tích phân hàm một biến ứng dụng

• Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng thu nhập liên tục này sau T năm là??. • Chú ý[r]

Trang 1

Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

TÍCH PHÂN HÀM MỘT

BIẾN & ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 4

Định nghĩa nguyên hàm

• Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b) Ta nĩi F(x)

là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:

• Ví dụ:

F x  f x  x a b

là một nguyên hàm của

trên

là một nguyên hàm của a trên R.

2

ln





Tích phân bất định

• Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

• Được xác định như sau:

• F(x) là một nguyên hàm của f(x)

• C: hằng số tùy ý

 

f x dx



f x dx  F x C



Tính chất

)

ii k f x dx k f x dx iii f x g x dx f x dx g x dx







Cơng thức nguyên hàm cơ bản

x x







Ví dụ

• Tính các tích phân sau

2

1

.

x x

x

x x

x









Trang 2

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

2 5





Ví dụ

2

1

x





Ví dụ



Tích phân hàm mũ

• Công thức:

• Ví dụ Tính các tích phân sau:

 

1

a



4

0 2

0

I

Ví dụ

• Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi

qua điểm (1;0) và:

• Đáp án:

3

x dy e dx





Ví dụ

1 Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua điểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi điểm

2 Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x Biết chi phí

cố định là 2000$ Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm

Trang 3

Ví dụ

• Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến

dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người

nghe hàng ngày

• Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1

ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người

nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là:

S’(t)=60t1/2người mỗi ngày

• Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu

chiến dịch

• Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát

thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng

lên đến 41.000 người

Ví dụ

• Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi:

• Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá

là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp

• Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$

• Đáp số:

  1, 5 0,01x 3, 44

Phương trình vi phân

• Tăng trưởng giới hạn

• Tăng trưởng không giới hạn

• Khái niệm

• Nghiệm của PTVP là hàm số???

2

x dy

dx



• Bài toán lãi kép liên tục

• Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu

• A là số tiền có được sau thời gian t

• Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t

bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời

gian đó.

• Ta có mô hình:

• R: hằng số phù hợp

 

• Ta có mô hình:

• Mặt khác:

• Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r

và t là thời gian đầu tư.

 

.

A



Trang 4

Luật tăng trưởng theo hàm mũ

• Định lý Nếu = và (0) = 0 thì = 0

• Trong đó:

• Q0: khối lượng tại t=0

• r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối

• t: thời gian

• Q: khối lượng tại thời điểm t

• Chú ý Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ

Phân rã phóng xạ

• Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không đổi trong mô của nó.

• Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng hiện có Tốc độ phân rã là 0,0001238

• Ví dụ Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa

điểm khảo cổ ở Châu Phi Nếu 10% lượng chất phóng xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương (làm tròn đến 100 năm).

Tăng trưởng giới hạn

• Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy …) ta

luôn giả sử có một mức kỹ năng tối đa có thể

đạt được M

• Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu

của mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa

M

• Ta có mô hình

dy

Tăng trưởng giới hạn

• Một cách tương tự ta có:

1 kt

Ví dụ

• Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà

người đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện

tập được xấp xỉ bởi:

• Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?

• Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập

 0,04

So sánh tăng trưởng mũ

Trang 5

Tích phân xác định

• Diện tích dưới đường

cong

• Diện tích phần hình được

tô màu là bao nhiêu?

• Tính xấp xỉ bằng tổng

diện tích hình chữ nhật

Diện tích dưới đường cong

• Tổng bên trái - Left Sum

• Tổng bên phải – Right Sum

• Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5

Nhận xét

• Chia đoạn [1;5] thành

16 đoạn ta có:

• Chia thành 100 đoạn ta

có:

Đánh giá sai số

• Sai số của xấp xỉ: chênh lệch giữa giá trị thực tế

và giá trị xấp xỉ

• Không thể tính được cụ thể nhưng có thể đánh giá được nó

• Ví dụ Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính bằng L16 thì sai số tối đa bao nhiêu?

Định lý

• Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau

• Lấy Lnhoặc Rnđể xấp xỉ diện tích bị chặn bởi

hàm f, trục 0x và 2 đường thẳng x=a; x=b

• Chặn trên của sai số là:

   .b a

f b f a

n



Ví dụ

• Cho hàm số = 9 − 0,25 2

• Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đến x=5

• A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽ các hcn trái, phải trong đoạn [2;5] với n=6

• B) Tính L6; R6và sai số khi xấp xỉ

• C) Để sai số xấp xỉ không quá 0,05 thì n tối thiểu là bao nhiêu?

