phòng giáo dục thạch thành trờng t h c s thanh an trao đổi kinh nghiệm bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 9 (một phần kiến thức về giải phơng trình nghiệm nguyên) Năm học 2008-2009 Tác giả trịnh phú đa Đơn vị :t h c s THANH AN huyện thạch thành tỉnh thanh hoa mục lục: a)Đặt vấn đề b)Đối tợng nghiên cứu c)Các bớc tiến hành d)Kết quả e)Kết luận chung A)đặt vấn đề Bồi dỡng học sinh giỏi là một trong những nhiệm vụ quan trọng của các nhà tr- ờng phổ thông.trong các môn học đặc biệt là môn toán lớp 9 Trong các thể loại toán lớp 9 thì môn đại số chiếm vai trò quan trọng việc có kỹ năng cơ bản để giải bài tập đại số lớp 9 mới chỉ là điều kiện cần còn có đủ tự tin,bình tĩnh để giải quết các thể loại bài tập nâng cao thì hiện nay học sinh đang rất cần Một trong những thể loại cần đó là yêu cầu giải phơng trình có nghiệm nguyên;nguyên dơng Sau đây tôi trình bày một vài suy nghĩ nhỏ về việc chọn và bồi dỡng cho học sinh kỹ năng giải phơng trình nghiệm nguên ;nguyên dơng mà trong các kỳ thi học sinh hay gặp nhất đ ợc diễn giải ở nhiều hình thức khác nhau Để gúp học sinh nắm đợc phần này nhanh chắc đơng nhiên là các kỹ năng biến đổi đồng nhất phải thành thạo. việc giải ph ơng trình bậc ,bậc haivấcc ph ơng trình đặc biệt nh ph ơng trình giá trị tuyệt đối v v.v.các em phải thành thạo một số kiến thức bổ trợ nh bất đẳng thức cô si cùng các hệ quả các em phải năm vững.đồng thời kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất(đặc biệt là dấu = xảy ra khi nào)các em cũng phải thông t ờng. Biết chọn nghiệm thích hợp và loại nghiệm không thích hợp b)đối t ợng nghiên cứu Học sinh lớp 9 trờng phổ thông cơ sở Thành An Đội tuyển toán lớp 9 của trờng Thành An năm học 2007-2008 c)các b ớc tiến hành 1) Vai trò của thày : Không thày đố mày làm nên đã khẳng vai trò hớng đạo của thày.Xuất phát từ ý nghĩa thực tế này tôi thấy sự nghiên cứu chuẩn bị kỹ của thày không thể thiếu và nó quyết định quá nửa kết quả rèn luyện của thày và trò Thày phải nắm vững các thể loại thờng gặp phân loại từng mức độ từ dễ đến khó(điều này còn đợc kết hợp với kinh nghiệm khai thác sáng tạo một bài toán) 2)Vai trò của trò: Phải nắm vững kỹ năng biến đổi đồng nhất.một số kỹ năng phân tích tổng hợp nhất là kỹ năng xét dấu của tam thức bậc hai dấu của một tích thơng từ một dạng cơ bản phải biết lấy các bài tập cùng dạng ở mức từ dễ đến khó .chịu khó luyện tập Có kỹ năng nhận dạng sử lý các tình huống ,biết khái quát một vấn đề vừa sứcvvv 3)Nội dung phân loại một số dạng toán th ờng gặp (những bài nghiệm nguyên thờng đa dạng phong phú ở đây nh ở đầu đề tài tôi chỉ đề cập đến một số dạng hay gặp nhất) *)Dạng một: Xuất phát từ tìm x z để biểu thức )( )( xB xA z (trong đóbậc của A(x) )(xbacB ) sau khi biến đổi += )( )( )( xC xB xA )(xB k (trong đó k là hằng số) từ đó lập luận )(x Z để phân thức nói trên muốn thuộc Z thì B(x) phải là ớc của k từ đó liệt kê các ớc của k xét lần lợt từng trờng hợp .chọn những nghiệm thích hợp rồi trả lời ví dụ: Tìm x z đểbiểu thức 12 284 2 + x xx có giá trị nguyên Sau khi rút gọn =2x+5+ 12 3 x lúc này chỉ cần liệt kê các ớc của 3 Ư của 3 gồm: -1; 1; -3;3 Có các phơng trình sau: 2x-1=-1 x =0 thoả mãn hoặc 2x-1 =1 x=1 thoả mãn 2x-1 =-3 x=-1 thoả mãn 2x-1 =3 x =2 thoả mãn Rõ ràng với câu hỏi tìm x nguyên để biểu thức nguyên thì chọn tất cả Còn chỉ yêu cầu tìm x z(+) thì phải biết loại những giá trị từ 0 trở xuống Học sinh tự nhận xét và ra các bài tập tơng tự: (Phải chỉ ra đợc bậc của tử lớn hơn cùng lắm thì bằng bậc của mẫu.đặc biệt bậc của mẫu chỉ có thể là một.Một cách nhanh hơn ta cứ lấy hai biểu thức bất kỳ với hệ số nguyên trong đó một là nhị thức ,rồi nhân với nhau ta cộng thêm vào kết quả một hằng số tuỳ ý viết kết quả sau khi cộng làm tử còn nhị thức bậc nhất làm mẫu ta sẽ đợc một đề bài có lời giải đúng) *)Dạng hai: Cơ sở lý thuyết của dạng này là: Một số nguyên bất kỳ luôn là tích của hai số nguyên khác Vậy từ phơng trình:A(x;y)=0 ta làm xuất hiện A )(1 x .A )(2 y = k với k là hằng số thuộc Z .Một cách tổng quát :a x + by + cxy + d = 0 (1) x(a + cy) + c b (a + cy) - c ab + d = 0 ( a + cy)(x + c b ) = c cdab _ (a + cy)(cx + b) = ab cd = k Đến đây ta liệt kê các ớc của k và lập các hệ phơng trình tơng ứng nghĩa là thừa số này nhận ớc thứ nhất thì thừa số thứ hai sẽ nhận ớc còn lạivvvv. khi giải các hệ có thể sẽ có nghiệm phù hợp cũng có thể có những giá trị không phù hợp ta phải loại bỏ Một ví dụ cụ thể: Tìm cặp (x;y) thoả mãn phơng trình sau: 2x + 3y + 4xy + 5 = 0 Ta cứ nhóm hạng tử có hai biến với một trong hai hạng tử có còn lại ví dụ nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba . x( 2 + 4y) + 4 3 ( 2 + 4y) - 2 3 + 5 = 0 đặt nhân tử chung ta có phơng trình tích sau ( 2 + 4y )( x + 4 3 ) = - 2 7 nhân hai vế với 4 ( 1 + 2y )( 4x + 3) = - 7 U )7( = { } 7;7;1;1 Ta có các tình huống sau: =+ =+ =+ =+ 734 121 734 121 x y x y = = = = 2 5 0 1 1 x y x y Hớng dẫn nhận xét sau: ở cặp thứ nhất có x=1 z và y=-1 thuộcz nên cặp này thoả mãn ở cặp thứ hai có y không thuộc z nên cặp này loại Ta đi đến kết luận có cặp( x;y) =(1;-1) thoả mãn phơng trình trên chú ý:cần phải cho các em làm quen với phơng trình vô nghiệm đủ niềm tin bản lĩnh để kết luận vấn đề +)Yêu cầu học sinh tự đặt ra các bài toán rồi tiến hành giải Sau đó ta phát triển dạng toán ở mức độ khó hơn .chia cả hai vế của phơng trình (1)cho xy ta đợc phơng trình có dạng : y a + x b + c + xy d = 0 ở hình thức này học sinh hay gặp nhất đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi của những năm gần đây . hơng dẫn cho học sinh chỉ cần thực việc quy đồng mẫu số và khử mẫu cả hai