Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm vectơ hình học 10 theo phương pháp dạy học tích cực

Cùng với việc đổi mới chương trình và sách giáo khoa thì việc đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng giáo dục là hết sức cần thiết, hiện nay, ngoài các phương pháp dạy học tr

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DẠY HỌC TÍCH CỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS NGUYỄN VĂN HÀ

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo - thạc sĩ Nguyễn Văn Hà khóa luận của em đến nay đã hoàn thành

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Phương pháp đã tạo điều kiện giúp đỡ

em trong thời gian em làm khoá luận đặc biệt em xin chân thành cám

ơn thầy giáo Nguyễn Văn Hà - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo

em trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian em thực hiện khoá luận tốt nghiệp

Dù bản thân em đã rất cố gắng trong việc thực hiện khóa luận, song do đây lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do điều kiện thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Kim Dung

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả khách quan, trung thực và là kết quả của

em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo – ThS Nguyễn Văn Hà

Trong thời gian làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan khoá luận: "Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm vectơ hình học 10 theo phương pháp dạy học tích cực" là kết quả nghiên cứu của riêng em và nó không trùng với kết quả của bất

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Phương pháp dạy học tích cực 7

1.2 ƯDCNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán 13

1.3 Dạy học khái niệm toán học 17

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CNTT TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM VECTƠ HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO 38

2.1 Nội dung và phân phối chương trình 38

2.2 ƯDCNTT trong dạy học khái niệm vectơ – Hình học 10 theo phương pháp dạy học tích cực 39

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong xã hội chúng ta hiện nay việc ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) đã được áp dụng ở hầu hết các lĩnh vực hoạt động của xã hội và mang lại hiệu quả thiết thực Đối với ngành giáo dục và đào tạo, CNTT

đã và đang mang lại hiệu quả to lớn trong việc đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học và quản lý giáo dục

Cùng với việc đổi mới chương trình và sách giáo khoa thì việc đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng giáo dục là hết sức cần thiết, hiện nay, ngoài các phương pháp dạy học truyền thống, việc ứng dụng CNTT trong dạy học đã góp phần làm cho giờ học trở nên sinh động, hiệu quả, kích thích được tính tích cực, sáng tạo của học sinh Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trung học phổ thông (THPT), bản thân tôi nhận thấy có nhiều nội dung khi dạy học rất cần sự hỗ trợ của CNTT để tiết kiệm thời gian trên lớp, đảm bảo nội dung cần truyền đạt, làm đơn giản hóa các vấn đề mang tính trừu tượng cao, phát huy tính tích cực của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học Trong môn Toán ở trường THPT, phân môn phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một trong những nội dung khá khó đối với nhiều học sinh Để có thể dạy tốt môn Toán nói chung cũng như phân môn hình học trong mặt phẳng nói riêng, tôi đã lựa chọn đề tài

“Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm vectơ hình học 10 theo phương pháp dạy học tích cực” làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

 Nhằm phát huy được hứng thú và tính tích cực của học sinh đối với việc học tập nội dung khái niệm vectơ trong mặt phẳng

 Bước đầu giúp cho giáo viên và học sinh tiếp cận với phương pháp dạy học hiện đại, từ đó nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu về lí luận:

- Phương pháp dạy học (PPDH) tích cực trong môn Toán

- ƯDCNTT trong dạy học môn Toán

- Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm vectơ hình học 10

 Thiết kế và xây dựng tập tư liệu thông tin hỗ trợ tổ chức dạy học theo phương pháp tích cực các khái niệm về các khái niệm vectơ - Hình học 10 nâng cao

4 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lý luận các tài liệu về PPDH tích cực, về phương pháp dạy học môn Toán…

 Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học này

 Nghiên cứu cách sử dụng một số phần mềm ứng dụng để thiết kế bài giảng điện tử theo PPDH tích cực:

Sketchpad

 Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán phần vectơ - Hình học 10 nâng cao

- Phương pháp dạy học tích cực để chỉ những PPDH theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học

- PPDH tích cực còn có thể được hiểu một cách ngắn gọn là PPDH hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động

1.1.2 Hệ thống phân loại các PPDH

- Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không thống nhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phương diện khác nhau, từ đó đưa ra các loại phương pháp khác nhau

