GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1... CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.[r]
Trang 1GI ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.KI ẾN THỨC CƠ BẢN
1 Các định nghĩa:
f(x) L
lim
0
x
x (xn):xn x0;limxn x0 limf(xn) L
+ Tương tự ta có các định nghĩa:
L ) x ( f
lim
0
x
; lim f(x) L
f(x)
lim
0
x
f(x)
lim x
2 M ột số định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1: Nếu các giới hạn: lim f(x) L
0
x
; lim g(x) M
0
x
+) lim f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x)
0 0
x
+ ) limf(x).g(x) lim f(x).lim g(x)
0 0
x
+)
) x ( g lim
) x ( f lim )
x ( g
) x ( f lim
0
0 0
x x
x x x
x
(với lim g(x) M 0
0
x
+) lim f(x) lim f(x)
0
x
x x
3 x
xlim f(x) lim f(x)
0
+) lim f(x) lim f(x)
0
x
x (với f(x) ) 0
b) Định lý 2: (Nguyên lý kẹp giữa)
Cho f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm x (có th0 ể trừ
g(x) lim h(x) L lim
x
\ K x );
x ( h ) x ( f ) x ( g
0
x x
0 thì lim f(x) L
0
x
c) Định lý 3 lim f(x) L
0
x
lim f(x) lim f(x) L
0
x
f(x)
lim
0
x
) x ( f
1 lim
0
x
3) Các gi ới hạn cơ bản
+) limC C
0
x
0
x
x
0
k x
xlim x x
0
0
k x
xlima.x a.x
0
(với a 0)
k
k 2
xlim x ;
1 k 2
xlim x
x
1 lim k
x
1 lim k
+)
0 k
x x
1
0 2k
x x
1
0 2k 1
x x
1
x
x sin lim
0
Trang 2II) CÁC D ẠNG TOÁN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
▲DẠNG 1 lim f(x)
0
x
x (với f(x) xác định tại x0)
◘ Phương pháp:
+ Nếu f(x) cho bởi một công thức thì lim f(x) f(x0)
x
+ Nếu f(x) cho bởi đa công thức thì ta tính lim f(x)
0
x
x lim f(x)
0
x
x ■
►BÀI 1.1 Tính các giới hạn sau:
1) lim(2x3 3x 1)
1
x 3 x
1 x x lim 32 3
2) lim( x 7 x 2)
2
x x
1 2 x 5 5 x 2
1
►BÀI 1.2 Cho hàm số sau:
2 x
khi
x
2 x
khi
x 3 4 ) x ( f
3 2
Tính lim f(x)
2
x ; lim f(x)
2
x ; lim f(x)
2
x
►BÀI 1.3 Cho hàm số sau:
1 x
khi
x
1 x 0
khi
x 1 x
0 x
khi
x cos x )
x ( f
3 2
a) Tính limf(x)
0
x b) Tính limf(x)
1
x
▲DẠNG 2 lim f(x).g(x)
0
x
x L() với L 0
◘ Phương pháp:
L ) x ( f
lim
0
x
g(x)
lim
0
x
x lim f(x).g(x)
0
x
x
►BÀI 2.1 Tính các giới hạn sau:
1 x 2 ) 1 x (
1
1
x 4 ) 2 x (
3
2 x
x 6 ) 3 x (
1
3
5) lim(2x3 5x2 1)
xlim 3x 2x
Trang 31 lim
1 x x 2
2 lim 4 2
▲DẠNG 3
) x ( g
) x ( f lim
0
x x 0
L
với L 0
◘ Phương pháp:
L ) x ( f
lim
0
x
0
x
) x ( g
) x ( f lim
0
x x
►BÀI 3.1 Tính các giới hạn sau:
1)
3 x
3 x x lim 2 3
3 x
3 x 2 x lim
2 3
2
x (x 2)
1 x 2 lim
1
x (x 1)
5 x 4 lim
5)
) 8 x )(
2 x (
1 x 3
2
) 3 x 4 x )(
3 x (
1 x
3
7)
x 1 2 1 x
3 x 2 lim
1
▲DẠNG 4
) x ( g
) x ( f lim
0
x x
◘ Phương pháp:
+ Chia cả tử và mẫu cho xk (với k thích hợp)
+ Áp dụng 0
x
1 lim k
x
1 lim k
+ Chú ý:
B A B
A 2 với A 0; B0
B A B
A 2 với A 0; B0
►BÀI 4.1 Tính các giới hạn sau:
1)
5 x 3 x 2
1 x 2 x 3
2
1 x x
9 x 2 x 4 lim 23
3)
1 x 3 x 10
x x x 5 lim 5
2 4
1 x x 3
) x 1 )(
5 x 2 (
2
5)
) 1 x 3 )(
1 x (
x 3 x x lim 34 2
3 x x 4
1 x 2
x
Trang 47)
1 x x
1 x )
x 4 1 (
3 x ) 1 x 2 ( lim
9)
2 x x
1 x 2 )
x 1 (
x 3 2
1 x x 4 x
lim
2
11)
1 x 2
x 3 x 2 x