Trang 6

Tổng tích phân

• Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các

điểm chia như sau:

• Khi này:

1

n

k





Tổng Riemann

• Ta có:

• cklà điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk]

1

k



Một số tổng quan trọng

2

2 3

1

)

2

n

i

n n



  

 

  

 

 



Ví dụ

• Tính tổng Riemann cho hàm số = 3− 6 trên đoạn [0;3] với n=6 và cklà điểm biên bên phải của mỗi đoạn

• Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong trường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổng

đó khi n∞

• Định lý Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b]

khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giới

hạn hữu hạn I khi ∞

• Giới hạn này được gọi là tích phân xác định của

hàm số f(x) trên đoạn [a,b]

• Ký hiệu:

 

b

a

1 lim

k n

k a

 





 

1

n k i

x n







 



Trang 7

Ý nghĩa hình học

• Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ

thị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b

• Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn này tồn tại).

• Khi đĩ ta nĩi hàm f khả tích trên [a,b].

• Một số chú ý.

1 lim

k

n i a

 





Chú ý

 

: dấu tích phân : hàm lấy tích phân

: các cận lấy tích phân : biến độc lập

Tích phân là một số, không phụ thuộc vào

1

,

b

a

n

i i

f x









Ví dụ

• Tính tích phân:

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau

• Lập tổng tích phân với cklà các điểm bên phải.

• Ta cĩ:

b x a

e dx



b a

n



  

 

.

1

.

1 e 1

1

a h a h a n h k

n h

h

f c x f a i h h h e e e

e



        



     

1

h

e



Ví dụ

• Cho n tiến đến vơ cùng ta cĩ:

• Như vậy:

0

1 1

h

e





b

a

e dx  e  e



Ví dụ 2

• Tính diện tích miền cĩ diện tích bằng giới hạn dưới đây (khơng tính giới hạn)

10

1

n n i n n i

i a

i b

 







Trang 8

Ví dụ

• Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổng

Riemann Không tính giới hạn

5

10 6

1

x







Ví dụ

• Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xác định trên khoảng cho trước

2 1

1 2 1

1

) lim ln 1 , 2; 6 cos

) lim , ; 2 ) lim 2 , 1; 8 ) lim 4 3 6 , 0; 2

n

n i n i n

i i n

i i

n i n

n i

x

 

 

 

   

 

  

 

   

   



Tính chất cơ bản

Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó:

• Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b]

• Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b]

Tính chất

• Tính chất cộng Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b].

Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũng khả tích trên các đoạn còn lại và:

• Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một số hữu hạn điểm

f x dx f x dx f x dx

Tính chất

Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b] Ta có:

Hệ quả:

         

b

a b

a

i f x x a b f x dx

ii f x x a b f x dx

iii f x g x x a b f x dx g x dx

    

    

    



   

f x dx f x dx

Tính chất

• Nếu

• thì:

• Ví dụ Chứng minh rằng:

m f x M  x a b

b a

m b a f x dxM b a

2

1 0

1

x

e dx e



Trang 9

Định lý giá trị trung bình

• Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử:

• Khi này tồn tại µ sao cho

• Và:

• Hệ quả Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc

[a;b] sao cho:

mM

b

a

f x dx b a



b

a

f x dx f c b a



Công thức đạo hàm theo cận trên

• Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b] Với a<x<b đặt:

• Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì:

• Hàm ( ) liên tục trên [a;b]

  x  

a

 x f x 

Chứng minh

• Ta có:

• Mặt khác:

• Vậy:

x h x f t dt f t dt f t dt

    

x h

x

f t dt f c h h c h x x h





x h  x f c h h  .    h 0  

f c h f x

   

Công thức Newton - Leibnitz

• Định lý Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là một

nguyên hàm của f(x) thì:

• Tại sao lại thế???

b

b a a



Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường cong

y=1-x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox

• Giải

• Ta có:

2

1

3

x

S  x dx x 

      



Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox

• Giải

• Ta có:

2

1 3

x

S x  dx  x

      



Trang 10

Tích phân hàm đối xứng

• Cho f liên tục trên [-a; a]

   

 

i) Nếu f là hàm chẵn thì:

0 2

0

a

f x f

f x f x

f x dx

x



 



 







Một số ứng dụng của tích phân

• Tính chiều dài của một cung

• Diện tích hình phẳng

• Thể tích khối trịn xoay

• Giá trị trung bình của hàm số

Chiều dài của cung

• Định lý Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dài

của dây cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là:

• Ví dụ Tìm độ dài cung của y2=x3từ điểm (1;1)

đến điểm (4;8)

 2

1 '

b

a

L  f x  dx

1

80 10 13 13 27

Chiều dài của cung

• Định lý Nếu đường cong cĩ phương trình dạng

x=g(y) và g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài của đường cong trên đoạn [c,d] là:

• Ví dụ Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0) đến điểm (1;1)

 2

1 g'

d

c

L   y dy

ln 5 2 5

2 4

• Xung quanh Ox nếu y=f(x) cĩ dấu tùy ý

• Xung quanh Oy nếu x=g(y) cĩ dấu tùy ý

Diện tích mặt trịn xoay

b

a

A  f x  f x dx

d

c

A  g y  g y dy

Ví dụ

1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đường parabol y=x2từ điểm (1;1) đến (2;4)

• A) Quanh trục Oy

• B) Quanh trục Ox 2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R

Trang 11

Giá trị trung bình của hàm số

• Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

• Giá trị trung bình của hàm f là:

 

a

f x dx

ba

Ví dụ

• 1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2trên đoạn [-1;2]

• 2) Cho hàm cầu như sau:

• Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu trong đoạn [40, 60]

• Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$

 

1 100 0,05Q

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Tìm hàm khi biết hàm cận biên Giả sử tìm hàm

chi phí, hàm doanh thu

• Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t)

• Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200

  90 120 27 2

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên

là:

• Giả sử Q=1 thì chi phí là 60 Tìm hàm chi phí

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là:

• Giả sử Q=1 thì R=37 Tìm doanh thu và hàm giá theo sản lượng

Trang 12

• Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4

(triệu đồng) Tìm doanh thu và hàm sản lượng

theo giá

Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 1 Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức

sản lượng Q là MC=8e0,2Qvà chi phí cố định là FC=50 Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả biến

• Ví dụ 2 Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi

mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2 Xác định hàm tổng doanh thu

Xác định quỹ vốn

• Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹ

vốn K là hàm theo biến thời gian t.

• Ta có: I=I(t); K=K(t)

• Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại

thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm

đó)

I(t)=K’(t)

• Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ

vốn như sau:

K t K t dt I t dt

Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 3 Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2(nghìn đô la một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là K(1)=10 (nghìn đô la) Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4 đến tháng 9

Thặng dư tiêu dùng

• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của

người mua.

• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người

bán.

• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp

nhận mua sản phẩm.

• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản

phẩm hay dịch vụ,

• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua

trừ đi mức giá mà họ thực sự trả.

Thặng dư tiêu dùng

• Consumer’s Surplus

• Nếu ( ; ) là điểm trên đường cầu p=D(x) khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá là:

• CS thể hiện tổng tiết kiệm của người tiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớn hơn cho sản phẩm nhưng vẫn mua được sản phẩm ở mức giá

  0

x

CS  D x p dx

 



 

0

1 0

.

x

Q

CS D x dx x p

CS D Q dQ Q P



Trang 13

Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được

trả trừ đi chi phí cho sản phẩm

• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị

trường

Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Nếu ( ; ) là điểm trên đường cung p=D(x) khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá là:

• PS thể hiện tổng tăng thêm của nhà sản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩm

ở mức giá thấp hơn nhưng vẫn bán được sản phẩm ở mức giá

  0

x

PS pS x dx

 



 

0

1 0

.

x

Q

PS x p S x dx

PS Q P S Q dQ

 



Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường

Producer

surplus

Consumer

surplus

Price

Equilibrium

price

Equilibrium quantity

Supply

Demand A

C

B

D

E

Ví dụ

• Cho các hàm cung và hàm cầu:

• Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng

dư của người tiêu dùng

Ví dụ

• Sản lượng cân bằng là nghiệm của pt:

• Thặng dư của nhà sản xuất:

• Thặng dư người tiêu dùng:

18

Q

P





 

3 2 0

18.3 1 2 27

PS  Q  dQ

3

2 0

43 2 18.3

CS  Q dQ

Ví dụ

1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu đảo có phương trình:

2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cung đảo có phương trình:

3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết:

 

1

20 0, 05

 

2 0, 0002

PS Q   Q

Trang 14

Dòng thu nhập liên tục

• Continuous Income Stream

• Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khi

đó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ a

đến b là:

 

b

a

Total Incomef t dt

FV của dòng thu nhập liên tục

• Theo công thức lãi kép liên tục:

• Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng thu nhập liên tục này sau T năm là???

• Chú ý.

– Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định – Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất – Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục.

rt

APe

FV của dòng thu nhập liên tục

• Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục

• Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mức

lãi suất r, ghép lãi liên tục

• Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhập

sau T năm đầu tư là:

 

r T t rT rt

FV f t e  dt e f t e dt

Ví dụ

• Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng

tự động cho bởi:

• Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy.

• A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ khi lắp đặt.

• B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi suất 12% Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận của máy sau 5 năm.

• C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5 năm đầu tư.

  0,04

f t  e

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	404,84 KB