- PPDH với cách truyền thông tin tới học sinh bằng hoạt động bên ngoài: PPDH thuyết trình; PPDH giảng giải minh họa; PPDH gợi mở-vấn đáp; PPDH trực quan

- PPDH tình huống điển hình trong quá trình dạy học các môn học:

+ Môn toán: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lí toán học, PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học;

+ Môn vật lý: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật

lý, PPDH bài tập vật lý, PPDH thực hành thí nghiệm,…

+ Môn văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân tích tác phẩm văn học …

1.1.3 Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực

- Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của HS

Theo tâm lí học thì tư duy của con người chỉ tích cực khi họ có nhu cầu hứng thú với hoạt động đó Nhà tâm lí học Xô Viết V.P Simonov đã mô tả tính tích cực hoạt động học tập của học sinh phụ thuộc vào mức độ hấp dẫn và lôi cuốn của nhiệm vụ học tập - nhu cầu là một hàm phụ thuộc vào hiệu số của kiến thức cần thiết và kiến thức đã

KCT là kiến thức, kĩ năng cần thiết của học sinh;

KĐC là kiến thức, kĩ năng đã có của học sinh

Do đó, trong dạy học theo phương pháp tích cực giáo viên cần thiết và trước tiên phải làm cho học sinh có nhu cầu học tập và bị cuốn hút vào nhiệm vụ học tập

- Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

Phương pháp tự học tức là rèn luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức, ví dụ như biết tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn, biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, từ đó sẽ tạo cho người học lòng ham học, ham hiểu biết Do

vậy, trong quá trình dạy học cần chú ý dạy cho người học phương pháp

tự học, tạo ra sự chuyển biến từ việc học tập thụ động sang việc học tập chủ động

- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân Thông qua việc thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người hoc nâng kiến thức của mình lên một trình độ mới Nhờ đó, kĩ năng cũng như phương pháp học tập của học sinh dần được nâng cao và ngày càng phát triển hơn

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất là giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong hoạt động nhóm nhỏ sẽ không có hiện tượng ỷ lại, tính cách, năng lực của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức

tổ chức, tinh thần tương trợ, giúp đỡ nhau cùng tiến bộ

- Kết hợp sự đánh giá của giáo viên với sự đánh giá của học sinh

Trong dạy học, việc đánh giá học sinh là một việc quan trọng, nhằm đánh giá thực trạng và điều chỉnh hoạt động của cả giáo viên và học sinh

Trong PPDH tích cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh tự đánh giá kiến thức của mình để tự điều chỉnh cách học tập, cũng như phải tạo điều kiện để các học sinh tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau Từ đó hình thành cho học sinh biết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập của mình Đó chính là năng lực rất cần thiết mà nhà

trường cần phải trang bị cho các học sinh giúp họ có thể thành công trong học tập cũng như trong cuộc sống

- Dạy học thông qua các hoạt động học tập của học sinh

Trong dạy học, theo quan điểm tích cực, giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống thực tiễn, tình huống gợi vấn đề và học sinh được trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm và tự rút ra kết luận cần thiết

Đối với môn toán, giáo viên tạo ra và đặt học sinh vào các tình huống toán học thực tiễn, đồng thời tổ chức để cho học sinh có thể trực tiếp tham gia trải nghiệm vào các dạng khác nhau của hoạt động toán học sau đây:

+ Hoạt động trí tuệ chung: Quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái quát hóa, trìu tượng hóa,…

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện kiến thức toán học

+ Hoạt động toán học phức hợp: Chứng minh toán học, định nghĩa khái niệm toán học, giải bài toán (giải phương trình, giải toán dựng hình, giải toán tìm tập hợp điểm, …)

+ Hoạt động trí tuệ phổ biến của toán học: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, mô hình hóa và thể hiện, …

+ Hoạt động ngôn ngữ: học sinh phát biểu, trình bày nội dung kiến thức toán học dưới các dạng khác nhau hoặc lập luận biến đổi mệnh đề, chứng minh mệnh đề toán học

