Ôn tập Hình học 12 - Đường thẳng

Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D,G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của ∆ABC... Nguyễn Phú Khánh.[r]

Dạng 2 Đường thẳng

Viết phương trình của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định

- Điểm A x ; y0 0

- Một vectơ pháp tuyến n a; b của

Khi đó phương trình tổng quát của là a x x0 b y y0 0

Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định

- Điểm A x ; y0 0

- Một vectơ chỉ phương u a; b của

Khi đó phương trình tham số của là 0

0

x x at

, t

y y bt

.

Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định

- Điểm A x ; y0 0

- Một vectơ chỉ phương u a; b ,ab 0 của

Phương trình chính tắc của đường thẳng là x x0 y y0

Chú ý:

Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại

Phương trình đường thẳng qua điểm M x ; y0 0 có dạng

: a x x0 b y y0 0 với a2 b2 0

Phương trình đường thẳng đi qua A a; 0 , B 0; b với ab 0 có dạng x y 1

a b

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

d : a x b y c1 1 1 1 0; d : a x b y c2 2 2 2 0

Ta xét hệ 1 1 1

a x b y c 0

a x b y c 0 I

+ Hệ I vô nghiệm suy ra d1 d2

+ Hệ I vô số nghiệm suy ra d1 d 2

+ Hệ I có nghiệm duy nhất suy ra d1và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa

độ giao điểm

Chú ý: Với trường hợp a b c2 2 2 0 khi đó:

+ Nếu 1 2

b b thì hai đường thẳng cắt nhau

+ Nếu 1 2 1

b b c thì hai đường thẳng song song nhau

+ Nếu 1 2 1

b b c thì hai đường thẳng trùng nhau

Ví dụ 1

1 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho các đường thẳng

d : x y 3 0, 1 d : x y 4 0, d : x 2y 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên 2 3 đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3 d bằng hai lần 1 khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2

2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d : 3x y 5 0 , 1 d : 2

3x y 1 0 và điểm I 1; 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và

cắt d , d lần lượt tại A và B sao cho AB 2 2 1 2

3 Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh

C 3; 1 và phương trình của cạnh huyền là 3x y 2 0

Lời giải

1 Ta có M d3 M 2m;m Suy ra d M,d1 3m 3,

m 4

d M,d

2

Theo giả thiết ta có: d M,d1 2d M,d2 3m 3 2.m 4

3m 3 2m 8 m 11

Với m 11 M 22; 11

Với m 1 M 2;1

2 A d1 A a; 3a 5 , B d2 B b; 3b 1

IA a 1; 3a 3 0, IB b 1; 3b 1

I, A, B thẳng hàng IB kIA b 1 k a 1

3b 1 k 3a 3 Nếu a 1 b 1 AB 4 (không thỏa mãn)

a 1

2

2

5t 12t 4 0 t 2 hoặc t 2

5 Với t 2 b a 2 b 2,a 4 : 5x y 3 0

3 Gọi hai đỉnh còn lại là A, B Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình

cạnh huyền nên tam giác ABC vuông cân tại C

Gọi I là hình chiếu vuông góc của C lên cạnh huyền ( I là trung điểm của AB ) Phương trình đường thẳng CI là x 3 y 1 x 3y 0

Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: x 3y 0 I 3 1;

A, B nằm trên đường tròn tâm I , bán kính CI 72

5 có phương trình:

Toạ độ hai điểm A, B là nghiệm của hệ: 2 2

3x y 2 0

Giải hệ ta được x; y 3 19; , 9; 17

Vậy, toạ độ hai đỉnh cần tìm là : x; y 3 19; , 9; 17

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC

1 Xác định tọa độ đỉnh C , biết H 1; 1 hình chiếu vuông góc của C trên đường

thẳng AB , đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y 1 0

2 Xác định tọa độ đỉnh B,C Phương trình đường trung trực d của cạnh BC , đường

trung tuyến CC' lần lượt là x y 6 0 và 2x y 3 0

3 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh AB là

x 2y 0, điểm I 4; 2 là trung điểm của AB , điểm M 4;9

2 thuộc cạnh BC , diện tích tam giác ABC bằng 10 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ

điểm B lớn hơn hoặc bằng 3

Lời giải

1 Kí hiệu d : x y 2 0, 1 d : 4x 3y 1 0 2

Gọi H' là điểm đối xứng với H qua d Khi đó H' AC 1

là đường thẳng đi qua H và vuông góc với d , nên có: : x y 2 0 1

Gọi I là giao điểm của d và nên tọa độ I thỏa: 1 x y 2 0 I 2;0

x y 2 0

Vì I là trung điểm của HH' nên H' 3;1

Đường thẳng AC đi qua H' và vuông góc với d nên có phương trình : 2

3x 4y 13 0

AC cắt d tại A Tọa độ A là nghiệm hệ: 1 x y 2 0 A 5;7

3x 4y 13 0

Do CH đi qua H và vuông với AH , suy ra phương trình của CH :3x 4y 7 0

Tọa độ điểm C là nghiệm hệ : 3x 4y 7 0 C 10 3;

2 Gọi C c;2c 3 CC' Khi đó: phương trình BC : x y c 3 0

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra

3 c x

M :

y 2

B 3 2c;6 c C' 4 c;4 c

2

Vì C' CC' nên 2 4 c 4 c 3 0

2

3c 7 0 c 14

Vậy, B 19 4; , C 14 37;

3 3 3 3 là tọa độ cần tìm

3 Gọi tọa độ điểm B 2y ; yB B , yB 3 A 8 2y ; 4 yB B AB 20 yB 2 Gọi tọa độ điểm C x ;10 2xC C CI 5 4 xC

Diện tích tam giác ABC là : SABC 1CI.AB 10 4yB 2xC x yC B 8 2

2

x y 4y 2x 6 1 hoặc x yC B 4yB 2xC 10 2

Vì

2x k y

2x y 6y 5x 16 0 3

2x y 6y 5x 16 0 y 1 2 không thỏa yB 3

C

Vậy, tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là: A 2;1 , B 6; 3 , C 2; 6

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC , biết:

1 A 2;1 , B 2; 3 , C 1; 5 Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D,G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của ABC

2 A 4; 1 , đường cao kẻ từ B có phương trình : 2x 3y 0, trung tuyến đi qua đỉnh

C có phương trình ' : 2x 3y 0 Lập phương trình các cạnh của ABC

Lời giải

1 Gọi D x ; yD D là chân đường phân giác hạ từ A của ABC

Ta cóAB 2 2 2 3 12 2 5 , AC 1 2 2 5 12 3 5

3 3 là trọng tâm của ABC

Ta có DG 19; 2

15 15 suy ra đường thẳng DG nhận u 19; 2 làm VTCP nên có

phương trình là

1

3 1

3

2 Ta có AC đi qua A 4; 1 và vuông góc với nên nhận u 3; 2 làm VTPT nên

có phương trình là 3 x 4 2 y 1 0 hay 3x 2y 10 0

Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ : 3x 2y 10 0 x 6 C 6; 4

Giả sử B x ; yB B suy ra trung điểm I xB 4 y; B 1

2 2 của AB thuộc đường thẳng ' do đó : 2.xB 4 3.yB 1 0

Mặt khác B suy ra 2xB 3yB 0 2

Từ 1 và 2 suy ra B 5; 5

4 6

Ta có AB 21 1; , BC 31 19;

Phương trình đường thẳng AB :

21

4 1

6 , BC :

31

4 19

6

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

tâm I 1;0

2 Phương trình đường thẳng AB ;à : x 2y 2 0 và AB 2AD Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D ; biết rằng A có hoành độ âm

Lời giải Cách 1:

Dựng IH AB AD 2IH AH 2HI 2d I;AB 5

Xét tam giác vuông AIH : AI2 AH2 HI2 25

4 Gọi A a;b , a 0 thì b a 2

2 Do A AB Nên

Tương tự B 2;2 Dựa vào tính chất trung điểm tìm được C 3;0 ,D 1; 2

Cách 2:

x 2 x

Gọi A a;a 1 ,

2

b

B b; 1 ,

2 a 0, a b I là trung điểm AC và BD nên a

C 1 a; 1 ,

2

b

2

Từ tính chất hình chữ nhật : !

" 2

A 2;0 , B 2;2 , C 3;0 , D 1; 2

Cách 3: Khoảng cách từ I đến AB là IH d I;AB 5 AD 2IH 5

2

Và IA IB 5 A,B

2 là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và

bán kính R 5

2 Tọa độ A,B là nghiệm hệ

2

x 2y 2 0

y 0 A 2;0 , B 2;2 , C 3;0 , D 1; 2 là tọa độ cần tìm

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD , có

tâm I 5 5;

2 2 , phương trình cạnh AB là : 4x 3y 5 0 Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng C có hoành độ dương

Lời giải

B b; b

Do I là giao điểm 2 đường chéo C 5 a; a4 10 ,

4 10

D 5 b; b

Theo tính chất hình vuông :

