Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp một phương pháp giải cho những bài toán bất đẳng thức: ” Giải bất đẳng thức bằng phương pháp đưa về một biến” Thường là những bài bất [r]
Trang 1A LÝ DO
Các
là trang
cho sinh
Trong quá trình tôi luôn tìm tòi các ví & hình < # thành các
bài toán và phát & các bài toán 1 8
cho
sinh I " thi J K8 Và trong - )M bài toán tôi khai thác sâu thêm F
dung tài hai :
B
I & '( % PHÁP
1 Bài toán: Xét bài CL1 3 ( R G? có) ! minh F
P = f(x,y,z, )AG A) tìm GTLN; NN [ P
& -. pháp 1:
! minh: Pg (t) t k(x,y,z, ) D
! minh: g(t) A t D
! minh: P g(t) t k(x,y,z, ) D
! minh: g(t) A t D
A
t
g( )
- L ( ! minh g(t) A ] / tôi có & )^ cách ? < " dùng các + , ! $ 6 %1 hoc sinh 1# 12 có & làm F cách )^ hàm 0#
6 ? thiên & 6 8
- Còn giá P nói chung là phong phú tùy - b bài toán & c cách giá thích # (dùng cách ? < , )^ + , ! < &8
bunhiacopki,côsi, )
& -. pháp 2:
a
max(x,y,z, ) x = min(x,y,z, ) 6 ? x y z ;và dùng 3 ( bài toán
b
P= f(x, y, z, …) f(x, t, ) … f1(x) Trong 5 t, = k(x, y,z,…)
Trang 2Sau 5 ! minh f1(x) A.
& 1 I - 2 03 04 cách 6 7 8 t=k(x,y,z, ).
Bài toán 1:
yx xy y
x (1)
%A:
Vì x là
(1)
x
y x
y x
y
2 3
x
y
=t ( t >0)
f’(t)= 3t 2 - 2t -1=0 t= 1 ; t= -1
3
Suy ra f(t) 0 %1 t > 0 G K8
Tổng quát
Ta có bài toán 1’:
Cho x,y là các
x n y n xy n1 x n1y(n 2 ,n N)
Bài toán 2:
%A:
J t =
x
y
y
x
y y
x x
y y
x
C1: Ta có: (2) ] thành:
0 2 )
2 ( 2
)
2
(t2 2 t2 t (t+2)(t3-2t2-t+3)0(2')
+) L1 t2: ta có t3-2t2-t+3=(t-2)(t2-1)+1>0
nên + , ! (2') a
+) L1 t-2: ta có t3-2t2-t+3=(t+2)[(t-2)2+3] - 11 > 0
và t+20 nên + , ! (2') a
%0 + , ! (2) a + F A6 ra khi t=-2 hay x=-y
L1 x,y là các )M c khác không ! minh FC
) 2 ( 2
2 2 2 2 4
4 4
4
x
y y
x x
y
y
x x
y
y x
Trang 3 5
C2: Xét hàm )MC f(t) = t 3 – 2t 2 – t + 3 trên (; -2] [2; )
Bài toán 3:
Cho x, y, z là các )M c thay < 8 Tìm GTNN [ & !C
A x y x y y
%A:
) (
) (
z y
x3y3z3 3xyz (xyz)(x2 y2z2 xyyzzx) và 3 ( ta có:
2
2
x y z
P x y z x y z xy yz zx x y z
JC t x y z 0 t 6
C1:
2
@+ F A6 ra khi và q khi t 2
L0C Pmin= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoán % 8
Pmax=2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoán % 8
(0 t 6)
f’(t)=
2
3
2
t
f(t)
2 2
Suy ra f(t)= P 2 2 (0 t 6 )
L0 Pmin= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoán % 8
Pmax=2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoán % 8
Bài toán 4 ; thi giáo viên P Q 2003- 2004)
Cho a, b, c là các
14
J& ý FC 1= 2 2 2 2
a b c abbcca ;
3(a + b + c )
a b c
Trang 4Suy ra: Y? t= 2 2 2
f t
1
%1 1 t<1
2
2
t
t
BBT
t
1 3
2
1
f(t)
14
Bài toán 5 J thi cao , 3M A 7 2006
Cho x, y là hai )M c khác không thoã mãn: 2 2
.
xy xy x y xy; Tìm GTLN [ & !C A= 13 13
x y
%A
2 2
x+y
SP= S - 3P
3
S P S
( Lưu ý S = -3 không thoã mãn).
J giá S: S 24P =>
2
L0C
A= 13 13
2 2
( %1 S<-3 v S 1)
Xét: f(S) =S 3
S
trên ( ; 3) [1; ).
f’(S)= 32 0
S
S ( ; 3) [1; ).