Đặc điểm của môn toán là khoa học suy diễn, trong đó mọi kiến thức toán học đều được rút ra từ các tiên đề hoặc đều đã biết bằng suy luận logic Do đó, nhiệm vụ hàng đầu của dạy học toán ở trường phổ thông là phải dạy cho học sinh suy nghĩ một cách đúng đắn, hợp lý Vì vậy, dạy học toán ở trường phổ thông bằng các hoạt động toán học thực

chất là cho học sinh trực tiếp được tập dượt cách suy nghĩ thông qua việc trải nghiệm các hoạt động toán học phức hợp

Từ những nghiên cứu trên, ta thấy một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đối với sự đổi mới PPDH Toán là giáo viên cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng, cụ thể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cực đối với các

tình huống dạy học điển hình của môn toán Quan điểm đó là dạy học các tình huống Toán học như thế nào được coi là tích cực và như thế nào được coi là thụ động (hay ít tích cực)?

+ Hoạt động gợi động cơ

suy đoán định lí- Nêu nội

+ Tóm tắt nội dung bài toán

+ Phân tích tìm đường lối

Kết luận: Như vậy chúng ta thấy quan điểm nổi bật của PPDH tích cực đối với môn Toán ở trường phổ thông là tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh theo phương châm coi trọng việc tìm ra đường lối chứng minh toán học, không chú trọng vào việc dạy học chứng minh toán học

1.2.1 Thực tiễn việc ứng dụng CNTT trong dạy học hiện nay

Thực tế ở các trường THPT hiện nay đều được trang bị phòng máy, phòng đa năng, nối mạng internet, tin học được đưa vào giảng dạy chính thức với vai trò là một môn học trong suốt ba năm lớp 10, 11, 12 ở trường THPT Một số trường còn trang bị thêm các thiết bị ghi âm, chụp hình, quay phim, máy quét hình, và một số thiết bị khác, tạo cơ sở hạ tầng CNTT tương đối tốt cho giáo viên có thể sử dụng thuận tiện vào quá trình dạy học

Hiện nay, việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy ở trường phổ thông mới chỉ là bước khởi đầu, các tiết dạy có ứng dụng CNTT chưa phổ biến Thông thường chỉ những tiết thao giảng hoặc tiết hội thi giáo viên dạy giỏi các cấp mới có ứng dụng CNTT Nhiều tiết dạy học toán khi ứng dụng CNTT thường dễ lạm dụng, trong đó diễn ra có việc trình chiếu toàn bộ nội dung bài giảng, nên dẫn tới việc đạt hiệu quả không cao Các kiến thức, kĩ năng về CNTT ở một bộ phận giáo viên còn hạn chế, chưa đủ vượt ngưỡng để có thể đam mê và sáng tạo, thậm trí còn né tránh Công tác đào tạo, bồi dưỡng, tự bồi dưỡng đội ngũ giáo viên chỉ mới dừng lại ở việc xóa mù tin học nên họ chưa đủ kiến thức, kĩ năng và năng lực để có thể ứng dụng CNTT Việc nghiên cứu ứng dụng thành tựu của CNTT để đổi mới PPDH chưa được nghiên cứu kĩ, dẫn đến việc ứng dụng nó không nhiều

Việc đánh giá một tiết dạy có ứng dụng CNTT còn lúng túng, chưa xác định hướng ứng dụng CNTT trong dạy học Chính sách, cơ chế quản

lí còn bất cập, chưa tạo được sự đồng bộ trong thực hiện Các phương tiện, thiết bị phục vụ cho dạy học như máy chiếu projecter, … còn thiếu

và chưa đồng bộ nên chưa triển khai rộng khắp Việc kết nối và sử dụng Internet chưa được thực hiện triệt để và có chiều sâu, sử dụng không thường xuyên do thiếu kinh phí, tốc độ đường truyền hạn chế, …

1.2.2 Tác động của CNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán

 CNTT trợ giúp cho giáo viên dạy toán có thể dễ dàng tạo được

sự thu hút với học sinh và lôi cuốn học sinh một cách mạnh mẽ vào các nhiệm vụ học toán, từ đó làm cho họ có hứng thú hơn và say mê hơn đối với môn Toán:

+ Khai thác mạng máy tính Internet, để chọn ra các hình ảnh thực

tế trong cuộc sống có liên quan tới bài học Đây là phương tiện hiệu quả

để cho giáo viên tổ chức hoạt động gợi động cơ mở đầu trong dạy học toán

+ Tạo ra các hình vẽ, đồ thị có tính chuẩn mực cao, trực quan và hấp dẫn đối với học sinh Tạo ra các bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ thay thế việc sử dụng bảng phụ của giáo viên

