Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , tuy nhiên phương pháp này không đề cập trong chương trình mới hiện nay... Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục..[r]
Trang 1ĐỀ 01
Thi vào thứ hai hàng tuần tại A7 Bà Triệu – Đà Lạt
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : y x3 3x2 4 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1
2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số 1 tiếp xúc với đường tròn
C :x m 2 y m 12 5
Câu II: ( 2 điểm )
1 Giải phương trình : 5 1
2 Giải phương trình : 3 2cos 2xcosx2sinx3 2cos x 0
Câu III: ( 1 điểm ) Tính giới hạn : cos 61
4
lim ln 1 cos 2 x
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,
SA ABCD và SA a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Giả sử N là giao điểm của đường thẳng SCvà AHK Chứng minh rằng AN HK và tính thể tích khối chóp S AHNK Câu V: ( 1 điểm )
Cho 3 số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng :
2
a b c
b c a c a b a b c
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 )
1.Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm )
1 Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng P :x 4y 5 0 và
Q : 3x yz 2 0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng R : 2x z 7 0
2 Tìm trên giao tuyến của hai mặt phẳng P , Q ở câu 1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng S : 2x 2yz 7 0 một khoảng bằng 2?
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập A 0;1;2; 3;4;5,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3?
2 Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1 Viết phương trình mặt phẳng P qua O,vuông góc với mặt phẳng Q :x y z 0 và cách điểm
1;2; 1
M một khoảng bằng 2
2 Cho hai đường thẳng 1
3 7
1 3
và 2
7
9
.Lập phương trình đường thẳng d đối xứng
với đường thẳng d1 qua d2
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho số phức z 1 3i Hãy viết dạng lượng giác của số phức z5
GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh – A7 Bà Triệu Đà Lạt , 42B/11 Hai Bà Trưng Đà Lạt
Trang 2Đáp án đề thi
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : y x3 3x2 4 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 Học sinh tự làm
2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số 1 tiếp xúc với đường tròn
C m:x m 2 y m 12 5
Đồ thị hàm số 1 có cực tiểu A 2;0 , cực đại B0;4 Phương trình đường thẳng nối hai cực trị của hàm số
C m có tâm I mm m; 1, bán kính R 5
Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn C m khi
m
I AB
Câu II: ( 2 điểm )
1 Giải phương trình : 5 1
Điều kiện : x 0
Bất phương trình cho viết lại : 1 1
2
x
1
2
t
t
Điều kiện t 2 , do đó 3
2
t
1
0
0
0
x
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình cho là : 1
4
2 Giải phương trình : 3 2cos 2xcosx2sinx3 2cos x0 1
1 2 3 1 sin 2x 3 cosx 2 3 3.sinx 2 sin cosx x 0
2
2 3 sin x 3.sinx 3 cosx 2 sin cosx x 0
3.sinx 2 sinx 3 cosx 3 2 sinx 0
3 2 sinx 3.sinx cosx 0
Lop12.net
Trang 3
3
1
1
6
n
x x
Câu III: ( 1 điểm ) Tính giới hạn : cos 61
4
lim ln 1 cos 2 x
1 cos 6
2
x
x x
x
1 cos 6
2
2
x
x x
cos 6
0
ln 1 sin 2 1
x
t
t
sin 2 .2
6
t
t
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,
SA ABCD và SA a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Giả sử N là giao điểm của đường thẳng SCvà AHK Chứng minh rằng AN HK và tính thể tích khối chóp S AHNK
Chứng minh tứ giác AHNK có 2 đường chéo vuông góc
là AN HK
3
a
Hoặc dùng tỷ số thể tích :
3
SAHNK ABCD
Trang 4Câu V: ( 1 điểm )
Cho 3 số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng :
2
a b c
b c a c a b a b c
Phân tích bài toán :
Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng :
0
Giả sử 0 a b c Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b c
Từ đó gợi mở hướng giải :
3
3 3
a
3
3
1 4 1 2
a a a
Tương tự cho các trường hợp khác
Giải :
a
a
b
b
c
c
Cộng vế theo vế ta được :
2
a b c
b c a c a b a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi : a b c 0
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 )
1.Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm )
1 Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng P :x 4y 5 0 và
Q : 3x yz 2 0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng R : 2x z 7 0
Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng P và Q nên phương trình đường thẳng d có dạng
:
d
hay
5 4 :
13 13
d đi qua điểm M5;0; 13 và có vtcp u 4;1;13, mặt phẳng R có vtpt n R 2; 0; 1
Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M5;0; 13 có vtpt là n u n ; R 1;22; 2
nên phương trình có dạng
Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , tuy nhiên phương pháp này không đề cập trong chương trình mới hiện nay
Lop12.net
Trang 52 Tìm trên giao tuyến của hai mặt phẳng P , Q ở câu 1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng S : 2x 2yz 7 0 một khoảng bằng 2?
Giao tuyến của hai mặt phẳng P , Q là
5 4 :
13 13
5 4 ; ; 13 13 ,
5
M S
Theo bài toán ;
5
M S
t t
t
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập A 0;1;2; 3;4;5,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3?
Cách 1: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: a a a a a a 1 2 3 4 5, 1 0
Số cách chọn a1có 5 cách Số cách chọn a a a a2 3 4 5 là số chỉnh hợp chập 4 của 5:A54.Suy ra : có 5.A 54 600 (số)
Trong 600 số trên thì: Số không có chữ số 0 được lập từ tập B 1;2;3; 4;5 là số chỉnh hợp chập 4 của 5: 4
5 120
A (số)
Số không có chữ số 3 được lập từ tập A 0;1;2; 4;5:Số cách chọn a có 1 0 4cách Số cách chọn a a a a2 3 4 5
là số hoán vị P4.Suy ra : có 4.P 4 96 (số)
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 600- (120 + 96) = 384 (số)
Cách 2:
Số cách chọn số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3,chính là số cách xếp 5 chữ số từ tập A vào 5 ô liên tiếp nhau
Vì nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 nên ta chọn số 0 và 3 xếp trước
Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 4 cách xếp
Số 3 có 4 cách xếp vào 4 vị trí còn lại.Số cách xếp 3 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 3 của 4 : A43 Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 4.4A43 384 (số)
2 Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1 Viết phương trình mặt phẳng P qua O,vuông góc với mặt phẳng Q :x y z 0 và cách điểm
1;2; 1
M một khoảng bằng 2
Mặt phẳng P qua O nên có phương trình: P :ax by cz 0,a2 b2 c2 0, vtpt : n a b c; ; 0 Mặt phẳng Q có vtpt m 1;1;1
Vì P Q nên nm n m 0 a b c 0 1
Trang 6
Mặt phẳng P cách điểm M 1;2; 1 một khoảng bằng 2 khi
hay
2 a 2b c 2 2a2 b2 c2 3
Nếu c 0thì 1 a , thay vào b 3 b 0 loại vì a2 b2 c2 0
Nếu c 0, chia cả 2 vế của phương trình 1 vế cho c , đặt u a,v b
ta được
u v u v
Chia cả 2 vế của phương trình 3 vế cho c ,ta được 2 2 u 2v 12 2u2 v2 12 5
Từ 4 , 5 , ta tìm được v 0 hoặc 8
3
c
Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , tuy nhiên phương pháp này không đề cập trong chương trình mới hiện nay
2 Cho hai đường thẳng 1
3 7
1 3
và 2
7
9
.Lập phương trình đường thẳng d đối xứng
với đường thẳng d1 qua d2
- Lấy 2 điểm A B, phân biệt thuộc d1
- Xác định tọa độ các điểmA B1, 1 đối xứng với A B, qua d2
- d chính là đường thẳng qua A B1, 1
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho số phức z 1 3i Hãy viết dạng lượng giác của số phức z5
Dạng lượng giác của z là 2 cos sin
Theo công thức Moa-vrơ, ta có dạng lượng giác của
5
z là
z i i
Lop12.net