Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân

Năm 2017 2018 2019- Hệ thống câu hỏi trong các mã đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần - Các câu liên quan tới tích phân trong đề thi thường hỏi ở dạng hàm số dưới dấu tích phân làhàm

2.1 Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất 9

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

theo ý kiến của tác giả

1 LỜI GIỚI THIỆU

Bài toán tích phân là một trong những bài toán khá phong phú và đa dạng Các em họcsinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ

Qua thống kê các kỳ thi THPT Quốc gia các năm gần đây Số câu hỏi có nội dung liên

Năm 2017 2018 2019

- Hệ thống câu hỏi trong các mã đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần

- Các câu liên quan tới tích phân trong đề thi thường hỏi ở dạng hàm số dưới dấu tích phân làhàm số ẩn và ứng dụng của tích phân

Thực tế qua giảng dạy tôi nhận thấy đối với những bài toán tích phân mà hàm số dướidấu tích phân cho cụ thể thì đa số học sinh có thể vận dụng kiến thức cơ bản để giải quyết tốtbài toán đó Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân cho dướidạng hàm số ẩn thì nhiều học sinh gặp lúng túng không biết giải quyết bài toán đó như thế

nào Chính vì lí do đó tôi đã nghiên cứu và viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân”

Hy vọng sẽ hướng dẫn học sinh có cách nhìn tốt để chuyển một bài toán lạ về một bàitoán quen thuộc đã biết cách giải Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết vàphương pháp giải các dạng toán Ngoài ra, các em học sinh còn phải biết tư duy, phân tích,vận dụng phương pháp giải một cách khoa học

2 TÊN SÁNG KIẾN

- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

3 TÁC GIẢ VIẾT SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Nguyễn Trung Thành

- Địa chỉ : Trường THPT Yên Lạc

- Số điện thoại: 0988346588

- Email: nguyentrungthanh.c3yenlac@vinhphuc.edu.vn

4 CHỦ ĐẦU TƯ SÁNG KIẾN: Nguyễn Trung Thành

5 LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

- Dành cho học sinh lớp 12 ôn tập thi THPT Quốc Gia

6 NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ

- Ngày 18 tháng 01 năm 2019

7 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

7.1 Nội dung của sáng kiến

- Chương 1: Hệ thống kiến thức cơ bản

1.1 Bảng công thức đạo hàm1.2 Quy tắc tính đạo hàm1.3 Bảng công thức tính nguyên hàm1.4 Định nghĩa tích phân

1.5 Tính chất của tích phân1.6 Phương pháp tính tích phân1.7 Ứng dụng tích phân

- Chương 2: Nội dung

2.1 Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất2.2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số2.3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần2.4 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

2.5 Ứng dụng tích phân tính thể tích2.6 Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác2.7 Bài kiểm tra đánh giá năng lực học sinh

2.7.1 Ma trận đề kiểm tra2.7.2 Nội dung đề kiểm tra2.7.3 Đáp án đề kiểm tra

- Chương 3: Kết quả đạt được và kết luận

3.1 Bài học kinh nghiệm3.2 Kết quả và kết luận

Chương 1: HỆ THỐNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN

2 ' '

sin

u u

u u u

u a



Nhóm 4

'( ) ex  ex

'

( )a x a xln ,a a0,a 1

' '( ) eu  u e u

tancos x dx x C



9) 12

cotsin x dx x C

1.6.1 Phương pháp đổi biến số

Định lí: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn   [ ; ].a b Giả sử hàm số x  (t) có đạo hàm và liêntục trên đoạn [ ; ]   sao cho   ( ) a, ( )   b và a  ( )t b với mọi t [ ; ]  

Bài toán 1: Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi;

đồ thị hàm số y=f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= thì diện tích miền phẳng

H được tính theo công thức ( )

y f x

y 0 H

( )

b a

S f x dx

1.7.2 Thể tích vật thể

1.7.2.1 Thể tích của vật thể

Bài toán: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các

điểm a và b; S x( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm x  a x b   Giả sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b Khi đó, thể tích của

vật thể B được tính theo công thức ( )

b

a

V =òS x dx

1.7.2.2 Thể tích khối tròn xoay

Bài toán: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ), trục Ox và hai

đường thẳng x a = , x b=  a b   quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay.

Khi đó thể tích của nó được tính theo công thức   2

C y f x

C y f x H

V f x dx

a

 ( )

y f x y

Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân trong đề thi THPT QG thì cầnphải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài toán tích phân dựa vào kiến thức cơ bản nhưsau:

Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản

Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp

Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết được

dạng tích thì sẽ dễ dàng biết cách tính Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên tạo thànhthói quen tự đặt cho mình những câu hỏi về hàm số dưới dấu tích phân theo thứ tự như sau:

1. Có phải dạng cơ bản không Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản

2.

Có phân tích, biến đổi đại số, biến đổi

lượng giác,… đưa về dạng cơ bản được

không?

Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp dụngcông thức

3. Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai kháchằng số hoặc chỉ sai khác hệ số của biến

4.

Có thừa số nào hoặc biểu thức nào là đạo

hàm đúng hoặc gần đúng (chỉ sai khác

hệ số) của biểu thức khác trong hàm số

dưới dấu tích phân không?

Dùng phương pháp đổi biến số

5. Có thuộc loại tích phân hữu tỷ không? Dùng phương pháp tích phân các hàmhữu tỷ đã học

6. Có thuộc loại tích phân hàm số lượnggiác không? Dùng phương pháp tích phân các hàmlượng giác đã học

7. Có thuộc loại tích phân các hàm vô tỷ

2.1 TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

1) Định lí dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2

2) Biểu thức chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối      

4) Hàm số y f x    liên tục trên  và tuần hoàn với chu kì T thì

Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn.

Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinh giải bài toántheo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài toán

Ta có: f x    2

4 khi 6 2 2

1+ 4 khi 2 x 2

2 1 khi 2 x 5 3

x

x x

2 '

Câu 5: Cho hàm số y f x   liên tục trên đoạn 3;5 và

có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần

Câu 8: Cho hàm số y  f x   là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R, tuầnhoàn có chu kì là T 6. Biết    

2.2 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Ở phần này tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân mà hàm số dưới dấutích phân so với dạng cơ bản thấy chỉ sai khác ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số hoặc saikhác hằng số hoặc đạo hàm một biểu thức sai khác với biểu thức còn lại một hệ số thì dùng

phương pháp đổi biến số đặt ngay biểu thức đó bằng t để đưa tích phân đó về dạng cơ bản.

a) Đổi biến số loại 1

Bước 1: Đổi biến số đặt x     t  dx   '   t dt

b) Đổi biến số loại 2

Bước 1: Đổi biến số đặt u     t  du   '   t dt

3) Nếu f x   là hàm chẵn và liên tục trên a a;  thì    

f x

dx f x dx m

2

1.2020 10102

0

ln 1 d 1

Câu 4: Cho hàm số f x liên tục trên  và    

Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn   4  2 

1 4

v x

Câu 9: Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 , f x   và f x '   đều nhận giá trị

dương trên đoạn  0;1  và thỏa mãn f   0  2,        

17

19 2

f x  dx

5 2



C 20



D 16



Câu 3 : Biết  

4 1

f x dx 6

5 4

dx x

2 2 1 2

d 1

2.3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

u x v x dx u x v x   u x v x dx

Chú ý:

- Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số khác nhau

- Ý nghĩa: Đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn

- Tích phân hàm ẩn hay xuất hiện biểu thức dạng   f u     ' f u u'  '

Bước 1: Quan sát xem hàm số dưới dấu tích phân là tích của 2 hàm số nào

Bước 2: Đặt một hàm số bằng u và còn lại bằng dv thông thường dựa vào sơ đồ sau

(Để ý hàm số dưới dấu tích phân có thể chứa tích f x g x '     với g x   có thể là hàm đa

thức, hàm lượng giác, hàm mũ, loga nê pe thì đặt dv f x  '   và u g x    )

Lôgarit

Đa thức

Lôgarit nê-pe

. f xd 8

x f x e x

 và f  3 ln 3 Tính  

3 0

Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn  f  1 0,

1 3

x f x dx 

1 0

x f x dx 

3 2

1

3 x f x dx

1 3 0

(2) 16, ( ) 4.

f  f x dx Tính

4 0

Câu 8: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;

I f x dxf x dxf x dxf x dx  f x dx S   S  Chọn A

Câu 2: Biết rằng đường Parabol  P : y2 2x chia đường

tròn  C x: 2y2 8 thành hai phần lần lượt có diện tích

S   S S    2 1

48

Câu 3 : Cho hàm số y  f x   liên tục trên  0;4  và có đồ

thị như hình bên Tích phân  

CDE

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật

có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh trên một

đường chéo là A   1;0  và C a a  ;  với a 0 Biết

rằng đồ thị hàm số y  x chia hình chữ nhật thành hai

phần có diện tích bằng nhau tìm a.

2

Câu 5: Cho hàm số y ax 4bx2c có đồ thị  C , biết rằng

 C đi qua điểm A 1;0  tiếp tuyến d tại A của  C cắt  C tại 2

điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn

bởi d, đồ thị  C và 2 đường thẳng x  0; x  2 có diện tích bằng

28

5 (phần gạch chéo trong hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi d, đồ thị  C và 2 đường thẳng x  1; x  0 có diện tích bằng

Phương trình tiếp tuyến tại A 1;0 là  d : y y ' 1 x 1       4a 2b x 1    

Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra 4a 2b x 1    ax4bx2c * 

Mà x  0, x  2 là nghiệm của (*) suy ra 4a 2b c  1

Câu 6: Cho hàm số y  f x   xác định và liên tục trên đoạn

  3;3  và có đồ thị như hình vẽ Biết rằng diện tích hình

3

S 

6

Câu 2: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol

2

2

x

y  và đường tròn có tâmtại gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 Biết b