Suy ra f(S ) ?8
Trang 5-f(S)
1
0
4
1
2 ( Khi S= 1; P= 1
4)
Bài toán 6: thi V W5 : X B Q 2006
Cho x, y, z là các )M c thay < 8 Tìm GTNN [ & !C
A x y x y y
%A
Áp bdt: a2b2 c2d2 (a c )2 (b d)2 .
A x y x y y 2
4 4 y y 2
L1 y 2: f(y)= 2 f’(y)= 0
3
y
X0# 6 ? thiên ta có: f(y) 2 3 1
3
y
L0 GTNN [ A = 2 3 khi x=0; 1
3
y
Bài toán 7: ( thi V W5 : X B Q 2008).
Cho x, y là các )M c thay < thõa mãn: x2 + y2 =1 Tìm gTLN, NN [ & !C 2
2
x xy P
xy y
%A
x xy P
x xy y
-) Y? y = 0 ta có P = 2
Trang 6-) Y? y 0 J x= ty Suy ra: 2 .
2
t t P
t t
2
( )
t t
f t
t t
2
t
t t
f’(t)= 0
3 2 3
t t
2
2 2
;
1
;
x y
x y
2 2
; 3
2
; 1
x y
Có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Bài toán 8: ( thi cao [ : X= B,D Q 2008).
Cho x, y là các )M c thay < thõa mãn : : x2 + y2 =2 Tìm GTLN, NN [ & !C P= 2( x3 + y3) – 3xy
HD: JC t= x + y %1 : t 2; 2
Bài toán 9:
Cho
2 3
0 ,
,
z y
x
z
y
x
Cmr: P=
2
15 1 1 1
z y x z y
E 6 C áp + , ! côsi ta có:
P=
z y x z y x xyz z
y x z y x z
y
x
J
2
3
C1: Ta có: f(t)= t 9
t
0
2
t
f’(t)= 1 92 0 ;3
2
t 0
t
f(t) ? trên 3
0;
2
Suy ra: ( ) ( )3 15
P f t f
Trang 7@+ F A6 ra: x = y = z và t = 3
2 hay x = y = z = 1
2
C2: áp *J9 côsy ta có:
P =
2 15 2
3 4
27 4
9 2 4
27 4
9 9
1 1 1
t
t t t
t t
t z y x z y
x
@+ F A6 ra khi và q khi x = y = z =
2
1
5
Chứng minh bài toán Tổng quát 1 :
Cho x1, x2, , xn( n 2 ) là
*
;
! minh FC
k
ak bn x
x x b x x
x a
n n
2 2
2 1 2
n
x x x x x x x
Suy ra:
2
bn
JC t = x1 x2 xn k
Ta có: VT = f(t) =
2
bn at
t
%1 t k f’(t)=
Suy ra: f(t) ? trên: 0<t k
L0C P f t( ) f k( ) ak2 bn2
k
@+ F A6 ra: x = y = z và t = k hay x = y = z = k
n
C2: Áp *J9 côsy ta có:
2
bn
@+ F A6 ra: x = y = z = k
n
Trang 8] xét:
65 0_ hóa bài toán TQ1 ta có:
Bài toán 9,1:
Cho
2 3 0 ,
,
z y
x
z y
x
Cmr:
2
51 ) 1 1 1 (
z y x z y
` dàng A bài toán 8 1 3 ta cho bài toán TQ1 2b a=1; b=4 ; n=3 ; k=
2 3
Bài toán 9.2 (Olimpic-toán M 5d V W5 Vinh).
Cho
2 3
0 ,
,
z y
x
z
y
x
3.
2
%A
] 2]> : áp + , ! bunhacopxki ta có:
17
1 1 4
) 4 1
)(
1
y
x y
x y
x y
2
a b k n Suy ra #6 ! minh
Bài toán 9.3 ; thi V W5 cao [ : X A Q 2004).
Cho
1
0 ,
,
z y
x
z
y
x
CMR : 2 12 2 12 2 12 82
z
z y
y x
Bài toán 9* :
Cho
2
0 ,
y
x
y
x
Cmr: 1 1 (x y) 2
y
Xem x= 1 a ; y= 1 b ta có:
Bài toán 9*.1:
Trang 9Cho , 0
1
a b
a b
Từ đó có thể dễ dàng chứng minh bài toánTổng quát 2:
Cho x1,x2, ,x n(n 2)là các x1 x2 x n m, m>0:
! minh FC
1
2 2 1
1
mn x
m
x x
m
x x
m
x
n
3 g 5 5h 0d [ i5 j :_ bài toán TQ1 ta có bài toán b :
Bài toán TQ3
Cho x1,x2, ,x n(n 2 ) là các 6 mãn:
) (
2
x n ; b 0 ;ak2 bn2.
