Đề tài Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

Lý do chọn đề tài Ta đã biết rằng các bài toán về giải phương trình và bất phương trình thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học và nó cũng thường gây khó khăn đối với học si[r]

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng

2

3

: 2011

4 Tác

2= và tên : >? @ Trang A: sinh : 1985

Trình G chuyên môn : H nhân Toán H ' công tác: Giáo viên 7 toán

FL $ : 0977768756

5

2= và tên : A: sinh :

Trình G chuyên môn : H ' công tác:

A# làm 'L : F@ M liên L :

FL $ :

6

Tên

FL $ : 03503871173

I Lý do chọn đề tài

Ta

hai thì

này cho

phát $% cho = sinh SD !e )$ $" duy " khái quát hoá, $" duy hàm, $" duy phân tích

phù

II Nội dung nghiên cứu

+

+

1.Giải phương trình

Khi

các

( ) k

f x 

Chứng minh

Xét f x( ) là hàm

có hai ( ) 0

f x  x x x1; 2( 1x2)

Nên f x( )1  f x( 2)k

Do hàm V f x( ) là hàm x1  x2 f x( )1  f x( 2) mâu $Dd 'W

f x  f x 

là hàm ( )

f x

Tính f x( ) là hàm

f u( ) f v( ), u v, (a;b) u v

Chứng minh

Xét f x( ) là hàm

j nhiên)

( ) ( )

u  v f u  f v

Ta f u( ) f v( ) u v

J  u v,không uv

Do hàm V f x( ) là hàm f u( ) f v( )

'`7 f u( ) f v( ), u v, (a;b) u v

là hàm ( )

f x

( ; )a b f x( )g x( )

Chứng minh

Ta có: f x( )g x( ) f x( )g x( )0 Xét hàm V h x( ) f x( )g x( ) trên ( ; )a b Khi U h x( ) là hàm ( ; )a b

Theo tính h x( )0 có

) ( )

( )

(

D m m h

x

f

Ví

3x   1 x log (1 2 ).3  x (6.3)

J :

FSD L  1

2

x

F\$ y log (1 2 )3  x  1 2x 3 y

Ta có (6.3)3x   x 1 2xlog (1 2 )3  x 3x   x y 3 y (6.4)

Xét hàm V f t( ) 3t t trên R Có f t 3t.ln310tR

Nên hàm V f t( ) là hàm

Khi U (6.4) f x( ) f y( )   x y x log (1 2 )3  x 3x 2x  1 0

2

x

'( ) 3 ln 3 2, ''( ) (3 ln 3) 0,

2

là hàm

'( )

g x



'(2) 9 ln 3 2 0, '(0) ln 3 2 0

có '( ) 0

g x

Ta có

'( )

( )

g x

( )

g 

có ( ) 0

g x  /\$ khác g(0)g(1)0

Ví

x  x   x x  x   x

J 

FSD L

J (6.5):

(6.5) luôn 0

x 

x   x   x x     x x

0

x

 

x

 A

J (6.6):

(6.6) luôn 1

x  

x    x     x x  x   x x  x

0

x

x

 A

 2        2     

Xét hàm V   2   

2

f t

/\$ khác 2       2        

2 t t 1 2t 1 (2t 1) 3 2t 1 2t 1 2t 1 0

>`7 f t'( ) 0 t  hàm V f t( ) luôn R.

Khi U (6.7) f x( ) f x(    1) x x 1 (vô

Ví dụ 3:J pt

x  x 5 x 7 x 16 14

J 

FSD kiên: x 5

Xét hàm V f x( ) x  x 5 x  7 x 16 trên x 5

Hàm V f x( ) (5;)

Có f(9)    3 2 4 5 14 f x( ) f(9) x 9

9

x

Ví dụ 4: J pt:

log (3log (3x 1))x

J  F\$ log (32 1), 1

3

Ta có L pt:   



2

2

log (3 1) log (3 1)

log (3x 1) x log (3y 1) y (6.8)

Xét hàm V ( )log (32  1) , 1

3



t

Hàm V f t( ) là hàm ( ;1 )

3

(6.8) f x( ) f y( ) x y x log (3x 1) 2x 3x 1 0

Xét hàm V g x( )2x 3x1, '( )g x 2 ln 2x 3

Ta có : '( )  0 0 log (2 3 )

ln 2

Mà g x'( )  0 x x g x0, '( )  0 x x0

Nên hàm V g x( ) (;x0), (;x0)

Do U pt g x( )0 có không quá 2 R

Mà g(0)g(1)0 x 1 là

cho

Ví dụ 5: J pt:

1

7

7x 6 log (6x 5) 5

J 

FSD L 5

6

x

F\$ log (67 x  5) y 1







 



1

1

7 6 5 (6.16)

y

x

x y

7y 7x 6x 6y 7x 6x 7y 6 (6.17)y

Xét hàm V ( ) 7 1 6 , 5 Cã

6

t

f t    t t   1     5 

'( ) 7 ln 7 6 0, ( ; )

6

t

là hàm

( )

f t

6

(6.17) f x( ) f y( ) x y 7x 6x 5 7x 6x 5 0

Xét hàm V   1   5

6

x

Ta có  1   1 2   5

'( ) 7 ln 7 6, ''( ) (7 ln 7) 0,

6

'( )

g x

6 

Mà '(0)1ln 7 6 0, '(2)7 ln 7 6 0

7

có duy '( ) 0

g x

Ta có

x 5/6 0  2



'( )

g x - 0 +

( )

g x

g( )

Mà, g(0)g(2)0

Do x 0,x 2

Ví dụ 6: Tìm m  pt x2 – 2x = m có

Giải: Xét hàm V f(x) = x2 – 2x

Là hàm

Ta có : maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1

[0 ; 1] [0; 1]

ví

m x x

x

x1 3  ( 1)(3 ) 

J :

F\$ t = x1 3x thì 2  t  2 2

+ Khi U pt $%y thành:

f(x) = t t2m

2 2

2

] 2 2

; 2 [

) ( min f t  

2

] 2 2

; 2 [

) ' ( max f t 

2 2

2

2  m

Ví

m 1x2  1x2 22 1x4  1x2  1x2











J 

FSD L 1x1

F\$ t  1x2  1x2

>W x 1;1 t 0; 2

Pt Q cho $%y thành: mt2t2 t2

2 2 2

 







t

t t m

F\$  

2 2 2

 





t

t t t

f

trên

 t

Ta có:  

 22

4 2











t

t t t

f

f  t 0  [t = - 4t = 0 )

t -4 0 2

 t

f 

0 + 0

f(t) 1

2-1

thì pt 1

1

2  m

2 Giải bất phương trình

( )

thì ()$ pt: f u( ) f v( ), ,u v( ; )a b  u v

FV 'W ()$ pt  tham V

1 f(x)  h(m) có

<=>   max f(x)

D m

2 f(x)  h(m)

<=>   min f(x)

D m

3

<=>   max f(x)

D m

4 h(m) > f(x) có   min f(x)

D m

5

<=>   max f(x)

D m

6

<=> h m min f(x)

Ví dụ 9: J ()$ pt sau:

    2     (6.20)

7x 7 7x 6 2 49x 7x 12 181x 14 x

( ĐHAN - 2001 )

J 

FSD L  6

7

x

Ta có (6.20)     2      

( 7x 7 7x 6 ) ( 7x 7 7x 6 ) 182 0

 7x  7 7x 6 130 (6.21)

Xét hàm V f x( ) 7x 7 7x  6 13 trên [ ;6 )

7

7

2 7 7 2 7 6

Do U hàm V f x( ) ( ;6 )

7

Mà f(6)  0 x 6 là f x( )0

Khi U (6.21)  f x( ) f(6) x 6

6

6

7 x

Ví dụ 10: J ()$ pt sau:

(6.22)

J 

FSD L 1 x 3

Ta có  2      2    

(6.22) x 2x 3 x 1 x 6x 1 3 x

  2      2    (6.23)

(x 1) 2 x 1 (3 x) 2 3 x

Xét hàm V f t( ) t2  2 t trên [0;2].

2

1

2 2

t

t t

 Hàm V f t( )

(6.23) f x(  1) f(3x)     x 1 3 x x 2

T (2;3]

Ví

x1 4x m. (*)

J 

FSD L -1 x 4

F\$ f x  x1 4x

4

; 1 max f x m





Ta có:   0,  1;4

4 2

1 1

2









x x

x

f

4

; 1



m

Ví dụ 12: Tìm SD L  m  pt mx4 – 4x + m  0

J :

1 4

4

x g x

x



 Xét hàm V

g(x) = ; Ta có :

1 4

4



x

R

Do

m  maxg(x)4 27

R

Ví

5 ) 2

2 ( 4 log 4 2

2 2

log x  xm x  xm 

J 

FSD L (x22xm)  1

4 log 4 2

2 2 log x  xm  x  xm 

F\$ t = ( 2 2 ) 5; 0

4 log x  xm  t z)$ pt $%y thành : t2 + 4t – 5  0  - 5  t  t

Suy ra : 0 ( 2 2 ) 1

4

 {)



m x

x

m x

x













4 2

1 2

2 2

y

m x

x

m x

x













4 ) 2 2 ( ] 2

; 0 [max

1 ) 2 2 ( ] 2

; 0 [min

 (Xem hình bên)

m

m











4 0

1 1

 2  m  4 0 2 x

-1

Các bài toán tự giải

Bài 2 J pt: 3 + 5 = -6x + 2; x x

Bài 3 J pt: x 5  log5x x;

4 3 log Bài 4: Tìm các giá

4 2x  2x 2 4 6 x 2 6 x m jF2 ]V A-2008)

Bài 5 Tìm các giá

4 2

1 2

1 1

3 x m x  x 

jF2 ]V A-2007)

Bài 6 Tìm m  ()$ pt x -2x 3 |x - 2| - m - 20m 0 có 2 [0;3]

III Kết luận:

1

trình và

2

3 Qua

4

Bên

Kính mong

Tôi xin chân thành   #‚

>? @ Trang

Hƒ QUAN FƒA >…

ÁP p‡AJ SÁNG ]ˆ‰A (xác

(Ký tên, jV phòng Jp1Fk PHÒNG Jp1F (xác

(Ký tên,

32‡ ,‡H

1 Danh  sách tham   :

+ Sách giáo khoa

+ Sách rèn

+ Phân

KW! 12 – NXB – F2 QG HN

+ Giáo trình

+

1 .Giải phương trình

Khi

các

( ) k

f x 

Chứng minh

Xét f x( ) hàm

có hai ( )

f...

f(t)

2-1

pt

1

2  m

2 Giải bất phương trình

( )

thì ()$ pt: f u( ) f v( ), ,u v(...

Do hàm V f x( ) hàm x1  x2 f x( )1  f x( 2) mâu $Dd ''W

f x  f x 

hàm