Một số ứng dụng của tích phân hàm một biến số

Một trong số đó thì tích phân là một trongnhững kiến thức khá quen thuộc đối với học sinh Trung học phổthông cũng như sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng.. Trong những năm học Trung h

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trần Thị Thu

- giảng viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Cô đãdành nhiều thời gian đáng quý tận tình hướng dẫn và truyền nhữngkinh nghiệm quý báu cho em trong quá trình em thực hiện khóaluận này

Qua đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc cácthầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, tới gia đình, bạn bè là nhữngngười luôn sát cánh bên em, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, độngviên trong quá trình học tập cũng như khi em thực hiện và hoànchỉnh khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cáchhoàn chỉnh nhất, song do mới bước đầu em làm quen với công tácnghiên cứu khoa học, tiếp cận với nó nên hạn chế về kiến thức vàkinh nghiệm cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định

mà bản thân chưa thấy được Vì vậy, em rất mong nhận được sựgóp ý của các bạn sinh viên và đặc biệt là của các thầy giáo, cô giáođang giảng dạy bộ môn Toán để khóa luận của em được hoàn chỉnhhơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 22 tháng 4 năm 2017

Sinh viênNguyễn Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài do chính em nghiên cứu và tìm hiểu dưới

sự hướng dẫn của Ths Trần Thị Thu - giảng viên khoa Toán

Đề tài được em nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở kế thừa vàphát huy những công trình nghiên cứu có liên quan Kết quả đề tàinày là trung thực, không trùng lặp với đề tài nào khác Nếu sai emxin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 22 tháng 4 năm 2017

Sinh viênNguyễn Thị Nhung

LỜI MỞ ĐẦU 5

1.1 Định nghĩa tích phân 11

1.2 Các tính chất cơ bản của tích phân 13

1.3 Tổng Darboux và các tính chất 14

1.4 Các điều kiện khả tích 15

1.5 Một số kiến thức liên quan 16

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 20 2.1 Ứng dụng của tích phân trong bài toán sơ cấp 20

2.1.1 Ứng dụng để giải các bài toán về dãy số 21

2.1.2 Ứng dụng để giải các bài toán tổ hợp 24

2.1.3 Ứng dụng để giải các bài toán phương trình đại số hoặc phương trình lượng giác 28

2.1.4 Ứng dụng để tìm độ dài đường cong 38

2.1.5 Ứng dụng để giải các bài toán tìm diện tích, thể tích 41

2.2 Ứng dụng của tích phân trong bài toán vật lý 54

2.2.1 Ứng dụng của tích phân trong bài toán chuyển

động của chất điểm 54

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích là ngành Toán học nghiên cứu các khái niệm giới hạn,đạo hàm, tích phân, Một trong số đó thì tích phân là một trongnhững kiến thức khá quen thuộc đối với học sinh Trung học phổthông cũng như sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng Mặc dùvậy, để nắm vững khái niệm, tính chất của tích phân đồng thời ứngdụng được tích phân vào các bài toán trong Giải tích, Vật lý, lại

là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản

Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh đã làmquen với khái niệm tích phân, bước đầu đã biết vận dụng để tínhdiện tích hình phẳng, thể tích vật thể và ứng dụng trong vật lí tìmcông, lực tác dụng của một vật nhưng mới chỉ là những bài toánđơn giản Lên học Toán Đại học, tích phân và ứng dụng của nó ngàycàng được mở rộng trong các bài toán tìm nghiệm phương trình,chứng minh bất đẳng thức, Lúc này để giải quyết các vấn đề đólại là một bài toán khó Nó yêu cầu người học không chỉ nắm vữngvàng về kiến thức cơ bản như định nghĩa, định lí, tính chất mà cònđòi hỏi người học phải có tư duy Toán học phát triển đồng thời biết

sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong đại số vàhình học giải tích để giải toán Và do nhiều học sinh vẫn còn mắcsai lầm trong việc giải các bài toán ứng dụng của tích phân, chưa

biết cách làm một bài toán ứng dụng tích phân, .

Vì vậy, với mong muốn hệ thống tập chung, phân loại kiến thứcđặc biệt là bài tập ứng dụng của tích phân nhằm đem lại cho họcsinh, sinh viên trong quá trình học tập và nghiên cứu về tích phânhàm một biến số, em đã lựa chọn đề tài: "Một số ứng dụng của tíchphân hàm một biến số" cho khóa luận tốt nghiệp của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến khái niệm,tính chất và một số định lí liên quan để rút ra phương phápgiải cho một số bài về tích phân

- Phân loại kiến thức và nêu các dạng bài tập liên quan đến ứngdụng tích phân hàm một biến

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình, tài liệuliên quan tới ứng dụng của tích phân hàm một biến để phân

loại và hệ thống hóa kiến thức.

