Cách xây dựng giáo án luyện tập phần phương trình vô tỉ (đại số 10 – CTC) để giúp học sinh lớp 10b1 trường

Lý do chọn đề tài Trong chương trình Đại số THPT, phần kiến thức về phương trình vô tỉ -Đại số 10 là phần kiến thức khó đối với học sinh.. Trong quá tình dạy học bộ môn Toán tại trường T

I MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Đại số THPT, phần kiến thức về phương trình vô tỉ -Đại số 10 là phần kiến thức khó đối với học sinh Với những khó khăn đó các thầy, cô trong Tổ Toán của nhà trường cũng xác định đây thách thức của giáo viên môn Toán khi dạy học Vì vậy, trong mỗi bài dạy chúng tôi thường phải trao đổi ý kiến tìm cách tiếp cận vấn đề làm sao cho nhẹ nhàng giúp học sinh không có cảm giác nặng nề, khó khăn và tự tin hơn trong học tập

Trong quá tình dạy học bộ môn Toán tại trường THPT Lê Lai nói chung và môn Đại số 10 nói riêng, chúng tôi cho rằng bài toán giải phương trình vô tỉ là một phần kiến thức rất quan trọng Đây là một bài toán hay cần huy động nhiều kiến thức, kỹ năng khi làm bài tập và cũng là bài toán liên quan mật thiết với các bài toán khó phía sau Vì thế, bài toán giải phương trình vô tỉ được khai thác nhiều trong các kì thi Nhận thức được tầm quan trọng đó, theo chương trình giáo dục nhà trường năm học 2017 – 2018, tổ Toán – Tin trường THPT Lê Lai đã xây dựng thời lượng luyện tập là 3 tiết Trong quá trình dạy học bài này, chúng tôi nhận thấy một số khó khăn sau:

Một là, để làm được một bài tập phần này học sinh cần phải có kỹ năng

biến đổi đại số tốt, biết huy động kiến thức liên quan để xử lí các tính huống cụ thể

Hai là, giáo viên cần phải biết làm mềm kiến thức nhằm giúp học sinh

tiếp cận vấn đề nhẹ nhàng để giúp các em có niềm tin trong học tập (không bỏ cuộc)

Trong năm học 2017 – 2018, trong các lớp trực tiếp giảng dạy, học sinh lớp 10B1, 10B2 theo ban tự nhiên, trong đó lớp 10B1 học chưa tốt bằng 10B2, nhất là môn Đại số Đó là lí do khiến tôi trăn trở, tìm tòi cách xây dựng giáo án giảng dạy với mong muốn các em hứng thú hơn trong tiết học môn toán Đó cũng là lí do tôi

tìm đến với “Cách xây dựng giáo án luyện tập phần Phương trình vô tỉ (Đại số

10 – CTC) để giúp học sinh lớp 10B1 - Trường THPT Lê Lai tự tin hơn trong học tập”.

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu cách thức tiếp cận đối với bài toán giải phương trình vô tỉ một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức cơ bản nhất và kĩ năng cần thiết nhất từ đó phát triển các thao tác tư duy, giải quyết các bài toán khó

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng được giáo án luyện tập phần phương trình vô tỉ đối với học sinh lớp 10 tại trường THPT Lê Lai

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy – học môn Đại số tại lớp 10B1 trường THPT Lê Lai Nhằm

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lí luận: các văn bản Luật, Chỉ thị, Hướng dẫn của các cấp,

Kế hoạch năm học của Nhà trường, Kế hoạch hoạt động chuyên môn của Tổ Toán – Tin

+ Sách giáo khoa, chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán 10

+ Thực tiễn quá trình giảng dạy của bản thân và của đồng nghiệp

II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận

Căn cứ Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán lớp 10 của

Bộ giáo dục và đào tạo[1];

Căn cứ Hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ năm học 2017 – 2018 của Giám đốc

Sở giáo dục và đào tạo Thanh hóa[3];

Căn cứ Kế hoạch giảng dạy môn Toán trường THPT Lê Lai năm học

2017 – 2018[5];

Căn cứ vào thực tiễn dạy học, tôi thấy rằng phần kiến thức, kỹ năng của bài toán giải phương trình là rất quan trọng đối với việc học của học sinh

Cụ thể, học sinh cần đạt được:

- Về kiến thức: Hiểu cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

- Về kĩ năng: Giải được phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

2.2 Thực trạng của việc dạy tiết luyện tập giải phương trình vô tỉ tại trường THPT Lê Lai

Trong chương trình Đại số THPT, phần kiến thức về giải phương trình và bất phương trình vô tỉ là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình học và làm bài tập; đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ các kì thi Thực tế giảng dạy những năm qua theo phân phối chương trình, đây là một phần trong bài Phương trình quy về bậc hai – Đại số 10, với thời lượng ít như vậy thì khả năng thực hành giải bài tập thì số ít học sinh có khả năng giải bài tập, chủ yếu trong một tiết luyện tập chỉ lựa chọn vài bài đơn giản nhưng hiệu quả vẫn thấp Kết quả này được thể hiện qua bài kiểm tra học kì I hàng năm, số lượng học sinh làm được bài tập giải phương trình, bất phương trình vô tỉ thường là dưới 10 em Từ đó có thể khẳng định rằng thời lượng luyện tập của bài giải phương trình vô tỉ rất ít cùng với việc lựa chọn bài tập rời rạc, thiếu tính liên kết là chưa hiệu quả

Từ thực tế trên, trong năm học 2017 – 2018 khi thực hiện xây dựng giáo dục môn Toán lớp 10, chúng tôi đã xây dựng 5 tiết cho bài Phương trình quy về bậc nhất, bậc hai trong đó có 2 tiết lí thuyết và 3 tiết bài tập Với thời lượng như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm được khái niệm về phương trình quy về bậc nhất, bậc hai, tiết luyện tập giúp học sinh giải được các dạng phương trình quy

về bậc nhất, bậc hai Đặc biệt là bài toán giải phương trình vô tỉ

Sau khi học xong phần lí thuyết, tôi cũng có khảo sát đối với việc nắm bài và kỹ năng giải toán đối với học sinh, thu được kết quả như sau:

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

10B1 10B2

Biểu đồ so sánh giữa lớp thực nghiệm 10B1 và lớp đối chứng 10B2

Qua bảng thống kê cho ta thấy: chất lượng học tập ở hai lớp thì lớp 10B2

có phần trội hơn

Số lượng học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều do chưa nắm vững được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết

Qua quá trình chấm bài, tôi thấy một số tồn tại đối với học sinh như sau:

- Đa số học sinh nắm được khái niệm về khoảng cách trong không gian

- Đa số học sinh thiếu kĩ năng định hướng về phương pháp trong việc

giải Toán

- Đa số học sinh chưa biết liên hệ giữa bài đã làm với bài tập mới.

- Đa số học sinh thiếu kĩ năng trình bày lời giải.

Từ thực tế đó, đòi hỏi tôi cần có giải pháp cụ thể, tích cực trong việc luyện tập cho học sinh lớp 10B1 nhằm đáp ứng được yêu cầu về mặt kiến thức, kĩ năng

2.3 Các giải pháp thực hiện

- Căn cứ vào nội dung kiến thức của bài toán giải phương trình vô tỉ [2]

- Căn cứ vào thực tiễn giảng dạy của nhà trường, kế hoạch giáo dục nhà trường môn Toán lớp 10[5]

Tôi chia nội dung thành 2 phần dạy cho học sinh vào 2 tiết; trong mỗi tiết có các thí dụ minh họa và bài tập cho học sinh tự rèn luyện về phương pháp tính

Cụ thể như sau:

Tiết 1: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 1 3x1

Hướng dẫn giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương trình

vô nghiệm, nên ta chỉ cần giải phương trình khi 3x  1 0 1

3

x

  Khi đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương.

2

2

1 1

0 3

9

x







Nhận xét: * ( ) ( ) ( ) 02

g x

f x g x

f x g x







 (không cần đặt đk: f x ( ) 0)

* Ở bài toán trên ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ: t 2x1

Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 1 x  1 2 x

Hướng dẫn giải: ĐK: 4 1

2

x

   (*)

pt  x4  1 2 x  1 x  x  4 1 2x2 (1 2 )(1 x  x) 1  x

2

2

1





Đối chiếu đk (*) ta thấy x = 0 thỏa mãn Vậy nghiệm của pt đã cho là x = 0

Nhận xét: Ở phương trình trên ta chuyển 1 x qua vế phải rồi mới bình phương Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 6x2   1 x 1

pt

1

x







Ví dụ 3: Giải phương trình: x x(  1)  x x( 2) 2 x2

Hướng dẫn giải: ĐK:

2

1 (*) 0

x x x









Pt  2x2  x 2 x x2(  1)(x2) 4 x2  2 x x2( 2 x 2) x x(2  1)

4 (x x x 2) x (2x 1)

0

8

x

x







 



(thỏa

(*))

Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:

1) Bài toán trên còn có cách giải như sau:

* x = 0 là một nghiệm của phương trình.

