Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.. Chứng minh rằng: Nếu ab là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a2 + b2 + c2 là một số chính phương.. b/ Tìm các số chính phương
Trang 1Bồi dưỡng HSG Toán 9
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN VÒNG TỈNH
PHẦN SỐ HỌC
-// -Bài 1: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a+1 b+1+
a b là số nguyên Gọi d là ước chung của
a và b Chứng minh rằng: d a b
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n – 41 là hai số chính phương
Bài 3: Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn:
2 2
1 ( 2)
abc n
( n N, n > 2)
Bài 4: Cho 100 số tự nhiên a1, a2… a100 thỏa mãn:
Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau
Bài 5: Tìm các số nguyên dương x, y để C =
3
1
xy
có giá trị nguyên dương
Bài 6: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn: (a-b)(b-c)(c-a) = a + b + c.
Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho 27
Bài 7:
a/ Cho A = k4 + 2k3 – 16k2 – 2k + 15 với k Z Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16
b/ Cho 2 số tự nhiên a và b Chứng minh rằng: Nếu ab là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a2 + b2 + c2 là một số chính phương
Bài 8: Cho a, b là các số thực thay đổi thỏa mãn a3 + b3 = 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của M
= a + b
Bài 9: Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất: Với mỗi số nguyên lẻ a mà a2 ≤ n thì n chia hết cho a
Bài 10:
a/ Tìm số tự nhiên a để N = a2 + 10a + 136 có giá trị là một số chính phương
b/ Tìm các số chính phương có 4 chữ số thỏa mãn: Chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm bằng nhau; chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau
Bài 11:
a/ Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 + c2 = b2 + d2
Chứng minh rằng: a + b + c + d là hợp số
b/ Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: (x2 – 3) (xy + 3)
Bài 12: Cho x, y là các số thực sao cho x 1
y
và y + 1
xlà các số nguyên Chứng minh: Các số sau cũng là các số nguyên A = 2 2 2 2
1
x y
x y
; B = 2011 2011 2011 2011
1
Bài 13: Cho a, b là các số nguyên và p là số nguyên tố lẻ Chứng minh: Nếu p4 là ước của a2+b2
và a(a + b)2 thì p4 cũng là ước của a(a + b)
Bài 14: Cho dãy số 10, 102, 103, …, 1020 Chứng minh rằng: Trong dãy số trên có 1 số khi chia cho 19 thì có số dư là 1
Bài 15: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ab = cd
Chứng minh rằng: Số A= a2012 + b2012 + c2012 + d2012 là hợp số
Phan Sơn – Trường THCS Tam Dương
Trang 2Bồi dưỡng HSG Toán 9
Bài 16: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn:
( 1) ( 1) ( 1)
Bài 17: Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách
nào đó ta được số tự nhiên B Giả sử A B = 11…1 ( gồm n chữ số 1, n N*) Tìm giá trị nhỏ nhất của n và chỉ rõ cặp số A, B thỏa mãn giá trị nhỏ nhất đó của n
Bài 18: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương phân biệt (a, b, c) khác 1 sao cho abc – 1 chia hết
cho (a – 1)(b – 1)(c – 1)
Bài 19: Chứng minh rằng
Trong 2010 số khác nhau tùy ý được lấy ra từ tập hợp A= { 1, 2, 3 … 20082009 }, có ít nhất hai
số x, y thỏa mãn: 0 2009x 2009y 1
Bài 20: Tìm các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc (a b c )
Bài 21: Tìm số có 5 chữ số abcde thỏa mãn: 3
abcde ab
Bài 22: Cho số tự nhiên n và n + 2 số nguyên dương a1, a2, … an+2 thỏa mãn điều kiện:
1 ≤ a1< < a2 < …< an+2≤ 3n Chứng minh rằng: Luôn tồn tại 2 số ai, aj ( 1 ≤ j ≤ i ≤ n +2) sao cho
n < ai - aj < 2n
Bài 23: Trong tập hợp N* xét hai số P = 1.2.3….(n-1).n = n! và S = 1+2+3 +…+ (n-1)+n
Tìm các số tự nhiên n ( n>2) sao cho P chia hết cho S
Bài 24: Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của a được kí hiệu [a] – là số nguyên lớn nhất
không vượt quá a Xét dãy số a0, a1, ….an được cho bởi công thức an = 1
Hỏi trong 200 số { a0, a1, ….a199 }có bao nhiêu số khác 0 ( biết 1,41 < 2 < 1,42 )
Bài 25: Gọi S(n) là tổng tất cả các ước lẻ lớn nhất của các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 2n ( n ≥ 0)
Chứng minh rằng: S(n) = 4 2
3
n
Bài 26: Cho 3 số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) a là ước của b + c + bc
ii) b là ước c + a + ca
iii) c là ước của a + b + ab
a/ Hãy chỉ ra một bộ ba số (a, b, c) thỏa mãn các điều kiện trên
b/ CMR: a, b, c không thể đồng thời là các số nguyên tố
Bài 27: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho (xy1)(yz xyz1)(zx1) cũng có giá trị là một số nguyên
Phan Sơn – Trường THCS Tam Dương