Bất đẳng thức, bất phương trình, cực trị đại số 10

Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó - Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn n[r]

Bất đẳng thức , bất phương trình ,cực trị đại số

- Bất đẳng thức

1 Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa : Cho hai số a và b ta có a > b a – b > 0

b) Một số bất đẳng thức cơ bản :

01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức :

2 với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

0

n

A    An

2n A 0 ;     AA 0; n ; dấu bằng xảy ra khi A = 0

A B  A B Với A 0;B 0

dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không

A B  A B với A B o dấu bằng xảy ra khi B = 0

02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối

A  0 Với A bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

A  B  A B dấu bằng xảy ra khi A và cùng dấu

A B  A B Dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu và A> B

03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) :

n

  

( Trung bình nhân của n số không âm không lớn hơn trung bình cộng của chúng ) Dấu bằng xảy ra khi a1a2   a n

- Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu 3I- các dạng sau :

Với a và b là các số không âm

2

a b

ab

 

 2 Với a và b là các số bất kỳ

4

a b  ab

 2 Với a và b là các số bất kỳ

2 2

2

a b

  Dấu bằng xảy ra khi a = b

04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) :

- Cho hai bộ các số thực: a a1, 2, ,a n và b b1, 2, ,b n

Khi đó :  2  2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b a b  a b  a a  a b b  b

Dấu bằng xảy ra khi :

- Hoặc 1 2 với ai , bi khác 0 và nếu

1 2

n n

a

a a

- Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm toàn số không

- Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số :

 2  2 2 2 2 Dấu bằng xảy ra khi ay = bx

ax by  a b x y

05) Bất đẳng thức x 1 2 Với x > 0 ; Với x < 0

x

x

   c) Các tính chất của bất đẳng thức :

01) Tính chất bắc cầu : Nếu a > b và b > c thì a > c

02 ) Tính chất liên quan đén phép cộng :

Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu a > b và c > d thì a+c > b +d

04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân :

- Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số

Nếu a >b và c > 0 thì ac > bc

Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc

- Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều

Nếu a > b >0 và c > d > 0 thì ac > bd

Nếu a < b < 0 và c < d < 0 thì ac > bd

- Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức :

2n 1 2n 1 Với mọi

a b a  b  n A

2 2 Với mọi

2 2 Với mọi

0 < a < 1 n m Với n > m

a a

a > 1 n m Với n > m

a a

2 Một số điểm cần lưu ý :

nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó

bất đẳng thức

3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức:

3.1 Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thức x thì :3 22 4 11 2

1

x x

  Giải :

Ta có : 2 1 3 Với mọi x

x   x x   

Do vậy :

2

2

2 1

x x

3x 4x 11 2 x x 1 3x 4x 11 2x 2x 2

2  2 Đúng với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi x = -3

Ví dụ 2 : Cho a, b  A và a+b 0 Chứng minh rằng  a5 b5 2 2

a b

a b

 Giải :

Xét tử của M :

5 5 3 2 2 3  5 2 3  3 2 5 2 3 3 2 3 3

a b a b a b  a a b  a b b a a b b a b 

2

a b a b a b a ab b a b a b

Vì a+b 0 nên M=   2 1 2 3 2 > 0 do a, b không thể đồng thời bằng 0

a b a b b 

     

3.2 Phương pháp phản chứng:

Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn

0 0 0

a b c

ab ac bc abc

  



   





Giải

 0

Từ abc > 0 ta có: bc < 0 (* )

Từ a+b+c >0 ta có: b + c > - a > 0

Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0  bc > - a (b + c) > 0 (**)

Ta có (*) và (**) mâu thuẫn nhau  đpcm

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với x, y > 0 Ta có : ( 1 + x) (1 + y) (1 +  xy)2

Giải

Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :

 2   2 2

(1x)(1y)1  x 1  y  1 xy

Cách 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

 2

2

2

(1 )(1 ) (1 )(1 )

xy

Dấu bằng xảy ra khi x = y

Ví dụ 5 : Cho a b,  A và 3a + 4 = 5 Chứng minh rằng 2 2

1

a b  Giải :

Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có :

2  2  2 2 2 2 2 2 1

5  3a 4b  3  4 a b a b 

Dấu bằng xảy ra khi :

3

5 4

3 4

5

a b

b



Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta có a= 5 4

3

b



Vậy

2

3

b

a b     b    b b  b 

2  2 Đúng với mọi x

25b 40b 16 0 5b 4 0

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi góc nhọn x ta có :

a ) sin x + cosx 1

2

 b) tgx + cotgx 2 

Giải :

sin x + cosx sin2 cos2 1

x x

Dấu bằng xảy ra khi sinx = cosx hay x = 450

b ) Vì tgx , cotgx >0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ;

tgx + cotgx  2 tgx.cotgx  2 ( Vì tgx cotgx = 1 )

Dấu bằng xảy ra khi tgx = cotgx hay x= 450

Ví dụ 7 : Cho a 4 Chứng minh rằng : 1 17

4

a a

 

Giải :

Ta có : 1 1 15

a

và ta có : 16

a

Mà : 4 15 15.4 15

a

Vậy 1 17 Dấu bằng xảy ra khi a = 4

4

a

a

 

Ví dụ 8 : Chứng minh rằng với mọi số thực x , y ta có :

5x  2y  2xy 4x 6y  10

Giải :

Điều này đúng vì  2  2  2

2x 1  0; y 3  0; xy  0

và không đồng thời xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0

3.4 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình :

2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2

Có nghiệm thì 4c2 3(a + b) 2 – 8ab

Giải

Ta có : 2   2 2 2 2   2 2 2

2x  xa  x b c  4x  2 a b x a b   c 0

' 0 a b 4(a b c ) 0 4c 3 a b 2ab 4c 3 a b 8ab

3.5 Phương pháp làm trội:

Ví dụ10 : Chứng minh với n N * thì:

2

1 2

1

2

1 1

1











n

Giải

Ta có:

n n n

1 1 1

1









1 1

2 2

n  n

 + ……….

1 1

2n 1  2n



2

1 2

1 2

1

2

1 1 1 2

1 2 1



















n n n

n

n n

4 Các bài tập tự luyện :

Bài 1: Trong tam giác vuông ABC có cạnh huyền bằng 1 , hai cạnh góc vuông là b và c

Chứng minh rằng : b3 + c3 < 1

Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a) 7 22 15 12 3 Với mọi x

1

x x



 

b ) Nếu a + b < 0 thì 3 3  

a b ab ab

c ) Nếu x3+y3 = -2 thì     2 x y 0

d ) Nếu x3+y3 = 16 thì 0 < x +y 4

Bài 3 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a ) Nếu a2 +b2 = 13 thì a2 +b2 2a +3b 

b)  2 2     Với mọi x , y

5 x  y  4 xy  2 xy  1 0  A

a b a b

 b) Cho 0 < x < 2 và x 1 Chứng minh rằng :

2 2

4 2

1

x

x





Bài 5: a ) Cho a > b > 0 Chứng minh rằng

2

a b a b

a    

b ) áp dụng so sánh 2007  2006 và 2006  2005

Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có 1= b2 + c2 và 1> b; 1 > c

Vậy 1= b2 + c2 > b3 + c3

Bài 2 : a) Ta có : Vì x2 - x +1 = với mọi x

2

0

x

    

2

1

x x

 

2  2 ( Đúng )

4x 12x 9 0 2x 3 0

Dấu bằng xảy ra khi x = 3

2

2

a b ab a b a b a ab b ab a b

Đúng vì a +b < 0 và a+b2 0 

c) Ta có 3 3    2 2

2

0

y

x xyy x   y 

Mặt khác :

3

3 3

0

Dấu bằng xảy ra khi x = y = -1

Bài 3 : a) áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxky ta có :

Dấu bằng xảy ra khi a = 2 ; b = 3

b) Ta có :

2 2

Điều này luôn luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi 1; 1

x y 

Bài 4: a ) Ta có: 1 1 4 a b 4 (*)

a b a b ab a b



Vì a,b > 0; a+b > 0 nên: (*)  2 ( Bất đẳng thức Cosi cho 2 số )

4

a b ab

Vậy 1 1 4 với mọi a , b > 0

a b a b

 b) Đặt (x-1)2 = t thì t > 0 và x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t

Vì 0 < x < 2 nên 1-t > 0

4

x



Mà 4 - x2 < 4 do 0 < x < 2.

Vậy:

2 2

4 2

1

x





2

a b a b

Đúng

4a 2a 2 a b  a a b a a b    0 b

b) áp dụng câu a với a = 2006 và b = 1 ta có:

2 2006  2007  2005  2006  2005  2007  2006

V.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Của biểu thức :

1 Kiến thức cần nhớ :

Cho các biểu thức A và B

- Nếu A a trong đó a là một giá trị của biểu thức A

AMax

- Nếu B b trong đó b là một giá trị của B

BMin

Cách 1: a) Tìm GTLN: f(x) g(x) a 

b) Tìm GTNN: f(x) g(x) a 

Cách 2: a) Tìm GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a) 

b) Tìm GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a) 

