Giải tích hàm nâng cao1 ppsx

Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.. ---Định lý Hahn-Banach là một phiếm hàm tuyến tính trên M... Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần

Giải tích hàm nâng cao

12

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Các bước chứng minh

Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau:

(g g, G g) g 

1 1 2

2 (  x D g ) ( )g x g ( )x

2 2

3 ( x D g ) g ( )x ( )x

1 D g D g

Kiểm tra S là tập được sắp một phần

{ | }

S  gG g  f

11

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Định lý Hahn-Banach

là một phiếm hàm tuyến tính trên M

f

Cho X là không gian tuyến tính thực,M - không gian con của X.

Nếutồn tại một hàm dưới tuyến tính  : X R , sao cho

: ( ) ( )

x M f x  x

thìtồn tại một phiếm hàm tuyến tính F X: R, sao cho

1 ( x M F x) ( ) f x( )

2 ( x X) ( )F x ( )x

Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên

của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác

định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g.

Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F.

F là hàm cần tìm.

15

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-cần chọn  sao cho

F

y D

F y  y x   x x F x





vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được 

F xy F x F y  xy

F x F y  x x  y x

F y  y x  x x F x

Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■.

-Cho E và F là hai không gian định chuẩn.

L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.

( f L E F( , )) || f || inf{ : ( ) k f x kx,  x F}

|| ( ) ||

2 || || sup sup|| ( ) || sup|| ( ) ||

|| ||

f x

x

1. Hàm f || f || là một chuẩn trong L(E,F).

Định lý

17

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Hệ quả 1

Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian

con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm

hàm tuyến tínhliên tụcF trên E sao cho

1 |F M f;

2 ||F|| || f ||

Chứng minh

Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn

( x E) ( ) || x  f || || ||  x

2 ( x M) | ( ) | ||f x  f || || || x ( )x

Tồn tại phiếm hàm tuyến tính F E: R, sao cho F|M f và

( x E) |F x( ) |( ) ||x  f || || ||x

Suy ra F(x) liên tục và

|| ( ) || || || || ||

|| || sup sup sup || || || ||

|| || || ||

Mặt khác ( x M F x) ( ) f x( )||F|| || f ||

Vậy ||F|| = ||f||

19

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Hệ quả 2

Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và

Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,

sao cho

\ : ( , ) inf || || 0

x M

v E M d v M v x 



1 ( x M) ( )F x 0

2 ( )F v 

3 ||F || 1

-Chứng minh

Đặt GM v, 

:

g GR

g x v 

0 g x( ) 0

0 : ||x v|| | | ||v ( x) || | |



| (g x  v) | | | ||x  v||

suy ra g lieân tuïc treân G