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: lấy ý kiến giảng viên trựctiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặtnội dung cũng như hình thức của khóa luận

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên ngànhToán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 có mong muốn và tìm hiểuứng dụng của tích phân hàm một biến

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dungchính của khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày cơ sở lí thuyết về định nghĩa, tính chấttích phân và một số định lí liên quan

Chương 2: Một số ứng dụng của tích phân hàm một biến số

Chương này đưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập giúpcho việc giải quyết các bài tập thuận lợi hơn và từ đó nhằm pháttriển tư duy giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến tíchphân và ứng dụng của tích phân xác định

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này em hệ thống lại một số kiến thức cơ bản có liênquan về định nghĩa, định lí, tính chất của tích phân để phục vụcho chương sau Như đã biết, hình học sơ cấp chỉ dạy ta cách tínhdiện tích của những hình phẳng đơn giản như hình chữ nhật, hìnhthang, Vậy với một hình phẳng bất kì thì công thức diện tíchđược tính như thế nào? Để giải quyết vấn đề này ta xét bài toán:Cho hàm số y = f (x) liên tục và

lấy giá trị dương trên đoạn [a, b]

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f (x), trục hoành và hai

đường thẳng x = a, x = b được gọi

là hình thang cong (phần tô đậm

trong hình bên)

Vậy diện tích hình thang cong ABba bằng bao nhiêu?

Lời giải Để giải quyết bài toán này ta phải:

1 Định nghĩa diện tích hình thang cong

2 Tìm cách tính diện tích đó

Để định nghĩa diện tích hình thang cong, ta làm như sau:

Chia đoạn [a, b], đáy của hình thang, thành một số hữu hạn đoạnnhỏ bởi các điểm

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b (1.1)

Ta sẽ gọi mỗi phép chia này là một phép phân hoạch kí hiệu là π.Trên mỗi đoạn ∆k = [xk−1, xk], k = 1, 2, , n ta lấy một điểm bất

kì ξk

Khi hàm số f (x) không đổi trên đoạn ∆k thì trong suốt đoạn này

giá trị của hàm số sẽ là f (ξk) và lúc đó diện tích hình thang cong

con sẽ là

f (ξk)(xk − xk−1)

Trong trường hợp tổng quát, nếu đoạn ∆k rất nhỏ, ta sẽ coi rằng

f (ξk)(xk − xk−1) là giá trị gần đúng của "diện tích" Sk hình thangcong P QSR, nghĩa là

Sk ≈ f (ξk)(xk − xk−1)

Khi đó, nếu kí hiệu S là diện tích của hình thang cong ABba thì

Vì vậy, đương nhiên ta đi đến định nghĩa sau đây:

Diện tích S của hình thang cong ABba là giới hạn của tổng (1.2)khi d(π) → 0 hay

1.1 Định nghĩa tích phân

Cho hàm số y = f (x), xác định trên đoạn [a, b]

Để xây dựng định nghĩa tích phân của một hàm số trên một đoạn

ta tiến hành như sau:

Định nghĩa 1.1 Chia đoạn [a, b] thành những đoạn nhỏ bởi cácđiểm

Ta sẽ nói rằng tổng σπ dần tới giới hạn I khi d(π) → 0 nếu:

Với mỗi số ε > 0 cho trước nhỏ tùy ý, bao giờ cũng tồn tại số δ > 0sao cho với mọi phép phân hoạch π mà d(π) < δ và với mọi cáchchọn các điểm ξk ta đều có:

|σπ− I| =

Nhận xét 1.2 Cách xây dựng định nghĩa tích phân như trên hoàntoàn độc lập với khái niệm nguyên hàm đã biết và sau này hai nhàtoán học Newton - Leibniz đã đưa ra công thức liên hệ giữa tíchphân xác định và nguyên hàm đó là công thức Newton - Leibniz.Công thức này không những là công thức chính để tính tích phânxác định mà còn được dùng làm định nghĩa trong sách giáo khoaĐại số 12 để cho đơn giản và gần gũi với học sinh

Định nghĩa 1.2 (Công thức Newton - Leibniz)

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K.Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a)

được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

1.2 Các tính chất cơ bản của tích phân

Giả sử hàm số f (x), g(x) xác định, liên tục trên đoạn [a, b] Khi

đó, theo định nghĩa tích phân ta chứng minh được các tính chấtsau:

(tính chất thuần nhất của tích phân)

Kết hợp iii) và iv) ta có tính chất tuyến tính của tích phân

vi) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ta có:

viii) Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a, b], (a ≤ b), thì |f | cũngkhả tích trên đoạn đó và

... data-page="22">

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

Sau hệ thống lại số kiến thức liên quan trongchương em sâu tìm hiểu ứng dụng tích phân hàm mộtbiến số số lĩnh...

2.1 Ứng dụng tích phân toán sơ

cấp

Đầu tiên, em quan tâm đến ứng dụng tích phân cácbài tốn dãy số Dãy số, đặc biệt phần tính tổng dãy số phầnkiến thức... tổ hợp, số hạng chứa cácphân số 1;1

sử dụng tích phân Khi đó, ta thực theo bước sau:

Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với cận thích hợp

Bước 2: Tính tích phân theo