.

f x dx

-ò

Câu 4: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên

  1;2  Đồ thị của hàm số y  f x    được cho như hình

bên Diện tích các hình phẳng     K , H lần lượt là 5

y 3x , cung tròn có phương trình y 4 x 2 (với

0 x 2  ) và trục hoành (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích

Câu 8: Cho đường thẳng 3

2

y  x và parabol y x  2  a ( a là tham số thực dương) Gọi

1, 2

S S lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Khi S1  S2thì

a thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 1: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x  và 0 x  biết rằng thiết diện3

của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0   x 3  làmột hình chữ nhật có 2 kích thước là x và 2 9 x 2

Câu 2: Cho vật thể  T giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0;x 2 Cắt vật thể  T bởi mặt

phẳng vuông góc với trục Ox tại x0 x 2 ta thu được thiết diện là một hình vuông cócạnh bằng x1e x Thể tích vật thể  T bằng

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx ln ,x y 0, xe quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Tọa độ giao điểm của đường x e với y x lnx là điểm C(3;3)

Tọa độ giao điểm của đường y x lnx với y 0 là A(1;0)

y x y x quay xung quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Tọa độ giao điểm của hai đường y 4  x2 và 1 2

3

y x là các điểm A ( 3;1) và B( 3;1) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

15

3

3



 Chọn A.

Câu 6: Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai

phần bởi đường cong   P có phương trình 1 2

4

y  x Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ) Tính thể tích V của vật thể tròn

xoay khi cho phần S qua quanh trục Ox

A 64

5

V   B 128

3

5

5

V  

Lời giải:

Thể tích vật thể khi quay hình vuông OABC quanh trục Ox là  4 4 2  64 

Thể tích vật thể khi quay phần gạch sọc quanh Ox là

2 4

Câu 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi 1

4 đường tròn có

bán kính R 2, đường cong y  4  x và trục hoành

(miền tô đậm như hình vẽ) Tính thể tích V của khối tạo

thành khi cho hình H quay quanh trục Ox

Phương trình hoành độ giao điểm: 4  x   0 x  4.

• Thể tích vật thể khi quay phần S1 quanh trục hoành là nửa khối cầu bán kính R  2 nên cóthể tích bằng 1 4 3 2 3 16

Câu 8 : Cho hàm số yf x  ax3bx2cx d a b c d , , , , ,a0 có đồ thị  C Biết rằng

đồ thị  C tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số

 

3 2

Câu 2: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới

hạn bởi các đường tan , 0,

e

V B  

2

12

e V

Câu 6: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y= x2 +1, trục hoành và các đườngthẳng x= 0,x= 1 Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằngbao nhiêu?

Câu 8 : Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng  H xác định bởi các đường

Câu 9 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình H quanh Ox

với H được giới hạn bởi đồ thị hàm số  y 4x x 2 và trục hoành

ĐÁP ÁN

2.6 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Trong mục này ngoài các bài toán ứng dụng tích phân cơ bản đã học Tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài toán ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế khác như: bài toán liên quan đến tính chất vật lý, bài toán liên quan đến chuyển động của một vật, bài toán liên quan đến hình học, bài toán liên quan đến hàm số và một số bài toán liên quan khác.

2.6.1 Phương pháp giải

Bước 1: Căn cứ vào giả thiết bài toán để xác định hàm số

Bước 2: Tìm cách tính theo yêu cầu đưa ra

+ Áp dụng công thức diện tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, hình vuông (nếu cần)+ Áp dụng ( )

Câu 2: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v  km/h 

phụ thuộc thời gian t   h có đồ thị của vận tốc như hình bên.

Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ

thị đó là một phần của đường Parabol có đỉnh I  2;9  với trục đối

xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là

một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đuờng s mà

vật chuyển động trong 4 giờ đó

27

4

.3

Câu 3: Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành

cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường Biết đồ

thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu

diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên Hỏi sau khi

đi được 3 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét?

A 0 m. B 60 m. C 90m. D.

270 m.

Dựa vào đồ thị suy ra    

3

2 0

Vậy khoảng cách giữa hai xe sau 3 giây sẽ bằng: sA sB  90m. Chọn C.

Câu 4: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những

viên gạch hình vuông cạnh 40 (cm) như hình bên Biết rằng người

thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình 2x2  y2 và

4 x  1  y để tạo hoa văn cho viên gạch Diện tích được tô đậm

gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Câu 5: Bạn Linh cần mua một chiếc gương hình dạng đường Parabol bậc 2 (xem hình vẽ).

Biết rằng khoảng cách đoạn AB 60cm OH,  30cm. Diện tích của chiếc gương bạn Linhmua là

A 1000 cm 2 B 1200 cm 2 C 1400 cm 2 D 900 cm 2

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ với Oxy với tia Ox là tia OH, tia Oy là tia OB

Giả sử phương trình parabol yf x  ax2bxc

Dựa vào AB  60cm OH,  30cm