2 Một số diểm cần lưu ý :

- Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Nếu biến lấy giá trị trên toàn tập thì vấn đề đã không đơn giản Khi biến trong biểu thức chỉ lấy giá trị trong

hoặc một khoảng giá trị nào đó thì vấn đề càng phức tạp và dễ mắc sai lầm

đồng thời

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 4x2+ y2+2xy+3x+5

Lời giải 1 :

Với mọi x

Px  xyy  x  x x   x xy  x x   x x  x

Mà 2 1 11 11

3

x   x x   

Nên Min P = 11 khi x = và x +y = 0 nên y =

-4

1 2

1 2

Ta thấy lời giải này sai lầm ở chỗ dấu bằng không xảy ra đồng thời Khi x = thì (x-1

2 1)2  0

Lời giải 2 : Ta có

Px  xyy  x  x   xy  x   

Vậy Min P = 17 Khi

4

1 0

2 1

1 0

2

2

x

y



 

Ví dụ 2 : Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  a 1

a



Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

Lời giải này sai lầm ở chỗ P   2 a 1 không thoả mãn điều kiện a 2

Lời giải 2 : Ta có 1 1 3 2 1 3 2 3 7

Vậy Min P = khi a = 27

2

3 Bài tập ví dụ :

-Về bản chất bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức và bài toán

chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 3: Cho x, y, z R thoả mãn x 2 + y2 + z2 = 1

Tìm GTLN của P = x 2y 3z

Giải:

Theo bất đẳng thức Cosi – Bunhiacopxki ta có:

P2 = ( x + 2y + 3z)2 (1 2 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14

Nên P  14

Dấu = xảy ra khi:





































1

9 4 1 1

3 2

1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

z y x

z y x

z y x

z y x



























14 9 14 4 14 1

2 2 2

z y x

Vậy (x, y, z) =  (1)











14

14 3

; 14

14 2

; 14 14

Hoặc (x, y, z) = 14; 2 14; 3 14 (2)



Vậy Pmax = 14 khi (x, y, z) =  1414;21414;31414 hoặc (x, y, z) = 1414; 2 1414 ; 3 1414



1





y

b x a

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

a) P = xy; b) Q = x + y

Giải:

a) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 ab a b 1 xy 4ab

xy    x y 

Vậy Pmin = 4ab khi 1 2

2 2

x a

a b

y b

x y





    



(Bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Vậy : Q = x+ y  2

a b

Qmin =  2khi x =

a b a ab;yb ab

Ví dụ 5: Tìm GTLN của P = 2

) (x a

x

 Giải Điều kiện : x a

Ta có: Với x = 0 => P = 0

Với x 0 ta có: P =  x = P(x + a)2

2

) (x a

x

px2 + 2 apx + pa2 = x



px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0



(2ap – 1)2 – 4pa2 0

<=> 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p 0

<=> 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 0

1 P P  2

4 Bài tập tự luyện :

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = x2 - 6x +1

b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020

c) C = 2 1

2 1







d ) D = 3x2+5y2 với 3x 5y 2

Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) M = - x2 + 4x + 7

b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y

c) P = ( x+1 ) (2 - x )

Bài 3: Tìm giá tri lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 32 1

1

x x



 Giải:

Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 nên min A = 8 khi x = 3

b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nên Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 c) Điều kiện: x < 1

2



C

1

2 1

2 1

3

x

 







c) Từ 3x 5y  2 3x 5y  2

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:

3 1x  5 1y  3x  5y 1 1   3x  5y  2

Vậy MinD = 2 khi x= 1 và y =

3

1 5



Bài 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nên MaxM = 11 khi x = 2

b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nên MaxN = 2005 khi x = 1; y = - 1

2

c ) P = ( x+1 ) (2 - x ) ( Bất đẳng thức Cosi )

2

x  x

Vậy MaxP = khi x = 9

4

1 2

2

3 1

1

x

x





Ta thấy P = 0 khi x = 1

3



3 4P P 1 0 4P 4P 9 0 2P 1 10

Vậy MaxP = 10 1 khi x =

2

3



MinP = - 10 1khi x =

2

3



V.3 Bất phương trình

1 Kiến thức cần nhớ :

)

0

a

b x a

 

b x a

 

khác "

Nghĩa là nhị thức bậc nhất f(x) = ax +b (a 0) có nghiệm x = b

a



Khi x > b thì f(x) và hệ số a cùng dấu , khi x < thì f(x) và hệ số a khác dấu

a

a



; A(x)B(x) < 0

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

A x

B x

A x

B x

  







  





( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

A x

B x

A x

B x

  







  



 trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x

;

