O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Chứng minh rằng: OC ⊥ HK.. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AHB, AHC.. a Chứng minh AI vuông góc vớ
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO
HUYỆN BUÔN ĐÔN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm): Chứng minh rằng:
2 11 3 9
6 2 5 ) 6 20 49 )(
6 2 5 ( 5 12 29 3 5
−
−
− +
=
−
−
−
Câu 2 (4 điểm): Với x, y là số dương thỏa mản: ( xy + ( 1 +x2 )( 1 +y2 ) )2 = 2000 tính giá trị của biểu thức S = x 1 +y2 + y 1 +x2
Câu 3 (4 điểm): Giải các phương trình sau:
a) (x+ 12) ( x+6) ( x + 4) ( x+ 2) = 165x2
b) 3x2 +21x +16 +2 x2 + 7x+ 7 = 0
Câu 4 (2 điểm): Cho ba số thực a, b, c Chứng minh rằng:
4
2
a
+ b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc
Câu 5 (4 điểm): Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác ABC O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: OC ⊥ HK
Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I, J, K lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AHB, AHC
a) Chứng minh AI vuông góc với JK
b) Chứng minh tứ giác BJKC nội tiếp đường tròn
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GỈOI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Môn: TOÁN
Câu 1 (2 điểm):
Biến đổi vế trái:
1 1 5 5 5
12 29 3 5 VT
) 1 5 ( 5 2 6 5 12 29 3
) 3 5 2 ( 5 12 29
2 2
= +
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
−
Biến đổi vế phải:
Ta có: 2
2
) 6 2 5 ( 6 20 49
) 2 3 ( 6 2 5
−
=
−
−
=
−
⇒ Tử số =(5 + 2 6)(5 − 2 6)(5 − 2 6)( 3 − 2)
( )( ) ( ) ( )
1 2 11 3 9
2 11 3 9 VP
2 11 3 9 2 3 2
3 2 3 24
=
−
−
=
⇒
−
=
−
=
−
−
−
=
Vậy
2 11 3 9
6 2 5 ) 6 20 49 )(
6 2 5 ( 5 12 29 3 5
−
−
− +
=
−
−
−
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ
0,25đ
Câu 2 (4 điểm):
Ta có:
2000 = (xy + (1+x2)(1+y2))2
= x2y2 + 2 xy (1+x2)(1+y2)+ 1 +y2+x2 +x2y2 (1đ) = x2(y2+1) +2xy (1+x2)(1+y2) + y2(x2+1) +1 (1,5đ) = (x y2+1 + y 1 x+ 2 )2 +1 (0,5đ)
⇒ (x y2+1 + y 1 x+ 2 )2 = 1999 (0,5đ)
⇒ S = 1999 (0,5đ)
Câu 3 (4 điểm):
a) (x+ 12) ( x+6) ( x + 4) ( x+ 2) = 165x2
⇔ [(x+ 12 )(x+ 2 )] [(x+ 6 )(x+ 4 )] - 165x2 = 0
⇔(x2 + 2x+ 12x+24)(x2 +4x+6x+24) – 165x2 = 0 (0,25đ)
⇔(x2 +24 +14x)(x2+24 +10x) - 165x2 = 0
⇔(x2 +24+ 12x + 2x )(x2 +24+ 12 x -2x) -165x2 = 0 (0,25đ)
⇔(x2 +24+ 12x )2 –(2x)2 - 165x2 = 0 (0,25đ)
⇔(x2 +24+ 12x )2 - 169x2 = 0 (0,25đ)
⇔(x2 +24+ 12x )2 - (13x)2 = 0 (0,25đ)
⇔ ( x2 +24+ 12x +13x)(x2 +24+ 12x -13x) = 0
Trang 3⇔( x2 +25x+24)(x2 -x + 24) = 0
⇔(x2 +24x+ x+ 24)( x2 - 2
2
1
x +
4
1
+
4
95
) = 0 (0,25đ)
⇔ [x(x+ 24 ) + (x+ 24 )] − + 4
95 ) 2
1 (x 2 = 0
⇔(x+24)(x+1) − + 4
95 ) 2
1 (x 2 = 0 (0,25đ)
⇔
= +
−
= +
= +
0 4
95 ) 2
1 (
0 1 0 24
2
x
x
x
⇔
−
=
−
=
vn x
x
1
24
(0,25đ)
b) Điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0 (0,25đ)
Đặt x2 + 7x+ 7 =y≥ 0⇒ x2+7x + 7 = y2 (0,25đ)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
3y2 +2y –5 =0
−=
=
⇔
= +
−
⇔
) ( 3 5
1 0 )5 3 )(
1 (
loai y
y y
Với y = 1 ta có:
−
=
−
=
⇔
= + +
⇔
= + +
⇔
= +
+
6
1 0
)6 )(
1 ( 0 6 7 1
7
2
x
x x
x x
x x
Câu 4 (2 điểm):
Xét hiệu: ( 4
2
a
+ b2 + c2) - (ab – ac + 2bc) (0,25đ)
= 4
2
a
+ b2 + c2 – ab + ac – 2bc (0,25đ)
= 4
2
a
- ( ab – ac) + (b2 – 2ab + c2) (0,25đ)
2
) ( ) ( 2 2
a a
− +
−
−
0 ) 2
( − + 2 ≥
Vậy: a b c ab ac 2ab
4
2 2 2
+
−
≥ +
Câu 5 (4 điểm):
Kẻ tiếp tuyến Cx với (0) ta có: ( 0,5đ)
∧
B(cùng chắn cung AC) (*) (0,5đ) Xét tứ giác AKHB ta có:
∧
AKB = ∧
AHB = 900
Suy ra tứ giác AKHB nội tiếp (0,5đ)
x
H K
O C
B
Trang 4D H
K J
I
C B
A
Suy ra B∧ + AKH∧ = 1800 (1) ( Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp)
(0,5đ) Mặt khác ta có: CKH∧ + AKH∧ = 1800 (kề bù) (2)
Từ (1)và (2) suy ra ∧
B = ∧
CKH (3) (0,5đ)
Từ (*) và (3) suy ra ACx∧ = CKH∧ (0,5đ)
Mà Cx ⊥OC (vì Cx là tiếp tuyến của đường tròn (0) )
Suy ra KH ⊥OC suy ra Đcpcm (0,5đ)
Câu 6 (4 điểm):
- Vẽ hình và lập Gt, Kl đúng
a)
- ∆ AECcó góc ngoài
E
Cˆ A C
Aˆ K B
Eˆ
- Có: B AˆE = B AˆH + K AˆH
mà KAˆC=KAˆH ;
H
Aˆ B B
Cˆ
ABE E
Aˆ B B
Eˆ
có BJ
là phân giác ⇒ BJ ⊥ AE
Chứng minh tương tự có CI ⊥AD
- Tam giác AJK có I là trực tâm ⇒ AI ⊥ JK
b)
Cộng góc, suy ra được: I KˆJ = C BˆI ⇒ C BˆJ + J KˆC = 180 o
Suy ra BJKC nội tiếp
0,5đ 0,25đ 0,25đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ
