– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.
Trang 1§4 PHƯƠNG TRÌNH, BPT MŨ
I Mục tiêu:
1) Về kiến thức:
Các kiến thức về luỹ thừa và mũ
2) Về kỹ năng:
– Thực hiện thành thạo việc giải PT, BPT, hệ PT và hệ BPT mũ
3) Về tư duy và thái độ:
– Tự giác, tích cực trong học tập
– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao
II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập
Học sinh: – Sách giáo khoa
– Kiến thức về PT, BPT, hệ PT và hệ BPT mũ
III Phương pháp:
Dùng các phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm
IV Tiến trình bài học:
1 Ổn định lớp.
2 Bài mới:.
1 Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: a M = a N ⇔M = N
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2 3 2 1
2
4
x+ −x =
HD: 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 2
4
x+ −x = ⇔ x + −x = −
3
x
x
=
Vậy phương trình có nghiệm: x=0,x= −3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :
2 3 1
1
3 3
x− +x
÷
HD:
2
2
3 1
( 3 1) 1
1
3
x x
x x
− +
− − +
÷
2
x
x
=
Vậy phương trình có nghiệm: x=1,x=2
Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 2x+ 1+2x− 2 =36
4
x
Trang 2x x x 4
8.2 2
4
x
+
Vậy phương trình có nghiệm: x=1,x=2
Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 5 2x 2x− 1 =50
20
4
2
x
Vậy phương trình có nghiệm: x=log 10020
2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 32x+8−4.3x+5+27 0=
HD: 3 38 2x−4.3 35 x+27 0=
( )2
6561 3x 972.3x 27 0
Đặt t =3x >0 Phương trình (*) 2
1 9
6561 972 27 0
1 27
t
t
=
=
9
x
27
x
Vậy phương trình có nghiệm: x= −2,x= −3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 25x−2.5x− =15 0
25x−2.5x− = ⇔15 0 5x −2.5x− =15 0 (*) Đặt t =5x>0
Phương trình (*) 2 2 15 0 5
3 (loai)
t
t
=
Với t= ⇔5 5x = ⇔ =5 x 1 Vậy phương trình có nghiệm: x=1
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 3x+ 2−32 −x =24
3
x
Đặt t =3x >0
Pt (*) 2
3
( loai) 3
t t
t
=
= −
Với t= ⇔3 3x = ⇔ =3 x 1
Trang 3Vậy phương trình có nghiệm: x=1
3 Phương pháp: Lấy logarit hai vế
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 8 5 2 1 1
8
HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được
log 8x log 5x − log 8− x x 1 log 5 1
8
1 0
x
x
+ =
.log 5 log 5 1 1 log 8
Vậy phương trình có nghiệm: x= −1,x= −1 log 85
Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 2
3 2x x =1
HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được
3 2x x = ⇔1 log 3 2x x =log 1
2
3
0
1 log 2 0
x x
=
3
0
0 1
log 3 log 2
x
x
=
Vậy phương trình có nghiệm: x=0,x= −log 32
4 Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và
sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì
phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm
giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) =
g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau : 3x+4x =5x
Trang 4Ta có x=2 là nghiệm của phương trình (*) vì
1
÷ ÷
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất
Thật vậy, xét ( ) 3 4
f x = +
÷ ÷
Ta có ( )f x đồng biến trên ¡ vì '( ) 3 ln3 4 ln4 0
x
∀ ∈¡ Do đó
+ Với x>2 thì ( )f x < f(2) hay 3 4 1
+ <
÷ ÷
, nên phương
trình (*) thể có nghiệm x>2
+ Với x<2 thì ( )f x > f(2) hay 3 4 1
+ >
÷ ÷
, nên phương
trình (*) thể có nghiệm x<2
