Giải tích hàm nâng cao

ðiều ñó chứng tỏ mọi dãy Cauchy trong không gian ñịnh chuẩn H,.. ñều hội tụ tới một phần tử của H,.[r]

Lớp k15d2 – Cao học Toán Giải tích – Tr.ðHSP Hà Nội 2

Nguyễn Văn Xá

Nhóm 5

GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO

ðề bài Chứng minh mọi không gian Hilbert ñều là không gian ñịnh chuẩn

Chứng minh mọi không gian Hilbert ñều là không gian Banach

Bài làm

Giả sử H là một không gian Hilbert trên trường số K (K là ℝ hoặc )ℂ

với tích vô hướng , Theo ñịnh nghĩa tích vô hướng , thì

x, y = y, x , x, y∀ ∈H, nên x, x = x, x , x∀ ∈H, hay x, x ∈ ∀ ∈ℝ, x H Lại có x, x ≥ ∀ ∈0, x H Nghĩa là với mỗi x∈H thì x, x là một số thực không âm Ta ñặt x = x, x , x H.∈ Rõ ràng x ≥ ∀ ∈0, x H, và x = ⇔0

x, x 0 x, x 0 x 0 H

Lấy tuỳ ý x∈ λ∈H, K thì xλ = λ λ.x, x = λ x, xλ = λ λ .x, x

2 x, x x, x x, x x

= λ λ = λ λ = λ = λ Nghĩa là λ = λ.x x với x∀ ∈ ∀λ∈H, K

Theo bất ñẳng thức Cauchy-Schawrt thì x, y 2≤ x, x y, y , x, y H.∀ ∈

Hơn nữa với mọi số a∈K ta luôn có a a 2 a + ≤ Dẫn tới

x, y + x, y ≤2 x, y ≤2 x,x y, y =2 x y , x, y H.∀ ∈ Với mọi x, y∈H thì x+y 2 = x+y, x+y = x, x+y + y, x+ y = x+y, x + x+y, y =

x, x y, x x, y y, y x, x y, x x, y y, y x, x x, y

x, y y, y

x +( x, y + x, y )+ y ≤ x +2 x y + y =

2

( x y )

= + nên x+ ≤y x + y , x, y∀ ∈H

Lop10.com

Vậy ánh xạ : H→ℝ, x֏ x = x, x là một chuẩn trên H, và (H, ) là một không gian ñịnh chuẩn trên K

Ta lại xét ánh xạ d : H2→ℝ, (x, y)֏d(x, y)= −x y Thấy ngay d(x, y)≥ ∀0, x, y∈H, và d(x, y)= ⇔ − = ⇔ − = ∈ ⇔ =0 x y 0 x y 0 H x y

Với mọi x, y∈H thì d(x, y)= − = −x y ( 1).(y−x) = −1 y− =x

y x d(y, x)

= − = Vậy d(x, y)=d(y, x), x, y∀ ∈H

Với mọi x, y, z∈H thì d(x, y)= − =x y (x− + −z) (z y) ≤

x z z y d(x, z) d(z, y)

≤ − + − = + Hay d(x, y) d(x,z) d(z, y), x, y,z H.≤ + ∀ ∈

Vậy d là một mêtric trên H, và (H, d) là không gian mêtric trên K

Theo ñịnh nghĩa không gian Hilbert thì (H, d) là không gian mêtric ñầy

ñủ

Xét dãy Cauchy bất kì { }xn trong không gian ñịnh chuẩn (H, ) Ta có

{ }

m,nlim x x 0 m,nlim d(x , x ) m,nlim x x 0 x

dãy Cauchy trong không gian mêtric ñầy ñủ (H, d) ⇒{ }xn hội tụ (theo mêtric d) tới x0∈H, tức là n 0

nlim d(x , x ) 0

nlim x x

{ }

n

lim d(x , x ) 0 x

→+∞

= = ⇒ hội tụ (theo chuẩn ) ñến x trong không 0 gian ñịnh chuẩn (H, ) ðiều ñó chứng tỏ mọi dãy Cauchy trong không gian

ñịnh chuẩn (H, ) ñều hội tụ tới một phần tử của (H, ) Vậy (H, ) là một

không gian Banach

Lop10.com