Bài tập Sử dụng nguyên lí Dirichlet để tìm cực trị Đại Số lớp 9 có lời giải | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

[r]

Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến

“ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số”

Bài 1 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3 Tìm GTNN của biểu thức

Rx4 2  y4 2 z42

Lời giải

Dự đoán điểm rơi x4 y4 z4 1

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số x 4 1; y 4 1 và z 4 1 luôn tồn tại 2 số có tích không âm

Không mất tính tổng quát giả sử đó là x 4 1 và y 4 1

Suy ra: x4  1 y4  1   0 x y4 4 x4 y4   1 x y4 4  2x4  2y4   4 3x4  3y4  3

x4 2 y4 2 3x4 y4 1

x4 2 y4 2 z4 2 3x4 y4 1 z4 2

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có:

x4y41 1 1   z4  x2y2z22 xy yz zx  29

Suy ra: Rx4 2  y4 2 z4 227

Dấu “=” xảy ra 4 4

4

3

1

xy yz zx

z









 Vậy Min(R) = 27  x  y z 1

Bài 2 Cho các số a b c, , > 0sao cho a2+ + +b2 c2 abc = 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=ab bc ca abc+ +

-Lời giải.

Dự đoán điểm rơi a b c  1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0

Nên ab bc ca abc+ + - £ ab c+

Mà

4=a + + +b c abc³ 2ab c+ +abcÞ 4- c ³ ab c+ Þ2 2- c³ abÞ ab c+ £ 2

Bài 3:Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab bc ca   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T 1 1 1

a b b c c a

Lời giải

Theo nguyên tắc DIRICHLET Trong ba số a 1,b 1,c 1 có ít nhất hai số có tích không âm giả sử a 1 b 1  0 ab a b     1 0 a b ab    1 ab bc ca    1 2

Mặt khác từ ab bc ca 1 c 1 ab 0

a b





Ta chứng minh

dung

Vậy 1   21 21 1   2

a b



Ta chứng minh 1   2 5

a b

a b

a b



Đặt a b t thi  , : 0  t 2 Ta có

2

3 2

dung Vi t

Do vai trò bình đẳng a, b, c như nhau nên

2

a b b c c a        5

2

Min T  khi:

1

0

ab bc ca

a b ab ab bc ca a b c va cac hoan vi









