Bài tập khảo sát hàm số

2/ Xác định m để đường thẳng y = x + 2m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm này song song với nhau..[r]

Trang 1

Bài1 Cho hàm số: y = -x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1

2) Tìm k để phương trình: -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

3) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên

Bài 2 Cho hàm số: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

Bài 3 Cho hàm số: y =   (1) (m là tham số)

1



 x

m x m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ

3) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Bài 4 Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + m (1)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

Bài 5 Cho hàm số: y = x 2x 3x (1) có đồ thị (C)

3

1 3  2  1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 6 Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 9x + 1 (1) (m là tham số)

2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1

Bài7 Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y = 1 3 2 1 (*) (m là tham số)

m

x  x 

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2

2 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại

điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0

Bài 8 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4

Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x39x2 12 x m

Bài 9 Cho hàm số y = x3 - 3x + 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 10 Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 + 3(m2 -1)x - 3m2 - 1 (1) m là tham số

Trang 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ đọ O

Bài 11 Cho hàm số: y = 2

1

x

x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B

và tam giác OAB có d

Bài 12 Cho hàm số: y = x4 - mx2 + m - 1 (1) (m là tham số)

2) Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

2 iện tích bằng 1

4

3

1 2 2 3

1x3 mx2  x  m

1) Cho m =

2 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2

Bài 14 Cho hàm số: y = (x - m)3 - 3x (m là tham số)

1) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1

3) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

 



















1 1 3

1 2

1

0 3

1

3 2

2 2

3

x log x

log

k x x

Bài 15 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x 2x 3x

3

1 3  2 

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành

Bài 16 Cho hàm số: y = (x - 1)(x2 + mx + m) (1) (m là tham số)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

1

1 2



x x

Trang 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số (1)

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bì 18 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số: y = 2x3 - 3x2 - 1 2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M(0 ; -1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 19 Cho hàm số: y =

1 2

1



 x x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm các điểm trên đồ thị hàm số có toạ độ là các số nguyên

Bài 20 Cho hàm số: y = x3 - 3mx + 2 có đồ thị là (Cm) (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1) và trục hoành

3) Xác định m để (Cm) tương ứng chỉ có một điểm chung với trục hoành

Bài 21 Cho hàm số: y = x3 - mx2 + 1 (Cm)

1) Khi m = 3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ

2) Xác định m để đường cong (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (D) có phương trình

y = 5 Khi đó tìm giao điểm còn lại của đường thẳng (D) với đường cong (Cm)

Bài 22 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =

2

1



 x x

2) Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ là những số nguyên

3) Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

Bài 23 Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 (1)

2) Xác định m sao cho hàm số (1) đồng biến trên tập xác định

3) Xác định m sao cho hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu Tính toạ độ của điểm cực tiểu

Bài 24 Cho hàm số: y = x3 - (2m + 1)x2 - 9x (1)

1) Với m = 1;

Trang 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Cho điểm A(-2; -2), tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm A qua tâm đối xứng của đồ thị (C)

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các hoành độ lập thành một cấp số cộng

Bài 25 Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-3 ; 1) có hệ góc là k Xác định k để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng: 0 < x < 3

Bài 27 Cho đường cong (Cm): y = x3 + mx2 - 2(m + 1)x + m + 3

và đường thẳng (Dm): y = mx - m + 2 m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C-1) của hàm số với m = -1

2) Với giá trị nào của m, đường thẳng (Dm) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt?

Bài 28 Cho hàm số: y = (1) có đồ thị (C)

1



 x x

2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất

Bài 29 Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 - 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm t để phương trình: x3 3x2 2 log2t0 có 6 nghiệm phân biệt

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x 2x 3x

3

2

3



 2) Dựa và đồ thị (C) ở Câu trên, hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: e x 2e x 3ex m

3

2 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 - 10x2 + 9

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: x - 3mx + 2 = 0 có nghiệm duy nhất

Trang 5

2

5 2



 x x

2) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1; + )

Bài 31 Viết phương trình Cho hàm số: y = (1)

m x



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị của hàm số này là (C)

2) Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d):

x + 3y - 4 = 0

tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; 0)

Bài 32 Cho hàm số: y = x3 - 3x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và trục hoành

3) Xét đường thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m Tìm m để đường thẳng (D) cắt đường cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương

Bài 33 Cho hàm số: y = x4 - 4x2 + m (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 3

2) Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau

Bài 34 1) Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1

a) Với các giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2

b) (C0) là đồ thị hàm số ứng với m = 0 Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng y = ax + b cắt (C0) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC Khi đó chứng minh rằng đường thẳng y = ax + b luôn đi qua một điểm cố định

Bài 35 Cho hàm số: y = f(x) = x3 + ax + 2, (a là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3

2) Tìm tất cả giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một

điểm

Trang 6

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

3

2



 x x

2) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang

1



 x x

2) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (ở phần 1)

Bài 37 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x3 - x2 - x + 1

2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x12 x1m

Bài 38 Cho hàm số: y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 - 3m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

2) Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu; đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy trên hai đường thẳng cố định

Bài 39 Cho hàm số: y = f(x) = x4 + 2mx2 + m (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1

2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x) > 0 với x Với những giá trị của m tìm

được ở trên, CMR hàm số: F(x) = f(x) + f'(x) + f"(x) + f"'(x) + f(4)(x) > 0 x

Bai 40 Cho hàm số: y = -x4 + 2(m + 1)x2 - 2m - 1

1) Xác định tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp

số cộng

2) Gọi (C) là đồ thị khi m = 0 Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể

kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị (C)