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x=2 2
x=
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Giải các phương trình sau:
1 16 1010 0,125.8 155
− = − 2. 32x+8−4.3x+5+27 0=
3 6.9x−13.6x+6.4x =0 4
( 2− 3 )x+( 2+ 3 )x =4
2x−x−2 + −x x =3 6
3.8x+4.12x−18x−2.27x =0
2.2 x−9.14x+7.7 x =0 8
1
12.3x+3.15x−5x+ =20
9 log log 39( x 9) 1
3
x x
= +
÷
2
2x− −x =16 2
13 2x+2x− 1+2x− 2 = −3x 3x− 1+3x− 2 14 2 3 5x x− 1 x− 2 =12
15 (x2− +x 1)x2 − 1 =1 16
log 2.log 2.log 4x x x=1
3
7x+2.7−x− =9 0
19 22x+ 6+2x+ 7− =17 0 20
(2+ 3)x+ −(2 3)x− =4 0
21 2.16x−15.4x− =8 0 22
3
(3+ 5)x+16(3− 5)x =2x+
Trang 523 (7 4 3)+ x−3(2− 3)x+ =2 0 24 2.41x+61x =91x
25 82x 23x x3 12 0
+
5x+5x+ +5x+ = +3x 3x+ +3x+
27 log2(x+ = +3) 1 log2(x−1) 28
2 (3 2 )x 2(1 2 ) 0x
29 2x− 4 = 3 4 30 32x− 3 =9x2 + − 3x 5
31
4
1
(4− 15) (x+ +4 15)x =2
35 ( 5 2 6+ ) (x+ 5 2 6− )x =10 36 32x+ 1−9.3x+ =6 0
37 22x+ 2−9.2x+ =2 0 38 3x+ 1=5x− 2
39 3x− 3 =5x2 − + 7x 12
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình cơ bản:
0 0
b b
≤
>
Phương trình vô số nghiệm
Phương trình : f x( )
a > ⇔b ( ) log( ) loga
a
>
khi khi
1
a a
>
< <
0 0
b b
≤
>
Phương trình vô nghiệm
Phương trình : f x( )
a < ⇔b ( ) log( ) loga
a
<
khi khi
1
a a
>
< <
Trang 6Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
3
1 log 2
2
Vậy bất phương trình có nghiệm: 1 log 23
; 2
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
1
1
x
−
+
6
13
Vậy bất phương trình có nghiệm: S= −∞ +∞( ; )
2. Phương pháp: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:
a f x( ) g x( )
a >a ⇔ f x f x( )( )><g x g x( )( )
khi khi
1
a a
>
< <
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ( )3 2 9 2
x
x−
>
x
x−
>
2 4
x
−
Vậy bất phương trình có nghiệm: ;16
7
S = −∞
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( ) (1 ) 2 3
5 2+ x− ≥ 5 2− − +x (1)
5 2
−
+
2
Trang 72 2 0 1 2
Vậy bất phương trình có nghiệm: S= −[ 1; 2]
3. Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x+52 −x<26
5
x
−
(1)
Đặt 5x 0
t = >
Ta có: (1) 2
26 25 0
x
Vậy bất phương trình có nghiệm: S =( )0;2
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2x+1
3 −10.3x+ ≤3 0
3 −10.3x+ ≤3 0 ( )2
3 3x 10.3x 3 0
Đặt 3x 0
t= >
Ta có: (1) 32 10 3 0 1 3
3
1
3
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = −[ 1;1]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 5.4x+2.25x−7.10x >0 (*)
HD: Chia (*) hai vế cho 4x >0 ta được:
2
2
x
t= >
÷
Ta có: (**)
2
5
2
1
2
x
x
x t
< <
< <
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = −∞( ;0 1;) ( +∞)
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Trang 8Bài 1: Giải các phương trình sau:
2 5
1
9 3
x+
÷
3 9x ≤3x+62 4. 4x2− +x 6 >1 5
2
4 15 4
3 4
1
2 2
x
− +
−
÷
2
2
16
x
> ÷
9 2 5x+ 2 x+ 2 ≤2 53x 3x 10 25x− 1≥125
11 22x+ 6+22x+ 7 >17 12
2− 3 x− ≥ +2 3 − +x
13 52x− 3−2.5x− 2 ≤3 14 1 1 1 2
4x− 2x− 3
15 5.4x+2.25x≤7.10x 16
2.16x−2 x−4 x− ≤15
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1 16 1010 0,125.8 155
3 x+ −4.3x+ +27 0≤
3 6.9x−13.6x+6.4x≥0 4
( 2− 3 )x+( 2+ 3 )x<4
5 log2(x+ > +3) 1 log2(x−1) 6
2 6 5 2
2x− −x >16 2
7 2.22x−9.14x+7.72x≥0 8
1
12.3x+3.15x−5x+ =20
9 8 1
8
2 2log ( 2) log ( 3)
3
x− + x− = 10. 2x2 − +x 8 =41 3 − x