! minh FC
k
ak bn x
x x b x x
x a
n n
2 2
2 1 2
1 ) (1 1 1)
k bài toán TQ2 và bài toán TQ3 ta có l áp 8 5 i minh các bài toán khác
-. m , +65 có l khai thác ta -n5 o bài toán b khá thú 2q
Bài toán 10:(THTT/ T4/352/2007)
1:
! minh FC P =
2
3
z xz
y
y yz
x
x
E 6 :
J a= x , b= y , c= z
Bài toán ] thành :
P =
2
3
2 2 2
2 2
2
c ac
b
b bc
a
a
áp + , ! M2 5B< ta có:
P2
ab c ac b bc a
c b a
2 2
2
2
)
=
4
) (
ab c ac b bc a
c b a
] 3 ) [(
3
) (
)]
( 3 ) [(
3
) (
) (
3
) (
2 4 2
4 2
2
2
4
c b a
c b a ca
bc ab c
b a
c b a ca
bc ab c b
a
c b a
Trang 10{vì ab+bc+ca 3 2
) (
JC t=(a+b+c)2 thì t9 { vì a+b+c 3
C1: P2 = f(t) =
) 3 ( 3
2
t
t
3t 3(t 3)
%1 t9 f’(t)=
2
BBT:
f(t)
9 2
L0 P2 = f(t) 9
2
Suy ra: P 3
2
@+ F A6 ra khi x=y=z=1 ( 5 @
C2: Ta có : P2 =
) 3 ( 3
2
t
t
=
3
3 12
3 2 12
15 9 3 3
3 12
3 12
15 3
t
t t
t t
=
2
9
P2
2
2
3 @+ F A6 ra khi x= y= z= 1 ( 5 @
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được bài toán Tổng quát 4
Cho: x1,x2, ,x n(n 2 ) là các x1x2 x n 1
CMR:
2
2
3 2 1
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x
n n
n
n n
Bài toán 11:
Cho
1
0 ,
,
z y
x
z
y
x
Cmr:
10
9 1
1
z
z y
y x
x
] xét: Ta < + , ! & áp M2 5B< .
E 6i : Ta có :
3 3 3
2 2 2 2 3
4 3 4 3
4
2 3 2 3 2
3 2
2 2
2 2
2
1 ) (
1
) 1 1
1 ( 1 ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1
1
(
z y x z y x
z y x z
z
z y y
y x
x
x
z
z y
y x
x z
z z
y
y y
x
x
x
P
Trang 11Ta có:
2 2 2
1
x y z x y z x y z xy yz zx xyz
x y z
J t x 2 y2 z2 b 3
3
1
C1) Ta có: P = f(t) =
2
2
8 3
1 3
t
f t
<0 1
3
t
Suy ra: f(t) ? trên [ 1;
3
L0 P = f(t) ( )1 9
f
3
1
C2) Ta có:
10
9 10
9 3 10 3
) 9 57 )(
3
1 ( 10
9 10
9 3 10 3
3 10 3 3 1
3
2 1
3 2 3
1
2
2 2
2 2
t t
t t
t t
t t t t t
t t
t t
t
P
@+ F A6 khi và q khi x=y=z=
3
1
Bài toán 12:(V chí toán W5 g .).
x y z
2+y2+z2
4
3
%A!