* x 1 pt  x 1 x2 2 x  2 x2  x 2 2 x 1

8

* x 2 pt   x(1 x)  x x(  2) 2 (  x)( x)

8

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0 và x = 9

8

2) Khi biến đổi như trên, chúng ta thường mắc sai lầm khi cho rằng

!

ab  a b Đẳng thức này chỉ đúng khi a b , 0 Nếu a b , 0thì

ab  a b

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 2 3 2x 3

Hướng dẫn giải: pt  2x 3 3 ( 3 x 1)(x 2)(3 x 1 3 x 2) 2 x 3

3

(*)



 



3

2

Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:

a) Khi giải phương trình trên chúng ta thường biến đổi như sau:

2x 3 3 ( x 1)(x 2)( x 1 x 2) 2 x 3 (x 1)(x 2)(2x 3) 0!?

.Phép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta đã thừa nhận phương trình ban đầu có nghiệm Do đó để có được phép biến đổi tương đương thì ta phải đưa về hệ như trên Chẳng hạn ta xét pt sau:

2 2

31 x 31x  1 2 3 1  x ( 13  x  31x) 1 1 x  1 x0

Thay x = 0 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 0 không thỏa mãn.

b) Với dạng tổng quát: 3 a 3b 3 c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức (a b )3a3b33 (ab a b ), ta có phương trình tương đương với hệ:

3

3 0







Giải hệ này ta được nghiệm của phương trình.

Ví dụ 5: Giải phương trình: a) x2  x7 7 (1)

5

x

x  x   (2) Hướng dẫn giải: a)

pt  x  x  x x   x x x x  

7

 



2

2

x

x













Vậy pt đã cho có hai nghiệm: x 2 và 1 29

2

b) pt  5( 4x 1 3x 2) (4 x1) (3 x 2)

5( 4x 1 3x 2) ( 4x 1 3x 2).( 4x 1 3x 2)

2

x



Nhận xét: *Với phương trình (1) ta có thể giải như sau:

Đặt y  x7ta có hệ phương trình:

2 2

7 7





, trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được: ( y x y x )(   1) 0 Giải ra ta tìm được x.

* Dạng tổng quát của pt (1) là: x2  x a a 

*Với pt (2) ta còn có cách giải khác như sau:

(2)

(*) 5

x











Vì VT(*) < 0 (do 2)

3

x  nên (*) vô

nghiệm.

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình:

2

2x mx 3  có hai nghiệm phân biệt.x 1

x pt





 

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm:

Phương trình đã cho có hai nghiệm  (*) có hai nghiệm phân biệt 1

2

4

m





 Vậy m 2 là những giá trị cần tìm

Tiết 2: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1: (F n f x  , với dạng này ta đặt: ( ) 0 tn f x( ) (nếu n chẵn thì phải có điều kiện t 0)và chuyển về phương trình F(t) = 0, giải phương trình này ta tìm

được t  x. Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai:

af x b f x  c

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) x2  x2 11 31 b) (x5)(2 x) 3 x2 3x

Hướng dẫn giải:

a) Đặt: t x2 11,t 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành:

b) pt  x2 3x 3 x23x  10 0 Đặt: t x2 3x , t 0 Pt đã cho trở thành:

2

t  t    t x  x   x  x   x 

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

x  x m  x x m

Hướng dẫn giải: Đặt: t  5 2 x x 2  6 ( x1)2  t [0;6] và

x  x  t

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 2mt m 2 5 0(*)   t m 5 Phương trình đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm t [0; 6], hay:



Dạng 2: [m f x( )  g x( )] 2 n f x g x( ) ( ) n f x[ ( )g x( )] p0

Với dạng này ta đặt: t f x( )  g x( ). Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn được những đại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương trình (bpt) bậc hai đối với t.

Ví dụ 3: Cho phương trình: 3x  6 x m  (3x)(6 x)

a) Giải phương trình khi m 3

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Hướng dẫn giải: Đặt: t  3x  6 x  t2  9 2 (3x)(6 x)(*)

Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 (3x)(6 x) 9 nên từ (*)  3 t 3 2

Phương trình đã cho trở thành:

2

2

9

2

t

t m    t  t  m (1)

a) Với m 3, ta có pt: t2  2t 3 0   thay vào t 3 (*) ta được:

3

6

x

x





b) Phương trình đã cho có nghiệm  (1)có nghiệm t [3;3 2]

Xét hàm số: f t( ) t2 2t 9 với t [3;3 2], ta thấy f t( )là hàm đồng biến

6 f(3) f t( ) f(3 2) 9 6 2, t [3;3 2]

2

Vậy: [6 2 9;3]

2

m  là những giá trị cần tìm

Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh điểm sau:

Nếu hàm số xác định trên D và có tập giá trị là Y thì phương trình f x( )k có

Hướng dẫn giải: ĐK: x 1

Đặt: t  2x 3 x1,t0 t2 3x2 (2x3)(x1) 4(*)

Khi đó phương trình trở thành: t t 2 20 t2  t 20 0  t 5

Thay t 5vào (*) ta được: 21 3 x2 2x2 5x3

x

  



 

x

  



 



3

x

  là nghiệm của phương trình đã cho

Dạng 3: (F n f x( ),n g x  , trong đó ( )) 0 f x( )là một pt đẳng cấp bậc k.

