SKKN tài liệu giúp học sinh rèn luyện giải bài tập chương véctơ – hình học 10

Đối với Hình học lớp 10, chương Véctơ bao gồm các nội dung khá mới lạ khiến cho các em học sinh mới bước vào lớp 10 gặp không ít khó khăn trong quá trình tiếp thu kiến thức.. Phần lớn cá

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi sự nhạy bén trong tư duy, chặt chẽ trong suy luận, cẩn thận trong tính toán, với nhiều học sinh thì đây là một môn học khó

Đối với Hình học lớp 10, chương Véctơ bao gồm các nội dung khá mới

lạ khiến cho các em học sinh mới bước vào lớp 10 gặp không ít khó khăn trong quá trình tiếp thu kiến thức Phần lớn các em thiếu sự nhạy bén cần thiết trong tư duy là do không nắm vững kiến thức, như vậy song song với việc bổ sung các kiến thức thiếu hụt của mình, các em cần tăng cường làm bài tập nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức

Để giúp học sinh có một hệ thống các bài tập phong phú hơn, đồng thời thuận lợi hơn trong quá trình tự học tập ở nhà thông qua các bài tập mẫu

được trình bày theo từng bài học, tôi đã biên soạn tập “Tài liệu giúp học

sinh rèn luyện giải bài tập chương Véctơ – Hình học 10”.

2 Giới hạn đề tài.

Với mục đích áp dụng các kiến thức cơ bản nhằm củng cố lí thuyết, đồng thời để phù hợp nội dung chương trình cũng như thực tế giảng dạy các bài tập có thể sẽ không đầy đủ các dạng, và không trình bày phần toạ

độ trên trục

B. NỘI DUNG

I. Cơ Sở lí luận:

Lí thuyết và bài tập Toán học không tách rời mà có mối quan hệ mật thiết, bổ trợ cho nhau: Nắm được lí thuyết mới có thể làm được bài tập, làm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức hơn Tuy nhiên trong mối quan hệ đó đóng vai trò then chốt vẫn là phần lí thuyết, phần kiến thức, bởi lẽ nắm vững kiến thức thì bài toán nào cũng sẽ tìm ra cách giải quyết Chính vì vậy

mà các bài tập ở đây sẽ được biên soạn theo cấu trúc bài học trong sách giáo khoa mà không phân dạng bài tập để các em nắm kiến thức có hệ thống hơn

Để học sinh thuận tiện hơn trong khi làm bài tập, trong tài liệu có hệ thống lại các kiến thức cơ bản cần nắm của mỗi bài học, có hệ thống các bài tập mẫu – đã trình bày bài giải – để học sinh tìm hiểu kiến thức cũng như cách trình bày bài giải, bên cạnh đó sẽ có hệ thống bài tập áp dụng theo mẫu có gợi ý kiến thức vận dụng, và cuối cùng là một số bài tập để học sinh tự rèn luyện

Ngoài việc giúp cho học sinh có thêm tài liệu học tập thì giáo viên cũng

có thể sử dụng tập tài liệu này để hướng dẫn học sinh học tập trong các tiết học ôn tập phụ đạo

II Nội dung cụ thể về “Tài liệu giúp học sinh rèn luyện giải bài tập chương véctơ – Hình học 10”

1 Bài 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

1.1 Kiến thức cơ bản cần nắm

 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là  AB

 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó

 Độ dài của vectơ AB, kí hiệu AB.=AB

 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0

 Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

 Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài

Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b, ,  để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.Mọi vectơ 0

đều bằng nhau.

1.2 Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho hai điểm phân biệt A, B Lập các véctơ có điểm đầu và

điểm cuối lấy từ hai điểm trên

Giải:

Ta lập được các véctơ: AB, BA, AA, BB    

Bài tập 2 Cho hình bình hành ABCD Hãy chỉ ra các véctơ ( 0) lập được

từ các cạnh của hình bình hành toả mãn: cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

Giải:

+ Các véctơ: AB, BA,CD, DC    cùng phương

AD, DA, BC,CB    cùng phương

+ Các véctơ: AB, DC  cùng hướng và BA,CD  

cùng hướng

AD, BC  cùng hướng và CB, DA  cùng hướng

+ Các véctơ bằng nhau: AB DC 

, BA CD 

, AD BC 

,CB DA 

 

Bài tập 3 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a Tính độ dài các

véctơ AC, BC 

Giải:

 ABC vuông cân tại A nên: AC=AB=a

và BC= AB 2  AC 2  a 2 (Pi-ta-go)

Ta có: AC  AC a, BC   BC a 2 

Bài tập 4 Cho ABC Hãy dựng CD BA 

Tứ giác ABCD là hình gì?