Ta có: (1)1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz
x2+y2+z2=2-2(x+y+z)+(x+y+z)2-4xyz
áp Côsi ta có : x y z xyz
x2+y2+z2 2-2(x+y+z)+(x+y+z)2-4
3
xyz
J t= x+y+z thì: 0 t 3 Khi 5C
+ F A6 ra khi t=
2
3
hay x=y=z=
2
Trang 12, : ! minh và khai thác bài toán g quát4:
Cho x x1, 2, ,x n n 2 là
n n
- ý: Y? ! minh g(t)0
- Khi Q # thì #6 tìm 3 ( = chính xác [ Q # ( là ! minh g(t)
1, Cho x,y,z là các )M c không âm
Cmr: 2xyz x2 y2 z2 1 2 (xy yz zx)
HD:
(x y z) 2xyz 1 4(xyyzzx) 4(xyyzzx) ( x y z) 2xyz 1
3? # + , ! côsi ta ! minh:
1
27
)
2
9
t t %1 t x yz
2
9 ,t
2 Cho x,y,z là các )M c không âm ! minh F :
) (
6 1 ) (
5 ) (
3 x2 y2 z2 xyz xyz xyyzzx
3 Cho x,y,z là các
xyz 2 (x2 y2 z2) 8 5 (x yz) G9i99\)M 356)
4 Cho x,y,z là các
x2 y2 z2 2xyz 3 ( 1 x)( 1 y)( 1 z)
5 Cho
] 3
4
; 0 [ , ,
3
z y x
zx yz xy
Cmr: xyz 4 (xyz) 13
6 Cho
3
0 , ,
2 2 2
z y x
z y x
Cmr: xyz 27xyz 30
2
x y z xyz x y z
- 9b + , ! bunhiacôsxki, svac B< và [ i5
2 2
2
2
) (
) (
z
y
4 4 4
2
27 2
1 1
2
27 2
1
y x
y
HD: t x y
9 Cho
) 2
; 0 ( , ,
3
z y
x
z y x
Cmr:
Trang 132 2
2 2
2 2
4
1 4
1 4
1 )
2 )(
2 )(
2
(
27
z y
x z
y
) (xyz :
0 , ,
4
2 2 2
z y x
xyz z y x
Cmr: xyz 3
] 1
; 0 ( , ,y z x
z y x zx yz xy
) (
) (
)
2 2
2 2
2
z y
x z
y x
z y x
*****************************************
ở ví dụ trên thì chúng ta phải làm xuất hiện ẩn phụ.sau đây ta xét một lớp bài toán
mà ẩn phụ chính là x hoặc y hoặc z
Bài toán 13:
Cho
0 ,
,
1
z y
x
z y
x
Cmr: P =
27
8
yz zx xyz
%A!
9b 3 bài toán ta + 0 z 1 1 z 0
áp côsi ta có:
P = xy+yz+zx-xyz = z(x+y)+xy(1-z)z(x+y)+
2
2
y x
(1-z)
P = xy+yz+zx-xyzz(1-z)+
2 2
1
z (1-z)=
4
1
2
3
=
27
8 27
8 ) 3
5 (
)
3
1
(
4
+ F A6 ra khi x= y= z=
3
1 #8
Có thể xét hàm: f(z) =
4
1
2
3
với 0 z 1.
Bài toán MX 14:
Cho
0 ,
,
3
z y
x
z y
x
Cmr: 5 xyz 2 (xy yzzx) ( 9 )
E 6 C
Không + tính < quát 6 )^ z = min(x,y,z)
9b 3 ( +C 0 z 1
0 4
) 2 ( ) 1 ( 0 4
2 3 0
) 3 ( 2 ) 2 ( )
2
3
(
5
0 ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 5 0 ) ( 2 ) 2 (
5
)
9
(
2 3
2
2
z z
z z z
z z
z
y x z z
y x y
x z z
xy
Trang 14a %1 z [ 0 ; 1 ] @+ F A6 ra khi x=y=z=1 #8
Có thể xét hàm: f(z) = 3 3 2
4
z z với 0 z 1.
] xét: Y? + 3 ( 0 z 3 thì + , ! giá & ! trên là không a8 ] / chúng ta )^ tính 5 d 1 & làm ? 3 ( [ ? &
có
Cho
3 4
0
;
0
0 ,
,
3
b
a
b
a
z
y
x
z y
x
Cmr: a(xy yz zx) bxyz ( 3a b) 0
HD: Không + tính < quát 6 )^C z = min(x,y,z)
9b 3 ( + 0 1 0 ; 3 4 0
b
a z bz a
0 ) 4
3 ( ) 1 ( 4
1 ) 3 (
)
3
(
) (
4
) 3 ( ) 3 ( ) ( ) (
) 3 ( )
(
2
2
b
a z z
b b a z
az
bz a
z b
a y x az bz a xy b a bxyz zx
yz
xy
a
Chú ý: Thay g hình i5 bài toán:
e^ [ i5 x2 y2 z2 2 (xy yzzx) (x yz) 2 ta có
Cho
0 ,
,
3
z
y
x
z y
x
CMR: x2 y2 z2 xyz 4 (THTT-2006).
Tương tự bài toán 14* ta có l 5 i minh bài toán g quát 6
Cho
3 2 0
; 0
0 ,
,
3
b
a
b a
z y
x
z y
x
CMR: a(xy yz zx) bxyz ( 3a b) 0
Chú ý : J& ! minh : ta 6 ? z=max(x,y,z).
