3 Ví dụ 2.1.2:Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 4,5 triệu đồng / quý, và kể
Trang 1PHÂN HÀM MỘT BIẾN
I Ôn tập cơ sở toán
1.1 Cấp số cộng
Định nghĩa: Dãy số, , … , được gọi là
cấp số cộngnếu
d
là hằng số khác 0, được gọi làcông sai
Tính chất: 2
1
Số hạng tổng quát:
Tổng
⋯
2
2
Ví dụ 2.1.1:
a Cho dãy số 5, 10, 15,…
Tìm số hạng thứ 4 và thứ 6; và tổng đến số hạng
thứ 8
b Cho dãy số gồm các số nguyên dương lẻ: từ
35 đến 73
3
Ví dụ 2.1.2:Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công
ty là 4,5 triệu đồng / quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ty
4
Ví dụ 2.1.3: Bạn vay của ngân hàng UDB vào đầu tháng
1/2007 số tiền 12.000 đô-la với lãi suất 12% năm (tức 1%
tháng) Hợp đồng vay có các điều khoản như sau:
Thời gian vay: 12 tháng
Nợ gốc trả đều hàng tháng
Tiền lãi trả vào cuối mỗi tháng, lãi phát sinh được tính
dựa trên số dư nợ và lãi suất.
Hỏi:
a Chênh lệch giữa tiền lãi kì này so với kì trước đó?
b Số tiền lãi sẽ trả vào tháng 5/2007?
c Số tiền lãi sẽ trả vào tháng 9/2007?
d tổng tiền lãi mà bạn phải trả là bao nhiêu?
5
Ví dụ 2.1.4: Bạn có khoản vay ngân hàng và phải
trả trong 5 lần Lần đầu trả 100 triệu đồng, lần 2 trả 80 triệu đồng, lần 3 trả 60 triệu đồng, và cứ thế tiếp tục
a Lần thứ 5 bạn phải trả bao nhiêu?
b Tổng số tiền phải trả là bao nhiêu?
6
Trang 21.2 Cấp số nhân
7
Định nghĩa: Dãy số, , … , được gọi là
, với mọi
là hằng số khác 1, được gọi làcông bội
Tính chất:
Số hạng tổng quát:
Tổng
1
8
Ví dụ 2.1.5: Cho dãy cấp số nhân: 1, 4, 16,…
a Tìm số hạng thứ 6
b Tìm tổng
9
Ví dụ 2.1.6:Giá trị còn lại của một tài sản tại thời điểm cuối mỗi năm bất kì là bằng 70% giá trị tại thời điểm đầu của năm đó
Nếu biết tài sản được mua (giá gốc, giá trị ban đầu) với giá là 500 triệu đồng, hãy tính:
a Giá trị còn lại của tài sản sau 5 năm
b Lập một bảng theo dõi hao mòn và giá trị còn lại cuối mỗi năm
10
Ví dụ 2.1.7: Bạn có một hợp đồng thuê một người mới
vào làm giúp việc nhà Để kích thích tăng năng suất và
cũng để thử việc, bạn hứa sẽ trả lương theo tuần thay vì
trả theo tháng như sau:
Tuần đầu tiên trả 100.000 đồng, từ tuần thứ hai trở đi
sẽ tăng 1,1 lần so với lần kế trước đó
Hỏi:
a Tháng đầu tiên người giúp việc thu nhập bao nhiêu?
b Tháng thứ hai thu nhập bao nhiêu?
c Tháng thứ ba thu nhập bao nhiêu?
d Tuần thứ 6 thu nhập bao nhiêu?
e tổng thu nhập của 3 tháng đầu là bao nhiêu?
1.3 Hàm mũ và hàm Logarithm
1.3.1 Hàm mũ
Một số tính chất:
Nếu có:
$ $;%&
% '
$ $; ! !
% (
%' ( '; ) 1;
% ';
&
' ' $
;
Trang 31.3.2 Hàm Logarithm
Với, ! là số dương ! " 1 Khi đó, Logarithm
cơ số! của là số mũ + mà: !,
Gọi+ là Logarithm cơ số ! của , ta có:
+ log(
Ví dụ 2.1.8:log16 4; log 125 5
Logarithm cơ số 10 được gọi là Logarithm thập
phânlog
Logarithm cơ số 3 được gọi là Logarithm tự
nhiên hay Logarithm Nê-peln 13
Một số tính chất:
log 5 6 log 5 log 6;
log5
6 log 5 log 6;
log 5 7 log 5
Ví dụ 2.1.9:Cholog 4 0,60206; log 5 0,69897
Tínhlog 20; log 1,25; log 16; log 400
14
II Ứng dụng toán trong tài chính
2.1 Một số khái niệm tài chính cơ bản
Tiền lãi/lợi tức(interest): là số tiền có được (hoặc
phải trả) dựa trên việc đầu tư (hoặc được sử dụng)
một lượng tiền ban đầu (vốn) trong một đơn vị thời
gian Kí hiệu:;
Kì hạn/chu kì(tenor): đơn vịthời gian thương mại
được chọn để tính mức tiền lãi: ngày, tháng, quý,
nửa năm, năm Kí hiệu: T
15
Thời gian thương mạiđược quy đổi theongàynhư sau:
Tháng = 30 ngày;
Quý = 90 ngày;
Năm = 360 ngày
FGềI TốI đầX Fư
Kí hiệu: Z %/]
16
Giá trị hiện tại(Present value): giá trị hiện thời của
lượng tiền tệ ứng với mức lãi suất xác định
Kí hiệu:^
Giá trị tương lai (Future value): giá trị tương lai
của lượng tiền tệ ứng với mức lãi suất xác định
Kí hiệu:_
17
2.2 Phương thức lãi đơn
~ tiền lãi sau mỗi kì hạn được rút/tách ra, không
được nhập vào vốn để sinh lãi cho kì hạn sau.
[Tiền lãi được tính theo vốn gốc ban đầu và luôn bằng nhau trong mỗi kì hạn.]
18
Trang 4Gọi: ^: giá trị hiện tại (vốn gốc),
_: giá trị tương lai (vốn gốc và tiền lãi),
Z: lãi suất năm,
;: tiền lãi năm,
Tiền lãi: a b c
Giá trị tương lai của tiền vốn ban đầu sau mỗi kì hạn tạo
thành cấp số cộng với công sai ;.
Tiền lãi sau a d b c d
Giá trị tương lai sau
e b a b b c d b f c d
19
Số hạng được gọi làhệ số tích lũyvới lãi đơn
Ta có:
nên^ g
Số hạng được gọi làhệ số chiết khấu với lãi đơn
20
Ví dụ 2.2.1: Tìm số tiền lãi, biết khoản vay 5.000
triệu đồng thời hạn 90 ngày, với lãi suất 12% năm
a Lãi đơn thông thường (360 ngày trong năm)
b Lãi đơn chính xác (365 ngày trong năm)
21
Ví dụ 2.2.2: Tính số tiền tích lũy của một khoản vay
500 triệu đồng trong thời gian 150 ngày với lãi suất 12% năm
22
Ví dụ 2.2.3: Nhằm đẩy mạnh doanh thu và thu hồi
nhanh các khoản phải thu, công ty Hoàng Hạc đưa ra
chính sách bán hàng “3/15 net 45”, nghĩa là nếu
khách hàng thanh toán trong vòng 15 ngày thì được
hưởng chiết khấu tiền mặt 3%, và thời hạn thanh toán
tối đa cũng chỉ trong vòng 45 ngày
Giả định nếu bạn muốn mua lô hàng có giá trị hóa
đơn là 2.000 triệu đồng
Hãy tính:
a Lãi suất đơn cao nhất mà bạn sẵn lòng đi vay để trả
trong vòng 15 ngày và để nhận chiết khấu tiền mặt
b Bạn sẽ có lợi hơn (hay thiệt đi) bao nhiêu tiền nếu
đi vay tiền với lãi suất 15% để thanh toán vào ngày
thứ 15?
BÀI TẬP
1) Tìm số tiền lãi thông thường cho một khoản vay:
(a) 100 triệu đồng, thời hạn 90 ngày với lãi suất 11%
(b).150 triệu đồng, thời hạn180 ngày với lãi suất 12%
(c) 120 triệu đồng, thời hạn 60 ngày với lãi suất 13%
Trang 52) Công ty A vay nóng số tiền 50 triệu đồng và trả
60 triệu đồng sau một tháng Lãi suất đơn (năm) là
bao nhiêu?
3) Lãi suất đơn hàng năm là bao nhiêu, nếu:
(a) 100 triệu trở thành 150 triệu sau 4 năm
(b) Gấp đôi sau 8 năm
25
4) Cần thời gian bao nhiêu tháng để số tiền đầu tư
100 triệu đồng thành 110 triệu đồng với lãi suất đơn 14%?
5) Tìm giá trị tương lai của một khoản vay:
(a) 100 triệu đồng, thời hạn 45 ngày với lãi suất 12%
(b) 200 triệu đồng, thời hạn 65 ngày với lãi suất 13%
26
6) Vốn gốc là bao nhiêu để trở thành:
(a) 500 triệu đồng, thời hạn 180 ngày với lãi suất đơn
15%
(b) 200 triệu đồng, thời hạn 90 ngày với lãi suất đơn
12%
7) Tìm vốn gốc trong tổng số tiền trả đều hằng tháng:
(a) Vay 100 triệu đồng, lãi suất 12%, trả đều 20 triệu
đồng
(b) Vay 200 triệu đồng, lãi suất 15%, trả đều 40 triệu
đồng
27
2.3 Phương thức lãi kép
~ tiền lãi sau mỗi kì không được rút/tách ra mà phải nhập tiếp vào thành vốn mới để sinh lãi cho
kì hạn sau
[Tiền lãi ở mỗi kì hạn khác nhau và kì hạn sau lớn hơn kì hạn trước.]
28
Giá trị tương lai của tiền vốn ban đầu sau mỗi kì hạn
là tạo thành cấp số nhân với công bội
1 Z,
ở đây, c i
j, k: lãi suất danh nghĩa (năm),
: số kì ghép lãi trong mỗi năm
Giả sử tiền vốn ban đầu là^ Khi đó:
Giá trị tương lai sau
_ ^ 1 Z
Tiền lãi của kì hạn thứ
; ^ l 1 Z 1m
29
Ví dụ 2.2.4: Tính thu nhập tiền lãi theo:
(a) Lãi đơn của 100 triệu đồng trong 2 năm với lãi suất 10%
(b) Lãi kép của 100 triệu đồng trong 2 năm với lãi suất 10% ghép lãi nửa năm
30
Trang 6If £600 is invested for 3 years at 8% interest compounded
annually at the end of each year, what will the final value of the
investment be?
Solution
£ Initial sum invested 600.00
Interest at end of year 1 = 0.08 × 600 48.00
Total sum invested for year 2 648.00
Interest at end of year 2 = 0.08 × 648 51.84
Total sum invested for year 3 699.84
Interest at end of year 3 = 0.08 × 699.84 55.99
Final value of investment 755.83
31
You estimate that you will need £8,000 in 3 years’
time to buy a new car, assuming a reasonable trade-in price for your old car You have £7,000 which you can put into a fixed interest building society account earning 4.5% Will you have enough to buy the car?
32
Ví dụ 2.2.5: Công ty A đầu tư 500 triệu đồng vào
Quỹ đầu tư B trong thời gian 10 năm với hợp đồng
như sau:
Lãi suất 12% ghép lãi nửa năm cho năm đầu tiên
Lãi suất 11% ghép lãi hằng quý cho 3 năm tiếp
theo
Lãi suất 10% ghép lãi hằng tháng cho 2 năm cuối
Vậy, giá trị tích lũy sau 10 năm của công ty A là bao
nhiêu?
33
Interest rates are expected to be 14% for the next 2 years and then fall to 10% for the following 3 years
How much will £2,000 be worth if it is invested for
5 years?
34
Solution
After 2 years the final value of the investment will be
_ ^ 1 k 2,000 1.14 2,000 1.2996
£2,599.20
If this sum is then invested for a further 3 years at the new
interest rate of 10% then the final sum is
_ ^ 1 k 2,599.20 1.1 o 2,599.201.331
£3,459.54 This could have been worked out in one calculation by finding
_ 2,000 1.14 1.1 o £3,459.54
Therefore the formula for the final sum _ that an initial sum ^ will accrue to after and time periods at interest rate k q is
1 k q
Trang 71) If £4,000 is invested at 5% interest for 3 years what will
the final sum be?
2) How much will £200 invested at 12% be worth at the end
of 4 years?
3) A parent invests £6,000 for a 7-year-old child in a fixed
interest scheme which guarantees 8% interest How much
will the child have at the age of 21?
4) If £525 is invested in a deposit account that pays 6%
interest for 6 years, what will the final sum be?
5) What will £24,000 invested at 11% be worth at the end of
5 years?
6) Interest rates are expected to be 10% for the next 3 years
and then to fall to 8% for the following 3 years How much
will an investment of £3,000 be worth at the end of 6 years?
37
Tài liệu tham khảo:
1 Lê Trường Nhật, Bài giảng Toán kinh tế.
2 Nguyễn Tấn Bình, Toán tài chính ứng dụng, NXB Thống
kê, 2007.
3 Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, 2nd , Routledge, 2003.
38