Giải :

Ta dựng CD cùng hướng và cùng độ dài với

BA nên BA và CD song song và bằng nhau

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành

1.3 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt Hãy lập các véctơ ( 0) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ hai điểm trên

Hướng dẫn : Qua 2 điểm phân biệt ta lập được 1 véctơ  0

Bài tập 2 Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo.

a Tìm các véctơ cùng phương với AC

b Tìm các véctơ cùng hướng với BD

c Tìm ra các véctơ bằng nhau trong hình vẽ

Hướng dẫn: Tương tự bài tập 2 mục 1.2, chú ý thêm các véctơ-không

Bài tập 3 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, H là trung điểm BC.

Tính AH

Hướng dẫn :  ABC đều, H là trung điểm BC nên AH  BC, dùng định lí Pi- ta-go trong tam giác vuông để tính AH

Bài tập 4 Cho tam giác ABC vuông tại B Hãy dựng AD BC 

a Tứ giác ABCD là hình gì?

b Nếu ABC là tam giác vuông cân tại B, là tam giác đều thì tứ giác ABCD tương ứng là hình gì?

Hướng dẫn: Tương tự bài tập 4 mục 1.2, cần chú ý thêm các điều kiện : Hình bình hành có 1 góc vuông, 1 góc vuông và 2 cạnh kề bằng nhau, hai cạnh kề bằng nhau.

1.4 Bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1 Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB

a Chứng minh: BCC A A B   

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

b Tìm các vectơ bằng B C C A ,  

 

Bài tập 2.Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP QN MQ PN ; 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Bài tập 3 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm tam

giác, M là trung điểm BC AO cắt (O) tại A’ (A), BO căt (O) tại B’ (B)

a. Chứng minh:              AH B C HC AB                             ' ;                '

b So sánh 2 vectơ:  HM MA, '

2 Bài 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ

2.1 KiẾN thức cơ bản cần nắm

Các phép toán trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC 

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:

AB AD AC 

 Tính chất:a b b a  

; a b  c a  b c

; a  0 a

b) Hiệu của hai vectơ

 Vectơ đối của a là vectơ b  a b 0   

Kí hiệu vectơ đối của a là a

 Vectơ đối của a là vectơ b  a b 0 Kí hiệu vectơ đối của a là a

 Vectơ đối của  AB

là BA Kí hiệu là AB Vậy -AB=BA

 Vectơ đối của 0 là 0

 a b a      b

 Qui tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB                                           

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB       MA MB 0                        

 Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC  GA GB GC 0  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

2.2 Bài tập mẫu.

Bài tập 1 Cho tam giác ABC Xác định các véctơ sau:

a.    AB AC; AB CB                                                       

b. AB AC; AB CB  

   

Giải:

a Dựng BD AC; EC AB  

(h vẽ)

Ta có AB AC AB BD AD    

AB CB EA CB EB    

b AB AC CB  

(quy tắc trừ)

AB CB AB BC AC    

Bài tập 2 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a, AD=b Tính AB AD ; 





, AC BD ;  

Giải:

Ta có

(Q tắc hbh)  AB AD                               AC  AC  a 2  b 2

 AD DC AD CD BC CD BD                                                              

2 2

                                 

Dựng hình bình hành BDEC ta có BD CE  

nên:

AC BD                 AC CE                 AE  AE 2AD 2b  

Bài tập 3 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng:

a AB AD AC  

b DA DC DB  

c CB CD CA  

d BA BC BD  

Giải:

a Ta có: AB AD AB BC AC    

(thay AD bởi BC )

b DA DC DA AB DB    

(thay DC bởi AB ) Tương tự cho hai ý còn lại

Bài tập 4 Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh rằng:AB CD AD CB       

Cách 1: Dùng quy tắc ba điểm

Ta có: AB CD AD DB CB BD     

AD CB BD DB

AD CB BB

AD CB

   

  

 

Cách 2: Dùng quy tắc trừ

Ta có: AB CD OB OA OD OC     

 OD OA OB OC   

   

AD CB

 

Bài tập 5 Tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC,

CA Chứng minh  ABC, MNP  có cùng trọng tâm.

