Viết phơng trình đờng thẳng AB 2.. Vẽ đồ thị P và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị P sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.. Đờng tiếp tuyến chung gần B của hai đờn
Trang 1Phòng giáo dục Đông hng
Trờng THCS Đông Giang Đề khảo sát tìm nguồn học sinh giỏi
Môn : Toán 9
(Thời gian làm bài 120 Phút)
Bài 1 : ( 4 điểm )
1 Chứng minh rằng nếu a là số nguyên tố lớn hơn 3 thì a2 - 1 chia hết cho
24
2 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
xy - 2x - 3y + 1 = 0
Bài 2 : ( 4,5 điểm ) Cho hàm số y = x2 có đồ thị ( P ) và hai điểm A; B thuộc đồ thị ( P ) có hoành độ lần lợt là -1 và 2.
1 Viết phơng trình đờng thẳng AB
2 Vẽ đồ thị ( P ) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị
(P ) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Bài 3 : ( 1,5 điểm ) Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với các hệ số nguyên Hỏi biệt thức Δ của phơng trình trên có thể bằng một trong hai số 2010 ; 2011 không ? Vì sao?
Bài 4 : ( 4 điểm ) Chứng minh rằng nếu abc 2009và 11120091
c b
một trong ba số phải có một số bằng 2009.
Bài 5: ( 6 điểm )
Cho hai đờng tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B Đờng tiếp tuyến chung gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và D Qua A
kẻ đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o1) và (o2) tại I và K Các đ-ờng thẳng CI ; DK cắt nhau tại H.Chứng minh rằng :
a) Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD
b)Tứ giác HCBD là tứ giác nội tiếp
Phạm Ngọc Quang
Hớng dẫn chấm khảo sát tìm nguồn học sinh giỏi
Môn : Toán 9
Trang 2Bài 1 : (4 điểm )
1 (2điểm) : Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 3 là số lẻ và không chia hết
cho 3 do đó ta có :
*a = 2k +1 ( kZ ; k > 1) =>A = a2-1= (a-1)(a+1) = 2k(2k+2)
=>A = 4k(k+1) ;=>A 8
*a = 3q+1 hoặc a = 3q-1 ( qZ ; q > 1)
+ a = 3q+1 =>A = a2-1= (a-1)(a+1) =3q(3q+2) =>A 8
+ a = 3q- 1 =>A = a2-1= (a-1)(a+1) =3q(3q- 2) =>A 8
Từ đó ta có ( 3,8 ) = 1 => a là số nguyên tố lớn hơn 3 thì a2 - 1 chia hết cho
24
2.(2điểm) : xy - 2x - 3y + 1 = 0 <=> y(x- 3) = 2x-1 (*)
Vì x = 3 không là nghiệm của phơng trình nên
(*) <=>
3
5 2
3
1 2
x
x
Vì yZ nên 5 x- 3 => x- 3 nhận các giá trị 1;5
Từ đó xác định đợc hai nghiệm nguyên dơng (x,y ) của phơng trình đã cho là
(4, 7) ; ( 8,3)
1điểm
1điểm
1điểm
Bài 2 : ( 6 điểm )
1 Vì A; B (P) có phơng trình y = x2 nên A(-1;1); B(2;4)
Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y= ax +b (*) 1 = - a+b
Thay toạ độ của A; B vào (*) ta có : 4 = 2a+b
<=> a = 1
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = x +2 b = 2
2 4 điểm
- Học sinh vẽ đúng ,
- Gọi m là hoành độ của M ta có M(m;m2) với -1 m 2
Gọi C; N; D là hình chiếu của B; M; A Trên trục hoành ta có :
ND = m+1; NC = 2- m ; CD = 3
SAMB=S ABCD- (SAMNB + SBCNM)
2
2 4
2
1 1 2
4
1
.
8
27 8
27 2
1 2
3 2
6 3
m m m
Đẳng thức xẩy ra khi
2
1
m thoả mãn
-1 m 2 =>M (
2
1
;
4
1
) Khi đó tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Bài 3 : ( 4 điểm )
1điểm
1điểm
1điểm
2điểm
1điểm
Trang 3A I
D
H
Bài 3 :
= b2 – 4ac
Do a,b,c Z nên :
+ 4ac chia hết cho 4
- Nếu b chẵn thì b2 chia hết cho 4
- Nếu b lẻ thì b2 chia cho 4 d 1
Vậy = b2 – 4ac hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 d 1 Mà 2010 chia cho 4 d 2 , 2011chia cho 4 d 3 Do đó = b2 – 4ac của PT đã cho không thể bằng một trong hai số 2010; 2011
Bài 4 : CMR nếu a+b+c = 2009 và
2009
1 1 1 1
c b
a Thì một trong các số a,b,c bằng 2009
Bài giải : Từ giả thiết ta có :
c b a c b a
1 1 1 1
1 1 1 1 0
c b a c b
a a+b = 0 c=2009
(a+b)(b+c)(c+a) = 0 b+c = 0 a=2009
c+a= 0 b=2009
Bài 5 : (6 điểm )
y
H
A
K C
I
B
D
Trang 4a, Do IK// CD (GT) nªn C1 = I1 (§ång vÞ )
Do CD lµ tiÕp tuÕn chung nªn
C2 = I1 (Gãc nt , gãc gi÷a tiÕp tuyÕn
cïng ch¾n cung AC )
C1=C2 (1)
Chøng minh t¬ng tù ta cã D1=D2 (2)
Tõ (1) ;(2) => ACH = ADH (g.c.g)
=> CA = CH ; DA = DH
=> DC lµ trung trùc cña AH
=> DC vu«ng gãc AH
b, Tø gi¸c HCBD néi tiÕp
Do ACH = ADH = > CHD = CAD
Ta cã : BCD = BAC (Gãc nt , gãc gi÷a tiÕp tuyÕn
cïng ch¾n cung BC)
BDC = BAD (Gãc nt , gãc gi÷a tiÕp tuyÕn
cïng ch¾n cung BD)
Mµ BCD + BDC + CBD = 1800 (T/c tæng c¸c gãc trong tam gi¸c )
BAC + BAD + CBD = 1800
CAD + CBD = 1800
Mµ CAD = CHD => CHD + CBD = 1800
=> Tø gi¸c HCBD néi tiÕp