Bài 41 Cho hàm số: y = (2 - x2)2 (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

điểm A(0; 4)

Bài 42 Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m

1) Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (-1; 1)

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = -1

Trang 7

Bài 43 Cho hàm số: y = f(x) = -x3 + 3mx - 2 (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2) Xác định các giá trị của m để bất phương trình: f(x)  - 13 được thoả mãn x  1

x

Bai 44 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x

2) Tìm tất cả các đường thẳng đi qua điểm A(4; 4) và cắt (C) tại ba điểm phân biệt Bài 45 Cho hàm số: y = x3 + mx2 + 9x + 4 (1) (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 Khi đó hãy chỉ ra số giao điểm của đồ thị với trục Ox

2) Tìm điều kiện của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) có một cặp điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

Bài 46 Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x

2) a) Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số: y = x3 6x2 9x

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 6x2 9x 3m0

bài 47 Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + m

2) Tìm tất cả các giá trị của hàm số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng1

48 Cho phương trình: x4 - 4x3 + 8x

1) Giải phương trình với k = 5

2) Tìm k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

49 Cho hàm số: y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

2) Với những giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại?

50 Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 (1)

2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc với đồ thị của hàm

số (1)

Trang 8

3) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song với đường thẳng y = kx (k cho trước)? Biện luận theo k số giá trị của m

51 Cho hàm số: y = -x4 + 2x2 + 3 có đồ thị (C)

2) Dựa vào đồ thị (C) hãy xác định các giá trị của m để phương trình: x4 - 2x2 + m = 0

có bốn nghiệm phân biệt

52 1) Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c cắt trục hoành tại 3

điểm cách đều nhau, thì điểm uốn nằm trên trục hoành

2) Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + 2x(m - 4)x + 9m2 - m

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau

53 Cho hàm số: y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (Cm)

2) CMR: (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định A, B với m

3) Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại A, B vuông góc với nhau

4) Xác định m đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành cấp số cộng

54 Cho hàm số: y = (Cm)

1







 m x

m mx

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 2

2) Tìm M  (C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

3) CMR: m  1, đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định

55 Cho hàm số: y = x4 - (m2 + 10)x2 + 9 (Cm)

2) CMR: m  0 (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt CMR: trong số các giao điểm đó có

2 điểm  (-3; 3) và 2 điểm  (-3; 3)

56 Cho hàm số: y = x4 - ax3 - (2a + 1)x2 + ax + 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0

2) Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị ở phần 1

3) Xác định a sao cho phương trình: x4 - ax3 - (2a + 1)x2 + ax + 1 = 0 có hai nghiệm khác nhau và lớn hơn 1

57 Cho hàm số: y = x2(m - x) - m (1)

Trang 9

1) Chứng minh rằng đường thẳng: y = kx + k + 1 luôn luôn cắt đường cong (1) tại một

điểm cố định

2) Tìm k theo m để đường thẳng cắt đường cong (1) tại ba điểm phân biệt

3) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1 < x < 2

58 Cho hàm số: y =  3 3mx2 2 với m  0

m x

1) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xứng

2) Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến

đến đồ thị của hàm số ứng với giá trị của m = 1

3

2x3  cosa  sina x2  cos a  x 1) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu

2) Giả sử hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 Chứng minh rằng x12 x22  18 a

60 Cho hàm số: y = 4x3 + (a + 3)x2 + ax

1) Tuỳ theo các giá trị của a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số

2) Xác định a để  1 khi  1 y x

61 Cho các đường: y = -x 3x (P) y = m(x - 3) (T)

3

 1) Tìm m để (T) là tiếp tuyến của (P)

2) Chứng minh rằng họ (T) đi qua một điểm cố định A thuộc (P)

3) Gọi A, B, C là các giao điểm của (P) và (T) Hãy tìm m để OB  OC (O là gốc toạ

độ)

62 Cho parabol: y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1

1) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi m biến thiên

2) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với parabol không phụ thuộc vào m

3) Chứng minh rằng với m parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

63 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x3 - 3x2 - 9x + 1

2) Tìm điều kiện đối với a và b sao cho đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị trên tại 3

điểm khác nhau A, B, C với B là điểm giữa của đoạn AC

Cho hàm số: y = x3 - 3ax2 + 4a3

Trang 10

1) Với a > 0 cố định, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Xác định a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là đối xứng với nhau qua

đường thẳng y = x

3) Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B, C với

AB = AC

64 Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số với m = 1

2) Viết phương trình Parabol qua cực đại, cực tiểu của (C1) và tiếp xúc y = -2x + 2

3) Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của Oy

65 Cho hàm số: y = x4 - 6bx2 + b2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với b = 1

2) Với b là tham số, tuỳ theo b hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 1]

66 Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0) của hàm số ứng với m = 0

2) Tìm điều kiện đối với a và b để đường thẳng (D): y = ax + b cắt đồ thị (C0) tại ba

điểm phân biệt A, B, C sao cho B cách đều A và C Chứng minh rằng khi đó (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định I

3) Tìm quỹ tích các điểm cực trị của (Cm) Xác định các trong mặt phẳng toạ độ

là điểm cực đại ứng với giá trị này của m và là điểm cực tiểu ứng

68 Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1

2) Chứng minh rằng với m, đồ thị hàm số (Cm) đã cho luôn luôn cắt đồ thị

y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

3) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt đường y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E Tìm

m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau

với giá trị khác của m

69 Cho hàm số: y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) (Cm)

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	135,24 KB