Giải:

Gọi G là trọng tâm  ABC    GA GB GC 0                                                         

Ta chứng minh G cũng là trọng tâm  MNP,

tức là GM GN GP 0                                                           

Thật vậy :                 GM GN GP GA AM GB BN GC CP                                                                                                                      

 (GA GB GC) (AM BN CP)     

 (GA GB GC) (AM MP PA)                                                                                         

0 0

0

 



 

 Chú ý : Có thể gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm  ABC, MNP  Ta chứng minh: GG ' 0                               G G ' 

2.3 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường

chéo Chứng minh:

a               AC BC AB                                                         ; AB AD AC 

b Nếu AB AD CB CD

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

thì ABCD là hình chữ nhật

Hướng dẫn:

a Sử dụng quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành

b Kiến thức: Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Bài tập 2 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các

vectơ AB AD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, AB AC

 

, AB AD

 

Hướng dẫn: Tương tự bài tập 2 mục 2.2

Bài tập 3 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

a AB DC AC DB  

b AD BE CF AE BF CD    

Hướng dẫn: Dùng quy tắc ba điểm hoặc quy tắ trừ như bài 4, mục 2.2

Bài tập 4 Cho ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,

BCPQ, CARS Chứng minh: RJ IQ PS 0  

Hướng dẫn: Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất véctơ đối

2.4 Bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1 Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:

MA MB MC 0  

Bài tập 2 Đoạn thẳng AB có trung điểm I M là điểm tuỳ ý không nằm

trên đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI

a Chứng minh: BN BA MB 

b Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI ND  ; NM BN NC 

Bài tập 3 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.

a Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB 

, ME MA BC 

,

MF MB CA 

Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

b So sánh 2 véc tơ MA MB MC    và MD ME MF   

3 Bài 3 TÍCH VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ

3.1 Kiến thức cơ bản cần nắm

Tích của một vectơ với một số

 Cho vectơ a và số k  R ka là một vectơ được xác định như sau:

+ ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.

+ ka k a 

 Tính chất: k a b  ka kb 

; (k l a ka la )    

; k la   ( )kl a

ka 0 

 k = 0 hoặc a 0 

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

a và b a   0  cùng phương  k R b ka:   

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng

 k ( 0):               AB k AC             

 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng phương a b, và x tuỳ ý Khi đĩ  duy nhất cặp số m, n  R:

x ma nb  

Chú ý:

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của AB  MA MB 0    OA OB                                          2OM

(O tuỳ ý)

 Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC  GA GB GC 0  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 OA OB OC   3OG

(O tuỳ ý)

3.2 Bài tập mẫu.

Bài tập 1 Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính AB AC AD 

  

Giải:

Ta cĩ:   AB AC AD   AB AD AC  AC AC

 2AC 2 AC  2AC 2 2a

Bài tập 2 Cho ABC, cĩ AM là trung tuyến I là trung điểm của AM

a Chứng minh: 2IA IB IC   0

b Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC   4OI

Giải:

Ta có:

a 2IA IB IC     2IA  2IM  2(IA IM ) 2.0 0  



b 2OA OB OC     2OA 2OM  2(OA OM )

 2.2OI 4OI

Bài tập 3 Cho tứ giác ABCD bất kì, G là trọng tâm tam giác ABC, O là

điểm tuỳ ý Chứng minh: OA OB OC OD       4OG GD 

Giải:

Ta có: OA OB OC OD     

   OG                           GA OG GB OG GC OG GD                                                                                       

4OG GD  

Bài tâp 4 Cho ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các

điểm M, N, P sao cho MB  3MC NA,  3CN, PA PB  0

a Tính PM PN , theo  AB AC,

b Chứng minh: M, N, P thẳng hàng

Giải:

a Ta có:

 PM PA AC CM                                                           

1AB AC 1BC 1AB AC 1(AC AB)

                                                                                                        

AB 3AC

2

                             

b Từ kết quả câu a ta thấy PM 2PN 

, vậy P, N, M thẳng hàng

Bài tập 5 Cho tứ giác ABCD bất kì Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB, CD, O là trung điểm MN Chứng minh: OA OB OC OD 0    

Giải:

Ta có: OA OB 2OM; OC OD 2ON    

Nên OA OB OC OD 2OM 2ON     

2( OM ON)

2.0 0

 

3.3 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt Gọi I, J lần lượt là trung điểm

của AB và CD Chứng minh:

a Nếu AB CD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

thì AC BD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b AC BD AD BC    2IJ

c Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

d Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh IJ, PQ, MN có chung trung điểm

Hướng dẫn:

a Quy tắc ba điểm

b Quy tắc ba điểm, trung điểm

c Tương tự bài 5, mục 3.2

d. Đã có GI GJ 0  

, cần chứng minh: GP GQ 0, GM GN 0    

Bài tập 2 Cho ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G

a Chứng minh AA BB CC  3GG

b Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm

Hướng dẫn: Quy tắc ba điểm và tọng tâm

Bài tập 3 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB =

2MC Chứng minh: AM 1AB 2AC

Hướng dẫn: Tương tự bài 4, mục 3.2

Bài tập 4 Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC.

Hãy phân tích vectơ AM theo các vectơ OA OB OC  , ,

Hướng dẫn: Tương tự bài 4, mục 3.2