Giải tích hàm nâng cao

Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach... Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach... Bài tập 1 Với mọi của không gian định chuẩn E, tồn tại phiếm

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-







g x g x v g

x x v

Ta có

Vì d v M( , ) 0, neân





( z M ,0 r 1) ||v z|| r



r v|| z||

Khi đó | (g v z) | r v|| z||



| ( ) |

|| ||

g v z

v z

Vì r tùy ý, r < 1, nên ||g || 1

||g|| 1

22

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Theo hệ quả 1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E:

và ||F || || g|| 1 ■



|G

F g

  ( x M ) ( )F x g x( )0

Hệ quả 3

Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và

Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,

sao cho

\ : ( , ) inf || || 0

x M

v E M d v M v x 



1 ( x M) ( )F x 0

2 ( ) 1F v 

1

3 || ||

( , )

F

d v M



24

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Chứng minh

Đặt G M v, 

:

g GR

g x v 

Tương tự phần chứng minh hệ quả 3

Bài tập 1

Với mọi của không gian định chuẩn E, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho

1 || || 1F 

2 ( ) || ||F v  v

 0

v

Giải

Sử dụng Hệ quả 2 (slide 19), đặt M = {0}

26

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Giải

Bài tập 2

Cho M là không gian con đóng của không gian định chuẩn E,

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E

sao cho

1 ( ) 1F v 

2 ( x M F x) ( )0



v M

ngoài M, suy ra



v M B v M( , )

 ( , ) 0

d v M

Sử dụng hệ quả 3

0

x y xy

Giải

Sử dụng bài tập 1

Bài tập 3

Cho x và y là hai véctơ khác nhau của không gian định chuẩn

E Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao

cho



F x F y

28

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

( ) , , , m

L M x x x 

Giải

Khi đó L(M) là không gian con đóng của E Sử dụng bài tập 2.

Bài tập 4

Cho họ véctơ của không gian định chuẩn E, véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho



1 ( ) 1F x

{ 1, 2, , m}

M x x x

2 ( x M ) (F x i) 0

Bài tập 6

Cho E là không gian định chuẩn và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E, f khác không Chứng minh rằng siêu phẳng



{x E : ( )f x }

là một tập khác rỗng

Hướng dẫn Sử dụng bài tập 1