+ Đặc biệt tạo ra được các hình vẽ động, mô phỏng đúng các tình huống toán học trong thực tiễn có chứa các đối tượng chuyển động Nhờ

đó mà học sinh dễ dàng quan sát, nhận biết được các mối quan hệ đích thực giữa các đối tượng của tình huống đó

 Giáo viên sử dụng phần mềm dạy học toán đã tạo điều kiện cho học sinh có cơ hội thuận lợi để trải nghiệm các phép suy đoán gợi giả thuyết, phân tích tìm đường lối chứng minh toán học:

+ Dự đoán được các kết luận, gợi lên giả thuyết, tạo tiền đề thuận lợi để tìm đường lối chứng minh toán học

+ Kết hợp với lời nói của giáo viên sẽ hỗ trợ thể hiện việc phân tích tìm đường lối chứng minh toán học, mô tả các bước thuật toán một cách rõ ràng

+ Dễ dàng khai thác các kết quả qua các hoạt động toán học phức hợp

 Sử dụng ứng dụng CNTT trong dạy học sẽ giúp giáo viên tiết kiệm được thời gian trong việc tổ chức dạy học từng hoạt động toán học

+ Tạo tình huống có vấn đề cho học sinh trong dạy học toán + Phân tích tình huống để tìm đường lối chứng minh toán học

Ví dụ: Ứng dụng CNTT trợ giúp dự đoán kết quả và tìm lời giải

bài toán: “Cho góc xOy và hai điểm M, N chuyển động lần lượt trên hai

đường thẳng trung trực d của MN luôn đi qua một điểm cố định”

Để giải bài toán này thì khó khăn đầu tiên và cơ bản nhất là phải biết cách dự đoán điểm cố định cần tìm

Khi sử dụng phần mềm tin học ta sẽ nhanh chóng dự đoán được điểm cố định bằng cách vẽ hình mô tả bài toán

Ta di chuyển để điểm M O và N O và tạo vết cho đường thẳng d

Cho điểm D chuyển động trên đoạn AB thấy vết của d đi qua điểm

cố định I nằm trên đường phân giác của góc xOy

1.2.3 Các phần mềm tin học trong dạy học Toán

 Phần mềm Microsoft PowerPoint

Phần mềm Microsoft PowerPoint là phần mềm trình diễn chuyên nghiệp, thuận tiện và đơn giản trong sử dụng PowerPoint cho phép trình diễn với nhiều mục đích khác nhau: báo cáo khoa học, báo cáo trong các hội nghị, hội thảo chuyên môn, báo cáo chuyên đề, bảo vệ luận văn, … Muốn sử dụng PowerPoint để dạy học hiệu quả thì giáo viên không những phải có kiến thức tối thiểu về phần mềm PowerPoint và kiến thức

về lí luận dạy học và các phương pháp dạy học tích cưc, bên cạnh đó, người giáo viên cũng phải có sự linh hoạt sáng tạo trong thiết kế các trang trình chiếu thông qua việc xây dựng nội dung bài giảng trên các slide và tạo ra các hiệu ứng thích hợp với tình huống dạy học

 Phần mềm Cabri (Cabri Geometry II Plus và Cabri 3D)

Phầm mềm Cabri cho phép vẽ các hình hình học thông qua việc tạo ra các đối tượng cơ bản như: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng (trong không gian), đường tròn, mặt cầu (trong không gian), xác đinh trung điểm của đoạn thẳng, xác định đường thẳng trung trực, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng (trong không gian), vẽ đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc vuông góc (trong không gian) với đường thẳng và mặt phẳng cho trước, … Cho phép đo đạc, tính toán trên các đối tượng tạo ra

Ngoài việc tạo ra các hình vẽ tĩnh nhanh chóng và chính xác, phần mềm Cabri còn có thể tạo ra được hình vẽ động, cho phép mô phỏng đúng những bài toán hình học có đối tượng chuyển động và biết được kết quả của bài toán yêu cầu