BI AC BI.AC 0

I

Mà BI 5 b; b4 5 ;AC 5 2a; a8 5

Từ

2

50b 50b 125 2a 2a 5

4 Vậy,

A 2; 1 ,B 1;3 ,C 3;6 ,D 6;2

Mà xC 0 A 2; 1 ,B 1;3 ,C 3;6 ,D 6;2 là tọa độ cần tìm

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC vuông tại A ,

phương trình đường thẳng BC là : 3x y 3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

Lời giải Cách 1 : Vì B BC #Ox nên B 1;0

BC : y 3x 3 hệ số góc của BC là k tanB 3

hay B 600 C 30 0

Giả sử A a;0 ,C a; 3a 3 BC

Khi đó : AB r cotA cotB

2 2 hay a 1 2 1 3

TH1:

A 2 3 3;0

C 2 3 3;6 2 3

Khi đó G 7 4 3 6 2 3;

TH2:

A 2 3 1;0

C 2 3 1; 6 2 3

Khi đó G' 1 4 3; 6 2 3

Cách 2 : Phương trình đường d1 phân giác trong của góc A là : y x a Phương trình đường d2 phân giác trong của góc B là : y 3x 3

3 3 Tọa độ tâm I1 là giao điểm d , d1 2 nên I 1 3a a 1;

Theo giả thiết : d I;AB d I;Ox 2 tìm a ycbt ( Cách 1 )

Cách 3: ta có AB a 1 ,AC 3 a 1 ,BC 2 a 1

!

"

2

a 1 S

3 a 1 3 a 1

P

2

* a 2 3 3 G 7 4 3 6; 3

* a 2 3 1 G 4 3 1; 6 2 3

Cách 4 : Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC vì r 2 y $2

Phương trình 0 x 1 $ x 1 $

* Nếu A và O khác phía đối với B x 1 2 3 và d I;AC 2 a x 2

7 4 3 6 3

* Nếu A và O cùng phía đối với B x 1 2 3 a x 2

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho ABC với AB 5 , đỉnh C 1; 1 , đường thẳng AB : x 2y 3 0 và trọng tâm G của ABC thuộc đường thẳng x y 2 0 Xác định tọa độ A, B của tam giác

2 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x 2y 1 0 , đường chéo

BD : x 7y 14 0 và đường chéo AC đi qua điểm E 2;1 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Lời giải

1 Gọi I là trung điểm AB , G x ; yG G là tọa độ trọng tâm ABC

2

3

G

G

2x 1 x

3 2y 1 y

3

G x y 2 0 nên có: 2x 1 2y 1 2 0

Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ:

x 2y 3 0

I 5; 1 2y 1

2x 1

2 0

Gọi

2

2

Hơn nữa A x 2y 3 0 suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

hoặc

A A

3 y 2

Vậy, A 4, 1 , B 6; 3

2 2 hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm

2 B AB#BD toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:

B 7; 3

Giả sử: A 2a 1; a AB : 2 2y 1 0,

D 7d 14; d BD : x 7y 14 0

AB 6 2a; 3 a , BD 7d 21; d 3 , AD 7d 2a 15; d a

Vì AB AD AB.AD 0 3 a 15d 5a 30 0 a 3 ( không thỏa ) hoặc 3d a 6 0

a 3d 6 AD d 3; 6 2d Hơn nữa: BC xC 7; yC 3

ABCD là hình chữ nhật nên

EA 6d 13; 3d 7 , EC d 2; 8 2d và d 3

Lại có: E 2;1 AC EA, EC cùng phương

2

d 2 a 0 A 1; 0 , B 7; 3 , C 6; 5 , D 0; 0

Vậy, A 1; 0 , B 7; 3 , C 6; 5 , D 0; 0 là các đỉnh của hình chữ nhật cần tìm

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng

d : x y 1 0, 1 d :3x y 5 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD , 2 biết I 3;3 là giao điểm của hai đường chéo, hai cạnh của hình bình hành nằm trên hai đường thẳng d ,d và giao điểm của hai đường thẳng đó là một đỉnh của 1 2 hình bình hành

Lời giải

Tọa độ giao điểm của d và 1 d là nghiệm của hệ: 2 x y 1 0 x 1

3x y 5 0 y 2

Ta giả sử A 1;2 và AB d ,AD d , suy ra C 7;4 1 2

Gọi d là đường thẳng đi qua I và

song song với AB , suy ra phương

trình d : x y 6 0

Tọa độ giao điểm của d và AD :

1 x

y 4

M là trung điểm của AD Khi đó D 3 19;

2 2 , suy ra

9 7

B ;

2 2

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x 3y 5 0, đường chéo BD :

x y 1 0 và đường chéo AC đi qua điểm M 9; 2 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