Với dạng này ta xét hai trường hợp:

TH 1: g x ( ) 0 xét trực tiếp

TH 2: g x ( ) 0chia hai vế phương trình cho g x và đặt k( ) ( )

( )

n f x t

g x

phương trình F t  là phương trình đa thức bậc 1( ) 0 k

Ta thường gặp dạng: ( )a f x b g x ( )c f x g x ( ) ( ) 0.

Ví dụ 5: Giải phương trình: 5 x3 1 2(x2 2)

Giải: x 1 Ta có: Pt 5 (x1)(x2  x1) 2( x2  x1) 2( x1)

    (Do x2  x 1 0,x)

1

x



  , ta có pt: 2

2

2

t

t







 



1

x



2

x

Chú ý: Trong nhiều bài toán, ta có thể đưa vào những ẩn phụ khác để làm đơn

giản hình thức bài toán và từ đó dễ dàng tìm được lời giải Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải phương trình: x2 2x  2x 1 3x2 4x1

Hướng dẫn giải: Đặt: a x2 2 ,x b 2x 1 3x2 4x 1 3a2  b2

Phương trình trở thành:

2 2 2 2

a b  a  b  a  ab b 

2

Giải phương trình này ta được nghiệm 1 5

2

x  và đây là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 4

3 x 1m x 1 2 x  1

Hướng dẫn giải: ĐK: x 1

*x 1 là nghiệm phương trình  m0

* x 1, chia hai vế phương trình cho 4 x  ta được: 2 1 4 1 4 1

m

x



2

t

Phương trình đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm t (0;1)

Vì 1 3 2 2 1, (0;1) (*)

       có nghiệm t (0;1)

3

m

   là giá trị cần tìm

Qua ví dụ trên ta thấy việc đặt biểu thức nào bằng ẩn phụ là mấu chốt của bài toán Để chọn được biểu thức đặt ẩn phụ thích hợp thì sau khi đặt ta phải biểu diễn được các biểu thức chứa x khác trong phương trình, bất phương trình đã cho qua ẩn phụ vừa đặt Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp chúng ta không thể biểu diễn được hết các biểu thức chứa x có mặt trong phương trình, bất phương trình qua ẩn phụ được Đối với loại này ta xét dạng sau đây:

Dạng 4: ( )a f x g x( ) f x( ) h x( ) 0. Với phương trình dạng này ta có thể

đặt t f x( ), khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at2 g x t h x( )  ( ) 0 Ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (tức là trong phương trình vừa có

t, vừa có x) nên ta gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để.

Ví dụ 8: Giải phương trình: 2(1 x x) 2 2x 1x2  2x 1

Hướng dẫn giải: Đặt: t  x2 2x 1, ta được pt: t2  2(1 x t)  4x0 Đây là

*t  2 x2 2x 1 2  x2 2x 5 0  x 1 6.

x





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x  1 6

Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 2 2 1

Hướng dẫn giải: ĐK: 0 x 1

Để giải phương trình này thì rõ ràng ta phải loại bỏ căn thức Có những cách

nào để loại bỏ căn thức? Điều đầu tiên là ta nghĩ đến bình phương hai vế Vì

hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bình phương hai vế ta thu

được phương trình tương đương.

2

2

2

2

2

VN

x x







Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: x = 0 và x = 1

Qua lời giải trên, ta thấy được x x 2 biểu diễn được qua x  1 x nhờ

vào đẳng thức  x  1 x2  1 2 x x 2 (*) Cụ thể, nếu ta đặt

1

2

t

x x   và khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn là t:

2

1

2 3

t t

t







 Vậy ta có:

2

1

x VN





Việc thay thế biểu thức x  1 x bằng một ẩn mới là t (ẩn phụ) là một suy

nghĩ hoàn toàn tự nhiên Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta phải

tìm được mối liên hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình, trong

trường hợp này đó là đẳng thức (*).

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng

nghiệp và nhà trường

Trong năm học 2017 – 2018 vừa qua, được sự góp ý xây dựng của Tổ bộ

môn, được sự đồng ý của Ban chuyên môn nhà trường, tôi đã áp dụng việc dạy

học tại lớp 10B1 tiết bài tập phương trình quy về bậc nhất, bậc hai (đã trình bày