2 x
x 2 1 x x
▲DẠNG 5
) x ( g
) x ( f lim
0
x x 0
0
◘ Phương pháp:
+ Phân tích tử và mẫu về dạng tích để rút gọn thừa số chung
+ Nhân thêm đại lượng liên hợp với A B và 3 A 3 B ■
►BÀI 5.1 Tính các giới hạn sau:
3
x 18 2x
27 x
lim
2 x ) 1 2 ( x
4 x
2
3)
4 x 4 x x
8 x 2 x lim 3 4 2 2 2
x 2 6
3 x lim
3
5)
x 3
x 27
3
3 2
x 2x x
8 x lim
7)
x 1 2 1 x
x 1 x lim
1
3 3
3 3 x lim
►BÀI 5.2 Tính các giới hạn sau:
1)
1 x
2 3 x lim 2 1
3 7 x
2 2 x lim
2
3)
x 1 x 1
x 1 x 1
0
3 x 4 x
6 x 2 x 6 x 2 x
3
5)
18 x 7 x
2 2 x 3 lim 2
2
3 2
x 2x x
8 x lim
7)
x 1 2 1 x
x 1 x lim
1
x x
x 1 2 x x
1
►BÀI 5.3 Tính các giới hạn sau:
1)
9 x
2 5 x lim3 2
3
x 2 x
x 3 2 x lim 23 2
3)
1 3 x 4
1 x lim 3
1
2
3 0
x 3 1 x 2 1
5) lim 2x13 x2 1
[ĐHQG.01] 6)lim 5x 3 x2 7
[ĐHTCKT.01]
Trang 57)
1 x
x 5 7 x
1
[ĐHSPHN.01] 8) lim4 2x x1 15 x 2
1
9)
x
x 8 x 1 2
0 x
1 x
1 7 x 2 x 3 lim 1
11)
1 x
5 x 9 3 x
1
x
1 3 x 8 1 x 4
0 x
▲DẠNG 6 lim f(x).g(x)
0
x x 0()
◘ Phương pháp:
+ Ta viết 0
0 )
x ( g 1
) x ( f lim )
x ( g )
x ( f
lim
0
x x + Ta viết
) x ( f 1
) x ( g lim )
x ( g )
x ( f
lim
0
x
►BÀI 6.1 Tính các giới hạn sau:
1)
9 x
x ) 3 x (
3
5
1 5
1 x
1 lim
3 x x
1 x 2
2 2
1 x 5
3 x 2
2
▲DẠNG 7 limf(x) g(x)
0
x
◘ Phương pháp:
+ Rút gọn tổng [f(x) + g(x)] để đưa về dạng L.( hoặc dạng ) 0
L
■ + Chú ý:
B A B
A 2 với A 0; B0
B A B
A 2 với A 0; B0
►BÀI 7.1 Tính các giới hạn sau:
1)
3 1 x
1
1
1 3
x 4 x
1
3 x 3) lim x2 3 2x 1
xlim 5x 4x 18x
7 x 2 x 3 x 64
x 7)
3 x 1 lim
Trang 6▲DẠNG 8 limf(x) g(x)
0
x
◘ Phương pháp:
+ Nhân thêm đại lượng liên hợp để đưa về dạng quen thuộc ■
►BÀI 8.1 Tính các giới hạn sau:
1) lim x2 x 3 x
3) lim 3x2 x 4 x 3
xlim x 5x x 8x
7) limx 3 x3 1 x
x
x
x sin lim
0
◘ Phương pháp:
+ Sử dụng các công thức lượng giác: 1cosa2sin2a,… để đưa về giới hạn
x
x sin lim
0
) x ( f
) x ( f sin lim 0 ) x (
►BÀI 9.1 Tính các giới hạn sau:
1)
x
x 3 sin lim
0
x 3 sin
x 5 sin lim 0 x
3)
x 4 sin
x 3 tan lim 0
0
x 5 cos 1 lim
0
x 5 cos x
cos
x sin
x 3 cos x
cos
0 x
0
x sin x tan
0
x 2 cos x cos 1 lim
0
x 3 cos x 2 cos x cos 1 lim
0
nx cos
x 2 cos x cos 1 lim
11)
x cos x
sin 1
x cos x
sin 1 lim 0
x 11 sin
x 7 cos 1 lim 2 0 x
13)
) 1 x sin(
1 x
1
►BÀI 9.2 Tính các giới hạn sau:
0
x cos 1
lim
1 x 1
1 x 2 cos lim
2 0
3)
0
x cos 1 lim
2 0
x cos 1
2
Trang 75) 2 2
0
x cos x
1
0
x 1 x 2 x 2 cos
0
x sin 1 x tan 1
x sin
1 x 1 x 2 lim
3 2 0
x
9)
x cos 1
1 x 3 1 x 2 lim
3 2 2
0
0
x 2 cos 1
lim
0
x 2 cos x cos 1
lim
0
x 2 cos x cos 1
lim
13)
x cos x
sin x 1
x
0
x cos 1
) x cos(
1 lim
2 0
►BÀI 9.3 Tính các giới hạn sau (bằng phương pháp đổi biến)
x
1 sin 3 x
lim
2) x tanx
2
lim 2
x 4 tan x 2 tan lim
4 x
4)
4 x sin
x cos 2 2 lim 4 x
x tan x
cos
1 lim
2 x
6)
6 x cos
x 3 sin lim
3 x
7)*
tanx
cos
x cos 2
cos lim
0 x
0
x 3 cos x 2 cos x cos 1 lim
9)*
x x
x 2 cos 2 cos
1
x
2 x sin 1 x x
1 x
x
11)
1 x x
x cos 4 x sin 3
x sin x
x sin x lim
[HVBCVT.99]
======================================================