Chuyên đề Vectơ - Hình học 10

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ Phương pháp giải:  Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầ[r]

Trang 1

Đỗ Trung Kiên Trường THPT Trần Quang Khải

CHƯƠNG I: VECTƠ

CÁC ĐỊNH NGHĨA

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:

1 Để xác định một vectơ cần biết 1 trong 2 điều kiện sau:

- Điểm đầu và điểm cuối của vectơ

- Độ dài và hướng

2 Hai vectơ và cùng phương khi giá của chúng // hoặc nhau a b 

Hai vectơ và cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng a b

3 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó

4 = khi a b a  b và , cùng hướng a b

5 Với mỗi diểm A ta gọi AA là vectơ không Vectơ không được kí hiệu là và quy ước 0 0 0, vectơ không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ

Phương pháp giải:

 Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ

đó Ví dụ 2 điểm phân biệt A, B ta có 2 vectơ khác nhau là ABvà BA

 Vectơ là vectơ-không khi và chỉ khi a a 0hoặc aAA với A là điểm bất kì

Bài tập:

Câu 1: Cho ABC Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh của tam giác đó

Câu 2: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ 4 điểm đã cho.

Câu 3: Cho ngũ giác ABCDE.

a Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh và đường chéo của ngũ giác

b Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các dỉnh của ngũ giác

Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ.

phương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách:



à cùng huong

a b

a v b





 

 ABCD là hbh  AB DC và BCAD

 Nếu = , = thì = a b b c a c

Bài tập:

Câu 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Tìm các vectơ bằng nhau và

chứng minh

Câu 2: Cho điểm M và Dựng điểm N sao cho:a

a MN a

b MN cùng phương với và có độ dài bằng a a

Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm O Liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác ) nhận đỉnh và tâm của 0 hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối

Trang 2

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC Chứng minh rằng nếu

và , thì ABCD là hình bình hành

AB

Câu 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu ABDC thìADBC

TỔNG HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1 Định nghĩa tổng của 2 vectơ và quy tắc tìm tổng:

a Cho 2 vecto tùy ý và Lấy điểm A tùy ý, dựng a b ABa , BC b Khi đó + = a b AC

b Với 3 điểm A, B, C tùy ý ta luôn có: ABBC  AC (Quy tắc 3 điểm)

c Tứ giác ABCD là hbh, ta có ABAD AC (Quy tắc hbh)

2 Vectơ đối:

a Vectơ là vectơ đối của nếu a b  a và , ngược hướng nhau Kí hiệu = - a b b a

b Nếu là vectơ đối của thì là vectơ đối của hay –(– )= a b b a a a

c Mỗi vectơ đều có vectơ đối Vectơ đối của AB là BA Vectơ đối của là 0 0

3 Định nghĩa hiệu và quy tác tìm hiệu:

a a - = +(- ) b a b

b Với 3 điểm A, B, O bất kì ta có: OBOA AB (Quy tắc trừ)

4 Tính chất phép cộng các vectơ: Với , , là 3 vect ơ bất kì ta có: a b c

a a + = + (tính chất giao hoán) b b a

b ( + ) + = + ( + ) (tính chất kết hợp) a b c a b c

c a + = + = (tính chất vectơ-không)0 0 a a

d a + (- ) = - + = a a a 0

Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ

phương pháp giải:

 Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và các tính chất của tổng các vectơ

Bài tập:

Câu 1: Cho hbh ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

a Tìm tổng của 2 vectơ NC và MC; AM và CD; AD và NC

b Chứng minh  AMAN  AB AD

Câu 2: Cho lục giác đều ABCDEFF tâm O Chứng minh OA OB OC OD OE         OF 0

Câu 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E Hãy tính tổng    AB BC CD DE  

Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ

 Theo định nghĩa, tìm hiệu - , ta làm hai bước sau:a b

- Tìm vectơ đối của b

- Tính tổng a( b )

 Vận dụng quy tắc OA OB BA   với ba điểm O, A, B bất kì

Bài tập:

Trang 3

Câu 1: Cho tam giac ABC Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC

a Tìm hiệu        AM AN MN NC MN PN BP CP,  ,  , 

b Phân tích AM theo 2 vectơ MN và MP

Câu 2: Cho 4 điểmA, B, C, D Chứng minh  AB CD AC BD  

Câu 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:

a MA MB BA   b MA MB  AB c MA MB  0

Câu 4: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoaạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ

 Dùng định nghĩa

 Dùng qui tắc 3 điểm, qui tắc hình bình hành

 Tính chất trung điểm: IA IB0; MA MB   2MI M

 Tính chất trọng tâm :GA GB   GC0;  MA MB MC    3MG

 Vectơ cùng phương

Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Cmr AB2AC AD3AC

Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD

Cmr AB CD2MI

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a Với M tùy ý, Hãy chứng minh MA MC MB   MD

b Chứng minh rằng: AB AD  AB AD

Bài 4: ABC có G là trọng tâm, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA Chứng  minh GM GN   GP0

Bài 5: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD

Chứng minh rằng: 2IJ  AC BD AD BC  

Bài 6: CMR nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của ABC và A'B'C' thì   3GG' AA'BB'  CC'

Bài 7: Cho ABC I là điểm trên cạnh AC sao cho  CI AC, J là điểm mà

4

1

BJ  AC AB

  

a Chứng minh rằng 3

4

BI  AC  AB

  

b Chứng minh B, I, J thẳng hàng

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Định nghĩa tọa độ của một vectơ, độ dài đại số của một vectơ trên một trục

 a ( ; )a a1 2  a a i a j 1. 2.

