Đạo hàm của hàm số trên một khoảng..a[r]
Trang 1ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
I KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a:b) và xo (a;b)
Đạo hàm của hàm số tại điểm xo, ký hiệu f’(xo) hoặc y’(xo) Ta có:
f’(xo) = x → xlim
0
f (x )− f (x0)
x − x0
Đặt Δ x = x – xo (gọi là số gia của biến số tại điểm xo) và
Δ y = f(x) – f(xo) = f(xo + Δ x) – f(xo) (gọi là số gia của hàm số ứng với số gia
Δ x tại điểm xo)
Ta có: f’(xo) = lim
Δx →0
f (x0+Δx)− f (x0)
Δx =Δx → 0lim
Δy Δx
Chú ý: Δx , Δy chỉ là những ký hiệu, không nhất thiết chỉ mang dấu dương, không được hiểu Δx =Δ x
b Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:
Cách 1: Tính trực tiếp f’(xo) = lim
x → x0
f (x)− f (x0)
x − x0
Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, ta thực hiện 2 bước:
Bước 1: Tính Δy=f (x0+Δx)− f (x0) , ( Δx là số gia của biến tại xo)
Bước 2: Tìm lim
Δx →0
Δy
Δx và kết luận
◦ Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì f(x) liên tục tại xo
2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm Mo (xo; f(xo))
Phương trình tiếp tuyến của đường cong
Cho đường cong (C) : y = f(x) (f(x) có đạo hàm tại điểm xo)
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm Mo(xo;f(xo)) (C) có phương trình:
y − y0=f '(x )(x − x0)⇔ y=f ' (x0)(x − x0)+f (x0)
3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Trang 2a Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập J, J là một khoảng hay hợp của
nhiều khoảng
* Định nghĩa:
+ Hàm số f gọi là có đạo hàm trên tập J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc J
+ Đạo hàm của hàm số f được ký hiệu là f’(x) hoặc y’
Chú ý: Tính đạo hàm của hàm số mà không nói rõ tính tại điểm nào, ta hiểu tính trên toàn TXĐ
* Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số f Ta thực hiện:
Bước 1: Tính Δy=f (x+ Δx)− f (x ).
Bước 2: Tìm lim
Δx →0
Δy
Δx và kết luận: y’ = …
b Đạo hàm của một hàm số thường gặp.
(C)’ = 0 (C là hằng số) (un)’ = nnn-1.u’
(x)’ = 1 (1u) ’ = - u '
u2 (x 0) (xn)’ = nxn-1 (n N, n 2)
(1x) ’ = - 1
x2 (x 0) ( √u )’ = u '
2√u (u > 0)
( √x )’ = 1
2√x (x > 0)
◦ (u + v)’ = u’ + v’
◦ (u – v)’ = u’ – v’
◦ (u.v)’ = u’v + uv’
◦ (c.u)’ = c u’ (c là hằng số)
◦ (u v) ’ = u ' v − uv '
0)
◦ g’x = f’ u .u’ x
Mở rộng : (u1 ± u2 ± … ± un)’ = u1’ ± u2’ ± ± un’
(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’;
III ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Hàm số y = tanx xác định trên mỗi khoảng ( - − π
2+kπ ;
π
2+kπ¿ (k Z) và hàm số y = cotx xác định trên mỗi khoảng ( kπ ; π +kπ ) (k Z)
(sinx)’ = cosx * (sinu)’ = (cosu).u’ = u’.cosu
(cosx)’ = - sinx * (cosu)’ = (-sinu).u’ = -u’.sinu
cos 2x * (tanu)’ = u '
cos 2u
sin 2x * (cotu)’ = - u '
sin 2u