 Phần mềm Geometer’s Sketchpad

Geometer’s Sketchpad (viết tắt GSP) là một phần mềm hình học nổi tiếng và đã được sử dụng rộng rãi tại rất nhiều nước trên thế giới Ý tưởng của GSP là biểu diễn động các hình hình học GSP là một công cụ cho phép tạo ra các hình hình học dành cho đối tượng phổ thông bao gồm giáo viên, học sinh, các nhà nghiên cứu Phần mềm có chức năng chính là vẽ đồ thị, vẽ hình, mô phỏng quỹ tích, các phép biến đổi của hình học phẳng (ví dụ như phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự, …) Phần mềm này có tiện ích tạo công cụ cho người dùng Nó cho phép người dùng tạo công cụ riêng cho mình để thay thế một loạt thao tác vẽ mà hình vẽ được lặp lại nhiều lần

Phần mềm GSP đã được sử dụng rộng rãi trong việc thiết kế bài giảng môn toán Giáo viên đưa ra các mô hình, ví dụ, hình vẽ trực quan sinh động về các đối tượng hình học (hình ảnh GSP đẹp và rõ nét hơn Cabri), từ đó học sinh có thể đo đạc, quan sát, phân tích, suy đoán, trừu tượng hóa, khái quát hóa để tìm được các dấu hiệu đặc trưng làm cơ sở

để hình thành nên kiến thức mới mà học sinh cần chiếm lĩnh

Không giống như nhiều phần mềm giáo dục khác, thường chỉ là công cụ hỗ trợ giáo viên tạo ra các bài giảng sinh động, trực quan để giảng dạy cho học sinh Học sinh có thể tìm hiểu để giải bài tập, xét các trường hợp riêng của một bài toán hình ở mọi góc độ, vị trí khác nhau, làm các thử nghiệm, sáng tạo theo cách của riêng mình

1.3 Dạy học khái niệm toán học

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh tư tưởng chung, đặc

trưng bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng

Như vậy có hai loại khái niệm:

- Khái niệm về lớp đối tượng

Chẳng hạn như khái niệm : “Hình chóp”, “Hình chóp đều”, …

+ Hình chóp: “Trong mặt phẳng () cho đa giác A1A2A3…An và điểm S không thuộc mp () Hình tạo bởi n miền tam giác SA1A2,

SA2A3, …, SAnA1 và miền đa giác A1A2A3 … An gọi là hình chóp S.A1A2A3…An”

+ Hình chóp đều: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu

đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

- Khái niệm về quan hệ đối tượng

Chẳng hạn như khái niệm: “Phương trình tương đương”, “Phép chia hết”, …

+ Phương trình tương đương: Hai phương trình cùng ẩn được gọi là

tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

b Nội hàm và ngoại diên của khái niệm

+ Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối

tượng phản ánh trong định nghĩa khái niệm;

+ Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối

tượng hoặc quan hệ đối tượng

Ví dụ1: Xét khái niệm “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau”

Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các hình vuông, nội hàm của khái niệm trên là "hai cạnh kề bằng nhau"

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối quan hệ mang tính quy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và

ngược lại Thật vậy, nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một góc vuông” thì ta

sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B

thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm

B được gọi là một khái niệm loại của A

c Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt

lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để

xác định khái niệm đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví

dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một cách khác như “Hình vuông

là hình thoi có một góc vuông”

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: Những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xem xét

Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ)

năng vi phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví

dụ “phép cộng là tìm tổng của hai hay nhiều số”; “tổng của hai hay nhiều

số là kết quả thực hiện phép cộng”

d Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái

niệm đã biết Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật Để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác; …Tuy nhiên, quá

B

A

trình này không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thủy trong Toán học

Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a Vị trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của

toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học

b Yêu cầu của dạy học khái niệm

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:

 Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm;

 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm;

 Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm;

 Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải Toán và ứng dụng vào thực tiễn;

 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên luôn được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm

Ví dụ đối với những khái niệm như “hình bình hành”, “đạo hàm”,… học sinh phải phát biểu định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái

niệm “chiều” của vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải

nêu định nghĩa tường minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của bản thân mình

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở phổ

thông

a Định nghĩa theo phương pháp loài - chủng

 Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài-chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng

Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng

- Ví dụ 1: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” Trong định nghĩa này:

+ Hình bình hành là khái niệm loài;

+ Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng

- Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó” Ở đây:

+ Số tự nhiên là khái niệm loài;

+Chỉ có hai ước số là 1 và chính nó là đặc tính của chủng

- Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm cố định và một số k

không đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

'

OM

k

OM  được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V(O,k)

Ở định nghĩa này, ta thấy:

+ Phép biến hình là khái niệm loài;

+ Số k không đổi khác 0, O cố định, OM  k OM' là đặc trưng của chủng

b Định nghĩa bằng quy ước

 Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa

gán cho đối tượng cần định nghĩa tên gọi hay một đối tượng cụ thể nào

c Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

 Nội dung: Người ta chọn ra một đối tượng cơ bản, quan hệ cơ

bản và thừa nhận chúng gọi là các tiên đề Từ đó đi định nghĩa các khái

niệm khác, chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp logic +Khi định nghĩa khái niệm một đối tượng bằng phương pháp

tiên đề, người ta chỉ ra chỉ ra hệ thống tiên đề làm cơ sở định nghĩa khái niệm cần định nghĩa, sau đó chỉ ra đối tượng cần định nghĩa thỏa mãn hệ thống tiên đề đó

+ Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Cho tập X cùng quan hệ tương đương , (X,) được gọi là quan

hệ tương đương nếu thỏa mãn 3 tính chất sau:

i) Tính chất phản xạ

ii) Tính chất đối xứng

iii) Tính chất bắc cầu

+ Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau:

Tập X (X ) cùng phép toán hai ngôi * được gọi là nhóm nếu

*: X  X X (a,b) c thỏa mãn:

i) * có tính chất kết hợp;

ii) Có phần tử đơn vị e X sao cho  x X : x = e x= x;

iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo:

xX , x -1X :x x -1 = x -1 x=e

d Định nghĩa bằng phương pháp mô tả

 Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định

nghĩa chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối tượng, quan hệ cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra chúng (mô tả

theo kiểu kiến thiết)

+ Ví dụ 1: Các khái niệm “điểm trong mặt phẳng, đường thẳng, mặt phẳng” là các khái niệm không định nghĩa, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả

+ Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng) Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia

cuối Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối

Ov

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm

a Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Nội dung của quy tắc này đòi hỏi phạm vi của khái niệm định nghĩa và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa

+ Ví dụ 1: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn”

Định nghĩa trên đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng vì ngoại diên của nó bằng nhau

+ Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp những số này không thể khai căn được”

Định nghĩa số vô tỉ như trên vi phạm quy tắc định nghĩa không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với

phạm vi khái niệm định nghĩa, ví dụ số e và số  là những số vô tỉ nhưng

không là kết quả của phép khai căn nào

+ Ví dụ 3: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” là định nghĩa không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái

niệm định nghĩa, chẳng hạn có những số thập phân vô hạn như

9

1 , 3

1

…

nhưng chúng không phải là số vô tỉ mà là các số hữu tỉ

b Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh

Nội dung của quy tắc này đòi hỏi định nghĩa phải dựa vào khái niệm đã biết, đã được định nghĩa

+ Ví dụ 2: Định nghĩa “Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng đi qua một đường thẳng”

Định nghĩa này không đúng vì khái niệm góc chưa xác định Vì thế,

ta phải định nghĩa góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không gian giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng”

c Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Nội dung của quy tắc này đòi hỏi trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra được những thuộc tính còn lại

+ Ví dụ 1: Định nghĩa “hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau”

Định nghĩa trên vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai điều kiện song song hoặc bằng nhau

+ Ví dụ 2: Định nghĩa “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó”

Định nghĩa trên thừa điều kiện “là 1 và chính nó” nhưng vì lí do

sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ hai ước đó là hai ước cụ thể nào

d Định nghĩa không dùng lối phủ định nếu khái niệm loài không được phân chia thành hai khái niệm chủng loại trừ lẫn nhau (tức là khái niệm loài không bao gồm hai khái niệm mâu thuẫn)

+ Ví dụ: Định nghĩa “Số siêu việt là những số thực không đại số” Định nghĩa trên đúng vì khái niệm loài là tập số thực được phân chia thành hai tập hợp gồm tập hợp đại số và tập hợp số siêu việt, hai tập hợp này là hai tập hợp tách rời nhau nhưng hợp của chúng thành tập số