA AC

BA AC





 

1;2; 3 , 2;0;5 

11 5; ; 2 2

6 3;4;

5



1; 1;1 , 4;0; 1 , 3;2; 1

c)

Bài 2 Cho tam giác ABC với A(1; 0; 3), B( 2; 2; 4), C( 0; 3; -2).

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, từ đó tìm tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

b) Tính góc C của tam giác

Giải:

A  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm I của BC Toạ độ I là:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BI =

b)

Từ đó tính ra góc C

Bài 3 Cho ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 0; 1), C(1; 1; 2) Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra

độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác

Giải:



Bài 4 Cho tam giác ABC với A= (1; 1; 0), B = (3; -1; 1), C = (5; 1; 3) Tính độ dài đường phân

giác trong của góc A

1;2;1 ,  1;3; 5 0

5 1; ;1 2

I  

41 2

1; 3;5 , 2; 1;6

CA CB

CA CB

 

 

,

ABC

 

BC  x  x  y  y  z  z 

3 3

ABC

S AH

BC



Giải: Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A  D là điểm chia đoạn BC theo tỉ số

Từ giả thiết suy ra

  Toạ độ của điểm D là:

Vậy độ dài đường phân giác trong góc A là

Bài 5 Cho bốn điểm A = (0; -1; 0), B = (0; 0; 2), C = (1; 0; 0), D = (-1; 1; - 2)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Chứng minh rằng AC  BD

c) Tính góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện

d) Tính thể tích tứ diện và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện

Giải:

a) Ta có



 A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (đpcm)

c) Gọi  là góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện

k

3

5

k 

0;4; 2

D

14

AD 

0;1;2 , 1;1;0 ,  1;2; 2

1 2 2 0 0 1

1 0 0 1 1 1

 

AB AC AD

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

, ,

AB AC AD

  

 1;1; 4 , 1;1;0 0

0;1;2 ,  2;1; 2 3

 Từ đó tìm được .

Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện 

Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 2; 0), B(3; 0; -1), C(0; 4; 2), D(-2; 6; 3).

ABCD là:

Câu 2: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3), D(- 2; 2; - 2).

Thể tích tứ diện ABCD bằng:

Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 2), B(- 1; 5; - 6), C(7; 0; 4) Diện tích

tam giác ABC bằng:

Câu 4: Trong không gian cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Kết luận nào sau đây là sai?

Câu 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho tứ diện ABCD, biết ,

Nếu G là trọng tâm của tứ diện thì độ dài của AG là:

cos

AB CD

AB CD

 

 

  

1;0; 2 ,  1;1;4 , 2; 2;1

5 3

, 2

ABCD BCD

V AH

 

8 3

4 3

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

A(3; 0; 1) B(-1; 4; 1), C(6; 7; 3), D(1; -5; 5)

3

2

10 4

25 4

9 4

Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho tứ diện ABCD, biết:

và điểm , Mệnh đề sai là:

A Điểm M thuộc mặt phẳng (BCD)

D

Câu 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 3 điểm ,

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có toạ độ là:

Phương án đúng: 1D, 2C, 3B, 4D, 5D, 6A, 7A

II Bài tập tự luận

Bài 1 Chứng minh rằng:

Bài 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A = (1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5;

2; - 6) Tính độ dài đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC

Bài 3 Cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(a; a; a) với a là hằng số, a  0 Chứng

minh rằng OD  (ABC) với mọi giá trị của a

Bài 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’(0; 0; 3)

a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, CD, DD’ Chứng minh rằng bốn điểm

M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng

c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ)

Bài 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của A’D’ và B’B

a) Chứng minh rằng MN  AC’

b) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với (A’BD)

c) Tính góc giữa MN và CC’

Hướng dẫn giải

A(6; -2; 3), B(0; 1; -6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) M(3; 0; -1)

1

4

MB.DC + BC.DM + CM.DB = 0

MA + MB + MB + MD = 0

A(4; 2; -1), B(3; 0; 2) C(18; -2; 1)

; 1;



; 1;



a a b   b a b a b a b  a b

Bài 1 a) Giả sử Khi đó, ta có

b) Chứng minh tương tự

Bài 2 Gọi D’ là chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC  D’ chia đoạn BC theo

tỉ số Từ đó tìm được toạ độ D’ là :

Bài 3 Ta có OD  (ABC)  OD  AB và OD  AC  Vectơ cùng phương với vectơ

 Vectơ cùng phương

với vectơ hay OD  (ABC) (đpcm)

Bài 4.

a) Toạ độ các đỉnh còn lại: D = (-1; 2; 0), B’ = (1; 0; 3), C’ = (0; 2; 3), D’ = (-1; 2; 3)

b)



M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng

c) Gọi H là chân đường cao hạ từ C’ tới mặt phẳng (MNPQ) thì khoảng cách từ C’ đến (MNPQ) là độ dài AH

 ; ; ,  '; '; '

a x y z b x y z

 

 

k

OD

,

AB AC

 

 2;2;0 ,  2;0;2 , 4;4;4   ; ; 

OD

,

AB AC

 

M   N   P   Q  

0;1; 3 ,  1;2; 3 , 3;2; 3

  

MN MP MQ

  

'

C MNP

  

,

MNP

 



Bài 5 Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho O  A, tia Ox là tia AB, tia Oy là tia AD và tia Oz là tia

AA’ Khi đó, A = (0; 0; 0), B = (a; 0; 0), C = (a; a; 0), D = (0; a; 0), A’ = (0; 0; a), B’ = (a; 0; a),

C’ = (a; a; a), D’ = (0; a; a) Do đó, ,

b)

 AC’  A’B, AC’  A’D  AC’  (A’BD)

c) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng MN và CC’ Khi đó, ta có:

  = 450

2 19

C MNP

MNP

V

AH

S

M  a N a 

' 0;0;



2

2 2

cos

2

2

a

MN CC

a





 

 