vế ta lại gặp phơng trình quen thuộc #)Dạng ba: Cơ sở lý thuyết của dạng toán này là xuất phát từ điều kiện tồn tại nghiệm của phơng trình bậc hai: huonglasochinhp 0 Có dạng tổng quát nh sau: a x 2 + bx 2 + cxy + dx + ey + f = 0 để phng trình có nghiệm nguyên điều kiện cần: ngochinhphuolá 0 giải quyết dạng toán này nh sau:ta coi là phơng trình bậc hai đối với biến x thì y đợc coi nh là tham số nh vậy của phơng trình biến x có chứa y.Để là số chính phơng thì biểu thức tính là tam thức bậc hai theo y phải bằng một số chính phơng m 2 ,lúc này lại xuất hiện phơng trình bậc hai theo y lặp lại cách suy luận trên nghĩa là để có y z thì của phơng trình biến y lại phải vừa lớn hơn 0 vừa là số chính phơngvvvvvv cho đến một lúc xuất hiện tích của hai biểu thức bằng một hằng số từ đó giải hệ phơng trình tìm ra nghiệm hoặc xuất hiện sự vô lý ta có quyền kết luận nghiệm Ví dụ: 2x 2 + 3y 2 _ 5xy + 3x _ 2y _ 3 = 0 ta xem đây là phơng trình bậc hai đối với biến x thì phơng trình đợc viết lại nh sau: 2x 2 + ( 3 - 5y )x + 3y 2 - 2y - 3 = 0 để có x nguyên thì điều kiện cần = ( 3 - 5y) 2 - 4.2( 3y 2 - 2y - 3 ) = y 2 - 14y + 33 vì ta coi là chính phơng nên y 2 -14y+33=k 2 với k nguyên không âm lúc này ta có phơng trình bậc hai theo y: y 2 - 14y + 33 - k 2 = 0 để phơng trình có y nguyên thì , = 7 2 - 1.( 33 - k 2 )phải là số chính phơng 49 - 33 + k 2 = 16 + k 2 = n 2 vì vế phải là tổng của hai số không âm nên có ngay n 2 k 2 0 n k 0 Do đó 16 = ( n - k )( k + n ) và dễ thấy n - k 0 và n-k ; n+k có cùng tính chẵn lẻ vì tổng của chúng = 2n .Nh vậy rõ ràng 16 đợc phân tích thành hai thừa số: 8.2 hoặc4.4 Nếu 16=2.8 ta có =+ = 8 2 kn kn = = 3 5 k n (*) Nếu 16=4.4 ta có =+ = 4 4 kn kn = = 0 4 k n (**) Thay (*) vào phơng trình : y 2 - 14y + 33 = 3 2 y 2 - 14y + 24 = 0 có , =25 nên y 1 =12;y 2 =2 Lần lợt thay giá trị y tiếp vào phơng trình đầu tìm đợc cặp x tơng ứng Vậy ta có các cặp ( x = 15 ; y = 12 ) ; ( x = 1 ; y = 2 ) Thay (**)vào phơng trình: y 2 -14y + 33 = 0 có , = 16 nên y 1 =11 ; y 2 = 3 lần lợt thay y vào phơng trình đầu tìm đợc x tơng ứng Vậy ta có các cặp ( x = 13 ; y = 11 ) ; ( x = 3 ; y = 3 ) Ví dụ 2: Tìm cặp x;y z thoả mãn phơng trình sau 6x 2 + 2y 2 - 6xy - 8x - 3y + 168 = 0 ta coi đây là phơng trình bậc hai với biến x nên đợc viết 6x 2 - (3y+4)2x + 2y 2 -3y + 168 = 0 điều kiện cần để có x z là: , = (3y+4) 2 - 6 ( 2y 2 - 3y + 168 ) =9y 2 +24y+16-12y 2 +18y-1008 =-3y 2 +42y-992 Để , là số chính phơng thì -3y 2 +42y-992=m 2 -3y 2 +42y-992-m 2 =0 Lúc này ta lại có phơng trình bậc hai vói biến y.Để phơng trình này có y z thì / =21 2 -3(992+m 2 ) là chính phơng 441-2976-3m 2 =k 2 -2535=3m 2 +k 2 vô lý Vậy không tồn tại cặp x; y thoả mãn phơng trình trên Phần bài tâp : tự ra và luyện giải dới sự dẫn dắt của thày #)Một số dạng bài có tính chất đặc biệt (cơ sở lý thuyết dựa trên phơng trình giá trị tuyệt đối;tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất) @)Ví dụ: tìm thuộc z thoả mãn: 1 x + 2 x =1 (*) Với dạng toán này ngoài cách xét khoảng thông thờng mà các em đã biết cần trang bị cho các em cách làm mới sau cần nhắc lại CT của đó là a + b ba + dấu = xảy ra ab 0 áp dụng: từ (*) ta thấy 1 x + 2 x = 1 x + x 2 xx + 21 = 1 dấu= xảy ra (x - 1)(2 - x) 0 x 1 2 lập bảng xét dấu tìm đợc x x-1 - 0 + + 2-x + + 0 - (x-1)(2-x) - 0 + 0 - vậy 1 x 2 mà x z nên x chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 #)Bài toán phát triển ở mức độ khó hơn: tìm x z thoả mãn 1 x 2003 + 2 x 2004 =1 mấu chốt của vấn đề là cơ số nhỏ hơn 1 và luỹ thừa vậy nên nếu 1 < x < 2 1 x 2003 < 1 x vì x-1<1 và 2 x 2004 < 2 x vì x-2<1 ta cộng vế trái với vế trái vế phải với vế phải đợc 1 x 2003 + 2 x 2004 < 1 x + 2 x =1vô lý nếu x<1 thì 1 x 2003 > 0 còn 2 x >1 2 x 2004 >1 nếu cộng từng vế lại thấy điều vô lý xuất hiện nếu x>2 thì 2 x 2004 >0 còn 1 x >1 1 x 2003 >1 nếu cộng từng vế lại thấy điều vô lý xuất hiện Từ đó rút ra kết luận :x =1; 2 thoả mãn #)H ớng dẫn học sinh ra đề t ơng tự để giải ví dụ tìm x thuộc z thoả mãn: 5 x + 7 x = 2 v .v .v .v(những trờng hợp hai hạng tử cách hai đơn vị thì không thể khái quát đa số mũ vào đợc) D) KếT QUả: +Qua nhiều năm tham gia công việc tập huấn và phụ đạo học sinh giỏi của trờng của huyện tôi thấy: +100% số em nắm đợc dạng toán , biết vận dụng tơng đối thành thạo 80% số em có t duy nhanh còn có khả năng phân biệt và phát triển dạng toán thành những bài toán hay hơn +Những kỳ thi trong đề có dạng toán này dù núp dới hình thức nào 100% các em cũng dành đợc điểm tối đa E)kết luận chung : +Qua nghiên cứu một số tài liệu ôn thi,một số đề thi chọn học sinh giỏi , thi chọn vào các trờng năng khiếu +Qua nghiên cứu các mảng kiến thức trong các chuyên đề B D H S G +Tôi thấy : phạm vi kiến thức tìm giá trị nguyên của biến để B T có giá trị nguyên là một trong những mảng kiến thức hay vừa tầm nhận thức của học sinh . kiểm tra đánh giá đ- ợc năng lực t duy của học sinh một cách chính xác +Là một trong những phạm vi kiến thức rất đáng đợc quan tâm vì rằng từ một bài toán có thể đề cập tới nhiều lĩnh vực kiến thức cũng nh kỹ năng khác nhau +Tôi nêu lên một suy nghĩ nhỏ của mình mong các bạn đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào công việc B D H S G của mình đợc tốt hơn mong đợc góp ý chân tình xin cảm ơn Thanh An ngày15/2/2009 Trinh Phú Đa . 6 ( 2y 2 - 3y + 168 ) =9y 2 +24y+16-12y 2 +18y-1008 =-3y 2 +42y -99 2 Để , là số chính phơng thì -3y 2 +42y -99 2=m 2 -3y 2 +42y -99 2-m 2 =0 Lúc này ta lại. biệt là môn toán lớp 9 Trong các thể loại toán lớp 9 thì môn đại số chiếm vai trò quan trọng việc có kỹ năng cơ bản để giải bài tập đại số lớp 9 mới chỉ là