Giải tích hàm nâng cao1. doc

Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach... Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.. ---Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không gian định chuẩn E

Giải tích hàm nâng cao

31

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Bài tập 7

Cho v là một véctơ của không gian định chuẩn E Chứng minh

rằng



* ,|| || 1

|| || sup | ( ) |

f X f

Hướng dẫn Sử dụngbài tập 1

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Bài tập 8

Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E Chứng

minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định

trên E ta đều có f(x) = f(y) thì x = y.

Hướng dẫn Sử dụngbài tập 1

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không

gian định chuẩn E, là những số thực Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho

Bài tập 10

( k 1,2, ,m F x) ( k) c k

{ 1, 2, , m}

1, 2, , m

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach

-Giải

Tương tự hoàn toàn, ta tìm được

1( ) 2, , m

Xét

1 1 ( , ( )) 0

vì M độc lập tuyến tính nên

*

( f E ) ( )f x 1; (f L )0 Theo hệ quả 3,

 * : ( ) 1;  ( )0; 2,3, ,

Khi đó phiếm hàm cần tìm là

1 1 2 2 m m

f c f c f   c f

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach

-Định nghĩa

H  xE f x R

Mộtsiêu phẳnglà tập hợp có dạng

trong đó f là dạng tuyến tính

Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa:

ví dụ

(1,1,1) 1; (1,0,1) 2; (1,1,0) 1

Khi đó các siêu phẳng là những mặt phẳng

3

H  xR f x R

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach

-Định nghĩa

( 0  1; ,x yC)  x(1)yC

Một tập hợp C trong không gian tuyến tính X được gọi là lồi

nếu

Tập hợp các điểm có dạng:  a(1) ; 0b  1

được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a và b.

Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach

-1) Trong R 3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những tập hợp lồi

ví dụ

2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a, bán kính r là một tập hợp lồi.

Hướng dẫn (x y, B a r( , )) || x(1)y a||

|| (x a) (1 )(y a) || ||x a|| (1 ) ||y a||

 r (1 )r r

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach

-Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E

Định nghĩa

H  xE f x R

nghĩa rộng, nếu

( x A f x) ( )  ( x B f x) ( )

Định nghĩa

H  xE f x R

( x A f x) ( )     ( x B f x) ( ) 

nghĩa chặt, nếu   0 sao cho