 M có tọa độ là (x; y) OM( ; )x y với O là gốc tọa độ;

x = OM1, y = OM2 , trong đó M1 và M2 lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống Ox và Oy

 A x y( ;A A) và B x y( ;B B)ABx B x y A; By A

2 Tọa độ của a b a b a     ,  , k

Trang 4

Cho a ( ; ), a a1 2 b( ; ), k Rb b1 2 

Ta có a b  (a1b a1; 2b2)

a b  (a1b a1; 2b2)

ka ka ka1; 2

Hai vectơ và ( a b a 0) cùng phương khi và chỉ khi có số k thỏa mãn









2 2

1 1

ka b

3 I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi:

















 2

2

B A I

B A

y y y

x x

x I

G là trọng tâm của tam giác ABC thì: 3

3

G

x x x x

y y y y





Dạng1: Xác định tọa độ của véctơ và của một điểm trên mp tọa độ Oxy

Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của vectơ và tọa độ của một điểm trêm mp tọa độ Oxy

* Để tìm tọa độ của véctơ ta làm như sau:a

Vẽ OM a

Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox, Oy Khi đó a(a1,a2) Trong đó

2 2

1

1 OM ;a OM

* Để tìm tọa độ của điểm A ta tìm tọa độ của vectơ OA Như vậy A(x;y) Trong đó x=OA1;yOA2

A1, A2 là chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox và Oy

* Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính được tọa độ của AB: AB(x B x A;y B  y A)

* Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a, b thì MN ba

Bài tập:

Bài 1: Cho các điểm A, B, C trên trục Ox như hình vẽ

a)Tìm tọa độ các điểm A, B, C

b)Tính AB,BC,CA,ABCB,BABC,AB.BA

Bài 2: Trên trục (O, ) cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5; 3 tìm tọa độ điểm P trên trục sao cho i

2

1



PN

PM

Bài 3: Cho hình vuông ABCD trong đó và i AD cùng hướng; và j AB cùng hướng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điểm N của BC và trung điểm N của BC và trung điểm N của CD

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD=3 góc BAD=600, chọn hệ trục (A; i j, ) sao cho và i AD cùng hướng Tìm tọa độ các vectơ    AB BC CD AC, , ,

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D.

Trang 5

Bài 6: Cho ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB 

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Bài 7: Cho ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB Tìm 

tọa độ các đỉnh của tam giác

Bài 8: Cho ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3) Tìm tọa độ trung điểm I của AC Tìm tọa độ điểm 

D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 9: Cho 3 điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3).

a Tìm tọa độ điểm D sao cho AD3AB2 AC

b Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó

Bài 10: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên Ox Tìm tọa độ C.

Dạng 2: Tìm tọa độ của các vectơ u v u v ku    ;  ; 

phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ u v u v ku    ;  ; 

Bài tập:

Bài 1: Cho a (2;1); b(3; 4); c(7; 2)

a)Tìm tọa độ của vectơ u 2a3b c

b)Tìm tọa độ vectơ x a b    c

c)Tìm hai số j; k sao cho ck al b

Bài 2: Cho a(1;2);b(3;1);c(4;2)

a)Tìm tọa độ các vectơ u 2a4b c ; 1 1 ; và xem vectơ nào

v  a b c

u a b c

trong các vectơ cùng phương với véctơ và cùng phương với i j

b)Tìm các số m, n sao cho a mb   nc

Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương

a) a(2;3)va b(4;x)

b) u (0;5)va b(x;7)

c) m(x;3)va n(2;2x)

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần và đủ sau:

*Hai vectơ a, b0) cùng phương khi và chỉ khi có số k để ak b

*Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để ABk AC

Bài tập:

Bài 1: Cho 3 điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0) Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng.

Bài 2: Cho 3 điểm M( ); N(2;1) và P(1;3) Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng

3

7

; 3 4

Bài 3: Cho 3 điểm A(0; 1); B(-1; -2) và C(1; 5) Hỏi 3 điểm A, B, C có thẳng hàng không.

Bài 4: Cho 3 điểm A(-4; 1); B(2; 4) và C(2; -2) Hỏi 3 điểm A, B, C có thẳng hàng không.

Bài 5: Cho 3 điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5) Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB.

Bài 6: Cho 3 điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5)

a Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng

b Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD

c Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A; B; E thẳng hàng

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	185,49 KB