Đặc biệt hóa ta có bài toán:
L1 a=1; b=-2 : Cho
0 , ,
3
z y x
z y x
Cmr: xyyzzx 2xyz 1
Trang 15Sau đây ta xét tiếp bài toán sử dụng giả thiết: x = max(x,y,z, ) x =
min(x,y,z, ) để làm hạn chế phạm vi của biến:
Bài toán 15:
Cho
3
] 2
; 0 [ ,
,
z y
x
z
y
x
Cmr:x3 y3z3 9
E 6 C
Không + tính < quát, 6 )^C z = max(x,y,z)
9b 3 ( 1 z 2
Ta có:
3 y z
x x3+y3+3xy(x+y) +z3=(x+y)3+z3=(3-z)3+z3=
=9z3-27z+27=9(z-1)(z-2)+99 %1 z t/m : 1z2
+ F A6 ra khi (x,y,z)=(0,1,2) và hoán % [ nó G #K8
Bài toán 16
2
2
; 0
[
,y
3
2 2 1
y y
x
2
1
2 1
x x
y y
x
Xét hàm f(x) trên : 0; 2
2
Bài toán 17:
Cho x,y,z F trong [1;2] ;
! minh F : x3y3z3 5xyz
E 6 C
J f(x,y,z) x3 y3z3 5xyz
Không + tính < quát 6 )^ :2 x yz 1
0 ) 5 1
)(
1 ( ) 5 1 ( 5 )
1 , , ( )
,
,
f
Vì : z 1 0 ; 1 zz2 5xy 1 zz2 5z2 1 z 4z2 4 (z 1 )2 3z 1 0
s khác : f(x, y, 1 ) f(x, 1 , 1 ) y3 5xy ( 1 5x) (y 1 )( 1 yy2 5x) 0
Vì y 1 0 ; 1 y y2 5x 1 yy2 5y y2 4y 1 (y 1 )(y 2 ) y 1 0
L0 f(x,y,z) f(x, 1 , 1 ) x3 5x 2 (x 2 )[(x 1 )2 2 ) 0 x, 1 x 2
+ F + , ! A6 ra khi và q khi (x,y,z)=(2,1,1) và hoán % [ (2,1,1)
Bài toán18:
Trang 16GJ/ là bài toán )MK Cho
0 , ,
3
z y x
z y x
! minh FC 5 xyz 2 (xy yzzx)
%A
J f x y z( , , )2(xy yz zx)xyz
Ta ! minh f(x,y,z) 5 Do vai trò [ x,y,z trong f
Xét
4
2 3 )
2
3 , 2
3 , ( ) 2
, 2 , ( ) , , ( 0 ) )(
2
(
4
1
4
) ( ) 2 4
) ( 2 ( 2 )
( 2 ) 2
, 2 , (
)
,
,
(
3 2
2 2
x x x
x x f z y z y x f z y x f z
y
x
z y x z y x z y z y x xyz zx yz xy z
y z y x f
z
y
x
f
1 0
; 5
4
) 2 ( ) 1 ( 5 5 5 4
2 3 )
,
,
(
2 3
1
0 ) )(
2
z y x x
z y x
G #K8
Bài toán 19:
! minh FC x3 y3 z3 3xyz
E 6 :
Không + tính < quát 6 )^ z yx 0
J f(x,y,z) x3 y3 z3 3xyz
Tacó:
0 ) 2 )(
( ) (
3 ) ( )
, , (
)
,
,
s khác: J g(x,y) f(x,y, xy) x3 y3 2 (xy)3
0 )
) ( ( 2 )
,
(
)
,
(
2 3 3 6
3 3
y
x
g
L0 f(x,y,z) f(x,y, xy) g(x,y) g(x,x) 0
y x
xy z
#
s MX bài toán -. m
1 Cho
1
0 , ,
z y x
z y x
Cmr :
12
1 ) ( ) ( ) (yz 4 y zx 4z xy 4
x
HD: E 6 )^ x y z 0 tx(yz) ta
) 3 1 ( ) ( ) (
)
2 Cho
0 , ,
1
z y
x
z y
x
Cmr:
a yz 16xyz
... y` dàng A toán 3 ta cho toán TQ1 2b a=1; b=4 ; n=3 ; k=
2 3
Bài toán 9.2 (Olimpic -toán M 5d V W5 Vinh).
Cho... TQ3 ta có l áp 8 5 i minh toán khác
-. m , +65 có l khai thác ta -n5 o toán b thú 2q
Bài toán 10:(THTT/ T4/352/2007)...
n
3 g 5 5h 0d [ i5 j :_ tốn TQ1 ta có toán b :
Bài toán TQ3
Cho x1,x2,