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

B x

B x

A x B x

A x B x







  





( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

B x

A x B x

A x B x









( ) 0

( ) ( )

A x

A x B x B x

A x B x









;

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )

A x

B x

A x B x

B x

A x B x

 









  



2

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ( ))

A x

A x B x B x

A x B x





2 Bµi tËp vÝ dô :

a) -3(x+2) +2(x-1) 4x -3

b)  2  

m x m x

Gi¶i a) Ta cã :

-3(x+2) +2(x-1) 4x -3 3 6 2 1 4 3 4 3 7

4

5

            

     

b ) Ta cã :  2    2 

m x m x  m  m x mx m

 2 

V× 2

1 0

1

m x

m





a) 2

x  x 

b) 2

4 3 0

Gi¶i

x  x   x  x x   x x  x   x x 

2

x

    





       



  

      

Chú ý : - Ta có thể kết hợp nghiệm trên trục số

Ví dụ : x 1 3 x  0 x 1x 3 0 do x-1 > x-3

nên chỉ xảy ra 1 0 1 1 3

x

a) 2

x  x  x

b) 3x  2 2x 1

Giải:

a) Ta có :

2

2

2

 

 



          



1 0

2 0

2 1

1

x

x

x x

x

  



  









 





Chú ý : Tránh biến đổi sai lầm I sau :

x  x   x x x  x  x  x

      x 2 x 1 1 0

b) Cách 1 :

Ta có :

1

3 1 0



 

2

1 1

1

3

3

5

x x

x

x x

x x

x

 













(1)

1 0

3

x

  

XÐt 2x+1 0 1 (2)

2

x

   

2x  1 3x       1 x 2 x 2

KÕt hîp víi (1) vµ (2) ta cã 1

3

x

XÐt 2x +1 < 0 1 (3)

2

x

  

Kh«ng tho¶ m·n (3)

2x 1 3x 1 5x 0 x 0

1 3

x

3 Bµi tËp tù luyÖn :

Bµi 1 : a)2 3 x  1 3 x 2  5 1 2  x 4

b)   2   

m x  m x

c) 2

6x  7x  2 0

d ) 2

9x 18x 5 0

Bµi 2 : a) x  2 2x 1

b) 1 2 x  1 3x 5

c) 2

x  x  x d) 2 2

x  x  x  x

e) 2

3x  2x   1 x 1

Bµi 3: a) x 6 x  8 0

b) 2 0

x  x 

Gi¶i:

Bµi 1: a) 5 ; b ) x ; c) ; d)

13

4

m m m





1

1

5  x

1 1 3

x x







 



Bµi 2: a)

2

x x

x x





  

b) Ta cã:

2 0

x

 





     

2

4

5

x

x

x







 





c) Ta cã:

2

2

2 2

3

x x

x x

x

x











2-17x +10

2

2; 3

2

3 2

(*) 3

x

x x

   





  







   



v« nghiÖm )

x  x  x  x

Ta cã:

2

2

1

2

8 1 0

x

x x

x

x x

 

1

4 15

x

x

  



       



  



e) Ta cã:

2 2

1 1

3

3

x

x

  











  

 Bµi 3: a) §iÒu kiÖn x 0

Ta cã: x 6 x   8 0  x  2 x 4   0 2 x     4 4 x 16

b) Ta có:

(*)

Ta có thể lập bảng xét dấu hoặc xết từng khoảng giá trị để giải

- Với x > 0 thì (*)    1 không thoả mãn x > 0

2

-Với x < 0 thì (*)  2 2 1 0 21

2

x

x

 





  



2 1

0 2

x x

 





  



D Một số bài tập nâng cao :

Bài 1: Cho x  2 ; y 2

Chứng minh rằng: (x + y) (x2 + y2) x 5 + y5

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

b a

c a c

b c b

a c

c b

b a

a























3 1

1

Bài 3: Chứng minh rằng:

4006

2001 )

2002 2001

( 4003

1

) 4 3 ( 7

1 )

3 2 ( 5

1 )

2 1

(

3

1



















Bài 4: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6 Chứng minh rằng:

512

729 1

1 1

1

1

3 3









 











 











 

c

a b a

Bài 5: Cho abc = 1; a3 > 36,

Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca

3

2

a

Bài 6 : Chứng minh rằng

Nếu x, y, z  0 thì x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y)  0

Bài 7: Cho a, b, c  [0;2] có a + b + c = 3 CMR: a2 + b2 + c2 < 5

Chứng minh rằng : 5 ab5 5 5 bc5 5 ca5 < 1

a b c b c bcc a ac

Bài 9: CMR nếu x, y  A  thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai: