Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.. Câu 4: 4 điểm Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định.. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm h
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
-Câu 1: (3 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
A = 9 + 17 − 9 − 17 − 2
Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = 9x2 − 6x+ + 1 9x2 − 30x+ 25
Câu 3: (4 điểm)
Cho hệ phương trình ax + y = 3
4x + ax = -1
a Giải hệ khi a =3
b Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Câu 4: (4 điểm)
Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, còn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB
Câu 5: (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD Lấy một điểm M trên đường chéo BD chiếu lên AB và AD tại
E và F
a Chứng tỏ: CF = DE và CF ⊥DE
Tìm quỹ tích giao điểm N của CF và DE
b Chứng tỏ: CM = EF và CM ⊥EF
c Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BF và DE đồng quy tại một điểm
= = = = = = hết = = = = = =
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1:
( ) ( ( ) )
2
= 17 1 17 1
2
− + − − = 17 1 17 1 2
+ − − − (vì 17 1
> ) 1,0 điểm
Câu 2:
P = 9x2 − 6x+ + 1 9x2 − 30x+ 25
= 3x− + − 1 5 3x ≥ 3x− + − 1 5 3x= 4 (vì A A≥ ) 1,0 điểm Dấu “=” xảy ra ⇔ 3 1 0 3 1 5 1
x
Vậy PMin = 4 5 1
Câu 3:
a Khi a =3 ta có hệ 34x x++3y y==3−1 <=> 4y x==33−(33−x3x) =−1 0,5 điểm
<=> −y5=x3=−−310x <=> x y==23−3x <=> x y==2−3 0,5 điểm
Vậy khi a = 3 hệ phương trình có nghiệm (2;-3) 0,5 điểm
b Xét hệ 4ax x++ay y ==3−1 (I), ta có (I) <=> 4y x=+3a−(3ax−ax)=−1 0,5 điểm
<=> (4 ) 1 3 ( 2 )
) 1 ( 3
a
ax y
−
−
=
−
−
=
0,5 điểm Muốn (I) có nghiệm duy nhất thì 4 −a2 ≠ 0 ⇔ a2 ≠ 4 ⇔ a≠ ± 2 0,5 điểm
Muốn (I) vô nghiệm thì:
0 3 1
0
≠
−
−
=
−
a
a
⇔
1 3
4 2
−
≠
=
a
a
điểm
Trang 3
3 1
2
≠
±
=
a
a
⇔ a= ± 2 0,5 điểm Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là: a≠ ± 2
Điều kiện để hệ vô nghiệm là: a= ± 2
Câu 4:
Gọi thời gian dự định là x (giờ), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) (x, y >0), thì chiều
Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì:
Vận tốc của xe lúc này là: y + 10 (km/h)
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: x – 3 (giờ)
Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1) 0,5 điểm Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì:
Vận tốc của xe lúc này là: y – 10 (km/h)
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: x + 5 (giờ)
Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2) 0,5 điểm
từ (1) và (2) ta có hệ: ( ) ( )
⇔ − + − =
− =
⇔ − + =
0,5 điểm
y
− =
⇔ =
15 40
x y
=
⇔ =
Giải hệ phương trình ta được: x = 15; y = 40 0,5 điểm Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ, vận tốc của xe lúc đầu là 40km/h Quãng đường AB có độ dài là: 15 40 = 600 (km) 0,5 điểm
Câu 5:
Vẽ hình
a Chứng minh CF ⊥DE và CE =DE
ta có ∆CDF = ∆DAE ( )c g c ⇒CF DE= 0,5 điểm
Ta cũng có Cµ1=D¶1
mà D NDC¶1+· = 900 => Cµ1+·NDC = 900
=> CND· = 90 0 hay CF ⊥DE 0,5 điểm
Qũy tích của N:
Phần thuận: ta có CND· = 90 0 (câu a)
=> N chạy trên đường tròn đường kính CD
Giới hạn : N ở miền trong của hình vuông ABCD
Trang 4- Khi M ở B thì F ở A, E ở B suy ra CF trùng với CA và DE trùng với DB do đó N ở tại O (tâm của hình vuông)
- Khi M ở D thì F ở D, E ở A suy ra CF trùng với CD và DE trùng với DA do đó N ở tại D
Vậy N chỉ chạy trên 1/4 đường tròn, cung DNO, có đường kính CD 1,0 điểm
Phần đảo: Lấy N thuộc cung phần tư DO ở trên đường tròn đường kính CD ta có
CND= (1)
Gọi E là giao điểm của DN và AB, F là giao điểm của CN và AD Dựng hình chữ nhật AEMF ta chứng minh rằngM∈BD
Từ (1) => Cµ1=D¶1(góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
=> ∆CDF = ∆DAE g c g( ) ⇒ DF AE=
mà FM =AE (vì AEMF là hình chữ nhật)
=> DF=FM <=> ∆FDM vuông cân ⇒FDM· = 45 0 ⇒M DB∈
Vậy quỹ tích của N là 1/4 cung DNO của đường tròn đường kính CD 1,0 điểm
b Chứng tỏ CM =EF và CM ⊥EF
gọi K là giao điểm của FM và CB ta có:CK =DF => CK =FM 0,5 điểm tương tự : MK = ME
Do đó:∆CKM = ∆FME c g c( ) ⇒ CM EF= 0,5 điểm
Ta cũng có: ·KCM =MFE· ⇒ CM ⊥EF 0,5 điểm
c Chứng minh CM, BF, DE đồng quy
Chứng minh tương tự câu a ta có:BF ⊥CE 0,5 điểm Trong ∆CEF ta có CM ⊥EF ; ED CF⊥ ; FB ⊥CE 0,5 điểm
=> CM, ED, FB Là 3 đường cao của tam giác CEFdo đó chúng đồng quy
Vậy CM, BF, DE đồng quy tại một điểm đó là trực tâm của tam giác CEF 0,5 điểm
= = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = =
