ON THI DAI HOCON THI THPT-PT-BAT PT-HE PT MU-LOGA.doc

Ta có phương trình bậc hai theo t giải tìm t thay vào cách đặt tìm x Sau khi tìm được x kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình.. C./ CÁC BÀI TOÁN MẪU... B./ PHƯƠNG PHÁP

PHƯƠNG TRÌNH MŨ A- KIẾN THỨC CƠ BẢN

a 0, ta có: a 1; a

a

2./ Cho a 0, r m (m,n Z, n>0 và m

   tối giản) , ta có amn n am

3./ Cho a, b,α,βR; a>0, b>0 , ta c R; a>0, b>0 , ta có 

+ α βR; a>0, b>0 , ta c α βR; a>0, b>0 , ta c

a  a a

 +

α

α βR; a>0, b>0 , ta c βR; a>0, b>0 , ta c

a a

a



 + α.βR; a>0, b>0 , ta c    α βR; a>0, b>0 , ta c βR; a>0, b>0 , ta c α

a  a  a

a b (a.b) +

α α

α

 

 



 

 

 

B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

( Chú ý : af (x ) có nghĩa khi 0 a 1; f(x)   có nghĩa)

Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương trình về một trong các dạng

sau đây

Dạng 1: f (x )

a g(x)

Cách giải:

+ Nếu g(x) 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu g(x)>0 thì f (x )

a g(x)  f (x) log g(x) a

Dạng 2: af (x ) ag(x )

Cách giải: f (x ) g(x )

a a  f (x) g(x)

Dạng 3:

2 f(x) f(x)

m a  + n.a + p=0

Cách giải: Đặt t a f (x ), t >0 Ta có phương trình bậc hai theo t

giải tìm t thay vào cách đặt tìm x

Sau khi tìm được x kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của

phương trình

C./ CÁC BÀI TOÁN MẪU

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a./

2

x 3x 1

1

3 3

 

 

 

 

b./ 2x 1  2x 2  36

Giải:

a./

2

2

x 3x 1

1

3 3 3 (x 3x 1) 1 x 3x 2 0

x 2 3

 

  



 







 



b./

9.2 36.4 2 16 2 x 4

Bài 2: Giải các phương trình sau

a./ 32x5 5 b./ 5 2x 2x1 50



Giải:

3

5 5

2

log log

b./ 2 1

20

4

2

Bài 3: Giải các phương trình sau

a./ 25x 2 5 x  15 0 b./ 34x-4.32x 127 0

c./ 3x 2 32 x 24

Giải:

a./ 25x 2 5 x  15 0   5x 2 2 5 x  15 0

Đặt t = 5x, t >0 ta cĩ phương trình: t2 – 2t – 15= 0

5 3

(loại)

x

t t

x





  



b./

2

12 3 27 0

12 27 0

1

2

2x

4x 2x+1

Đặt t=3 t>0 ta có : t

;

x

x x

t









c./ 2 2 9  2

3

x

Đặt t  3x 0, ta cĩ

3

3

2

9t

( loại)

x

t

t







 



D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau

a./ 2 3 4

2x  x 4

 ( ĐS: x=1 hay x=2)

b./ 3 2 1

2 3 5x x x 4000

c./ e6x - 3e3x +2 = 0 ( ĐS: x = 0 hoặc ln 2

3

1

d./ 25 6 5 1 5 3 0





 x

x ( ĐS: x=1 hay x=2)

e./ 2 2x+1- 2 x+3 - 64 = 0 ( ĐS: x=3)

Bài 2: Giải các phương trình sau ( nâng cao)

a./ 7 4 3 x  3 2  3x  ( ĐS: x=0 hay x=2 0 log2 32

b./ 52x5 3x x  2 3 2x 0 (ĐS: x=0)

c./ 3x  x 4 0 (ĐS: x=1)

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1./ Định nghĩa:

a a M  M N  M a

Suy ra : loga1 0 , logaa1

2./ Các cơng thức: Cho a0,a1, ,M N 0 ta cĩ

+ aloga M M

+ log ( )a a 

+ loga  b  loga b



 ;  0, b0

+ logaM N  loga Mloga N

+ loga M loga M loga N

N

 

 

 

loga

a

M

b

+ log 1

log

a

b

b

a

 ; 0b1

B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Bước 1: Đặt điều kiện ( Chú ý: Điều kiện cho loga f x là( )

0a1 ; ( )f x 0)

Bước 2:Đưa về cùng cơ số và biến đổi về một trong các dạng sau

Dạng 1: loga f x( )g x( )

Cách giải: log ( )a f x g x( ) f x( )a g x( )

Dạng 2: loga f x( ) log ( ) a g x

Cách giải: loga f x( ) log ( ) a g x  f x( )g x( )

Dạng 3: m log ( ) a f x 2n.log ( )a f x p0

Cách giải: Đặt tlog ( )a f x

Sau khi tìm được x , kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

Chú ý: Cĩ thể đặt t( )x , trong đĩ( )x là một biểu thức chứa logarit

C./ BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a./ log2xlog (2 x3)2 b./ log2xlog2x2 log29x

c./ log (4 x3) log ( 2 x7)2 d./ log16xlog4xlog2xlog2108

Giải:

a./ log2xlog (2 x3)2 (1)

x

2 2

2

1

4

(loại)

( ) log (x x ) x x( )

x

x









b / log2xlog2x2 log29x (1) ĐK: x>0

1

2

x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình cĩ nghiệm là x=3

c./ log (4 x3) log ( 2 x7)2 (1) ĐK: 3 0 3

7 0

x

x x

 



  



 



2 2

1

2

log

16(x3) ( x7)2  x2 2x  1 0 x ( thỏa ĐK)1

Vậy phương trình cĩ nghiệm là x=1

d./ log16xlog4xlog2xlog2108 (1)

ĐK: x>0

7

2

log

x x

Vậy phương trình cĩ nghiệm là : x=16

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a./ log22x2log2 x 2 0 b./ 1log (2 x 1) log x14

c./ lg2x 5lgx lgx3 7 d./ 2 log2x log216x 7 0

Giải:

a./

2

2

2 2

2

2

2 0

1 1

2 0

2 1 2

2

(1) x>0

(1)

t= ta có : t

:

log log

log log ,

log

ĐK

x x

x t

x

x 









4







 Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình cĩ nghiệm là: x=2 và x=1/4

b./ 1log (2 x 1) log x14 (1)

ĐK:

2

2

(*)

log

log ( ) log ( )



Đặt: tlog (2 x 1), ta cĩ : 2 2 0 1

2

t

t t

t





     



2

2

1 1

log ( ) log ( )

x



thỏa (*) Vậy phương trình cĩ nghiệm là : x = 3 và x = 5/4

c./ lg2x 5lgxlgx3 7 (1)

ĐK: x>0 (*)

( ) lg x lgx lgx  lg x lgx 

Đặt: t= lgx , ta cĩ: 2 8 7 0 1 1 107

lg lg

x

t t





Vậy phương trình cĩ nghiệm là: x = 10 và x = 107

d./ 2 log2x log216x 7 0 (1)

0

16 0

x x

x



( ) log x log log x   log x log x  

Đặt: t log2x 0, ta cĩ:

2

2

1

3 0 (loại) log

t

t





 

Vậy phương trình cĩ nghiệm là x=2

D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau

1./ log log log 3

2 1 4

3

1

)

2./  x   x 1 

log 2 1 log 2  2 2 ( ĐS: x = 0)

3./ 2.log (2 x1) log (5 2  x) 1 ( ĐS: x= 3)

3

log xlog xlog x6 ( ĐS: x=27)

Bài 2: Giải các phương trình sau ( nâng cao)

3 27

16log x x 3log x x 0 ( ĐS: x=1)

2./ 4log9x logx3 3 ( ĐS: x3;x 3)

3./ logx216log2x64 3 ( ĐS: 4 31

x=

2 ,

x  )

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Nếu a>1 thì a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

Nếu a>1 và g(x)>0 thì a f x( ) g x( ) f x( ) log ( ) a g x

2./ Nếu 0<a<1 thì a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

Nếu 0<a<1 và g(x)>0 thì : a f x( ) g x( ) f x( ) log ( ) a g x

3./ Cách giải bất phương trình bậc nhất và bậc hai.

Chú ý: Nếu g(x)0 thì: a f x( ) g x( ) cĩ nghiệm x R

B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bước 1 Đặt điều kiện

Bước 2 Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau:

Dạng 1: a f x( ) g x( ) (1)

Cách giải:

Nếu g(x)>0 thì 1 ; a>1

; 0<a<1

( ) log ( ) ( )

( ) log ( )

a a

f x g x

f x g x





 



 Giải tìm x kết hợp với ĐK ta có nghiệm

Nếu g(x) 0 thì (1)  x thỏa ĐK

Dạng 2: a f x( ) a g x( ) (1)

Cách giải: 1 ; a>1

; 0<a<1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x





 



 Giải tìm x kết hợp với ĐK ta có nghiệm

Dạng 3: m a. f x( ) 2 n a f x( ) p0

Cách giải: Đặt t= af(x) >0 Ta có bất phương trình bậc hai theo t

Giải tìm t , suy ra x, kết hợp ĐK ta có nghiệm

C./ BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Giải các bất phương trình sau

 

1

2 2

1

b./ 3 /

./

x x

x x

a

c











Giải:

a./

1

1

3

6 3

13

x









b./

 3 2 9 2

x

x

x

c./

 5 2 x1 5 2 x23 (1)

Ta có  5 2  5 2 1 5 2 1  5 2 1

5 2





Vậy (1)  5 2 x1 5 2 x23 x1x2 3

 x2 x 2 0    1 x 2

Bài 2: Giải các bất phương trình sau

2

2 25 7 10 0

2x+1 x

b 3 c./ 5.4

Giải:

5

Đặt t   Ta có: 5x 0 t2 26t25 0  1 t 25

1 5x 25 5 5x 5 0 x 2

10 3 3 0

2x+1

b 3./  x    3 3. x 2 10 3 x  3 0

Đặt t   Ta được: 3x 0

3

3

2 25 7 10 0

x

Chia hai vế cho 4x  ta được: 0

2

. x  x

       

Đặt t = 5

2

x

 

 

  >0 ta được : 2

5 1

2

1

2

x

x

t t

x t

  









 







  



D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các bất phương trình sau

1./ 2 2 1 21





x

ĐS: x>-1 2./ 2

1 5x x 25

  ĐS: -1<x<0 hay 1<x<2

3./

2

1

2 4

x

 



 

  ĐS: x<-1 hay -1/2<x<0

4./ 4x  2x  2< 0 ĐS: x<1

5./ 3.7x 1 7x 4 0

6./ 3x 9.3x 10 0

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Các công thức như phần phương trình logarit, chú ý thêm các công thức

sau

1./ Nếu a>1 và f(x)>0 thì: log ( )a f x g x( ) f x( )a g x( )

Nếu a>1, f(x)>0 và g(x)>0 thì: loga f x( ) log ( ) a g x  f x( )g x( )

2./ Nếu 0<a<1 và f(x) thì: log ( )a f x g x( ) f x( )a g x( )

Nếu 0<a<1, f(x)>0 và g(x)>0 thì: loga f x( ) log ( ) a g x  f x( )g x( )

B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bước 1: Đặt điều kiện , chú ý ĐK của loga f x là ( ) 0 1

0 ( )

a

f x

 









Bước 2: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau

Dạng 1: log ( )a f x g x( ) (1)

Cách giải:

; 0<a<1

( ) ( )

( ) ( )

( )

g x

g x

f x a

f x a



 





Giải tìm x kết hợp với ĐK ta được nghiệm

Dạng 2: log ( ) log ( )a f x  a g x (1)

Cách giải:

1 ; a>1

; 0<a<1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x





 



Giải tìm x kết hợp với ĐK ta có nghiệm

Dạng 3: m log ( ) a f x 2n.log ( )a f x  p (1)0

Cách giải: Đặt t= loga f x Ta có bất phương trình: ( ) mt2nt p  0

Giải bất phương trình tìm t, suy ra x, kết hợp ĐK ta được nghiệm

C./ BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Giải các bất phương trình sau

a./ log (0 5, x1) log ( 2 2 x) b./ 1 2

2

log (x  x)

c./ log (5 x2) log ( 5 x 2) log ( 5 4x1)

Giải:

a./ log (0 5, x1) log ( 2 2 x) (1)

ĐK: 1 0 1 1 2

x

2

2

log

( ) log (x ) log ( x) log ( x) log (x )

x

Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là : 1 5 1 5

 

b./ 1 2

2

log (x  x) (1)

0

x (*)

x x

x

 







3

( ) x  x   x  x     x  

 

Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm:

97 7

2

97 7

2 0

2

x x



 







  



c./ log (5 x2) log ( 5 x 2) log ( 5 4x1) (1)

ĐK:

4

(*)













( ) log x x log ( x ) log (x ) log ( x )

Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là: 2 < x < 5

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a./ log20 5, xlog0 5, x2 b./ 2

2

2 1

log

log

x

x



 c./ log2x 13logx36 0

Giải:

a./ log20 5, xlog0 5, x2 (1)

ĐK: x >0 Đặt : tlog0 5 , x Ta có bất PT:

0 5 2

4

0 5

0 5

0 5

,

log ,

, ,

x

x

x x













Kết hợp ĐK ta có nghiệm là 0 5,  x 4

b./ 2

2

2 1

log

log

x

x



 (1)

ĐK:

2

log



Đặt : tlog2x ta có :

2 2

2

; ;

t

t



  

2

2

4 2

1

2

log

log

x x













Kết hợp ĐK (*) ta có nghiệm là :

4 1

2 2

x x







  



c./ log2x 13logx36 0 (1)

ĐK: x >0 (*)

Đặt tlogx Ta có t2 13t36 0

4 9

log log



Kết hợp ĐK (*) Ta có nghiệm là

4 9

10

x x

  



 



D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các bất phương trình sau

log (  x) log x  x ĐS: x<2

3

18 log xlog xlog x

ĐS: x<39

1

2

4./ ln 2 2

2

e  log (x 3x) 0 ĐS: 4 x  3 ; 0 < x 1

5./

2

2

1 1

log

x



log x  x  log ( x  x ) ĐS: 2  x 1 hay 1 1

2 x 2

  

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các công thức về lũy thừa, logarit

2 Cách tìm giao của hai tập hợp số

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Kết hợp các phương pháp giải phương trình mũ – logarit với các

phương pháp giải hệ phương trình đại số như phương pháp thế, cộng

đại số,… để giải.Chú ý các cách giải thường gặp sau đây

+ Từ một phương trình trong hệ, giải tìm ẩn này theo ẩn kia, thay

vào phương trình còn lại

+ Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đại số

C BÀI TẬP MẪU

Giải các hệ phương trình sau:

1

lg lg

x y

x y

 





3

2

log log log log

x y







3./ 3 21 2 31 6

x y







1

log log ( ) log ( )

x y

x y x y









Giải

1./ ĐK: 0

0 (*)

x

y











7

1

lg lg

x y

x y

 







2 5

2

x y

x y x y

y

 







 



 



Thỏa ĐK (*)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (5;2) và (2;5)

2./

3

2

log log







ĐK: 0

0 (*)

x

y









3

2

log log log log

x y







log log

x y



 



4

log

log

u x

v y











ta có hệ phương trình 5 3 8

u v

u v





 



4 4

u v





 





2

4

log

log







Thỏa ĐK(*) Vậy hệ phương trình có nghiệm là (16; 256)

3./ 3 21 2 31 6

x y







3 2 2 3 6

2 2 3 3 19



 



x

y

u

v









2

x

y

x y











Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 2; 2)

1

log

log ( ) log ( )

x y

x y x y









0 (*)

x y

x y

 





 



2

1

log

log ( ) log ( )

x y

x y x y









3

1 1

3 1

y y

x y

x y





2 1

x y





 



 Thỏa (*) Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 2; 1)

D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các hệ phương trình sau:

x

y

x y

y x







ĐS: (5;5)

2./

1

x

x

y

y y















ĐS: (0;1) và (2;4)

3./

0

x y







ĐS: (1;1) và (9;3)