2 Cho 3 đường thẳng d :x 3y1 0, d :2x y 5 0,2 d : x y3 0 Tìm tọa độ các điểm A d , B d , C, D d để tứ giác ABCD là một hình vuông 1 2 3

Lời giải

1 Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình: x 3y 5 0 x 4

Gọi A 5 3a;a AB MA 4 3a; 2 a nAC 2 a; 4 3a

Ta có: nAB 1; 3 , nBD 1; 1 , nAC 2 a; 4 3a lần lượt là vectơ pháp tuyến của AB, BD, AC Hơn nữa ABD BAC cos ABD cos BAC

Mà cos ABD 2 ,

10 a 1 cos BAC

Nên có :

5

, bình phương 2 vế, rút gọn ta được

phương trình : a2 2a 3 0 a 3 hoặc a 1

% Với a 3 không thỏa vì AC BD

% Với a 1 A 2;1 Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB nên có phương trình : 3x y 5 0

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ : x y 1 0 x 1

Gọi I 3 1;

2 2 là trung điểm BD do đó I cũng là trung điểm AC C 5; 0

Vậy, A 2;1 , B 4; 3 , C 5; 0 , D 1; 2 là tọa độ cần tìm

2 Gọi B b; 5 2b d2 Đường thẳng 1 qua B và vuông góc d cắt 3 d tại C 3 Phương trình 1: x y b 5 0

Tọa độ của C là nghiệm hệ x y 0 C 5 b 5 b;

Đường thẳng AB d nên có phương trình x y 5 3b 0 3

Tọa độ A là nghiệm hệ x y 5 3b 0 A 9b 15 3b 5;

Đường thẳng 2 qua A và vuông góc d cắt 3 d tại 3 D

Phương trình 1: x y 6b 10 0

Tọa độ của D là nghiệm của hệ x y 0 D 3b 5; 3b 5

x y 6b 10 0 ABCD là hình vuông AD CD 2b2 9b 10 0 b 2 hoặc b 5

2

b 2 A ; , B 2;1 , C ; , D 1;1

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho đường thẳng d : x 2y 1 0, d' : 3x y 7 0 cắt nhau tại I Viết phương trình đường thẳng đi qua M 1; 2 , đồng thời cắt 2 đường thẳng d và d' lần lượt tại A và B sao cho AI 2AB

2 Cho các điểm A 1; 0 , B 2; 4 ,C 1; 4 , D 3; 5 và đường thẳng d : 3x y 5 0 Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau

Lời giải

1 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

x 2y 1 0

3x y 7 0

I 3; 2

Lấy H 1; 0 d và K d' K a; 7 3a sao cho IH 2KH

Ta có, HI 4; 2 và HK 1 a; 7 3a

Mà IH 2KH IH2 KH2 20 2 a 1 2 7 3a 2& a 2

Vậy, đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương là

KH 3;1 có phương trình: x 1 y 2

2 M x; y d 3x y 5 0 AB 5,CD 17

Ta có: AB 3; 4 nAB 4; 3 phương trình đường thẳng AB : 4x 3y 4 0

CD

CD 4;1 n 1; 4 phương trình đường thẳng CD : x 4y 17 0

Tọa độ M cần tìm là nghiệm của hệ:

3x y 5 0

5x y 13 0

7

M ; 2 ,M 9; 32 3

Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 96 Gọi M 2; 0 là trung điểm của AB,

phân giác trong của góc A có phương trình: d : x y 10 0 Đường thẳng AB

tạo với d một góc ( thỏa mãn cos 3

5 ( Xác định của các đỉnh của tam giác

ABC

2 Cho 3 điểm A 1;1 , B 3; 2 , C 7;10 Viết phương trình đường thẳng đi qua

A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C tới đường thẳng lớn nhất

Lời giải

1 M' đối xứng với M 2; 0 qua d : x y 10 0 M' 10; 8

Đường thẳng qua M 2; 0 với vectơ pháp tuyến n a; b có phương trình:

a x 2 by 0 tạo với d : x y 10 0 một góc

(

cos

b 7a 5

(

% Với a 7b AB : 7x y 14 0

AB cắt d tại A A 3; 7 và B đối xứng A qua M B 1; 7

C 17; 9

% Với b 7a AB : x 7y 2 0

AB cắt d tại A A 9; 1 và B đối xứng A qua M B 5;1

C 11; 15

Vậy, A 3; 7 , B 1; 7 , C 17; 9 hoặc A 9; 1 , B 5;1 ,C 11; 15 là tọa độ cần tìm

2 % Nếu đường thẳng cắt đoạn BC tại 1 điểm M Khi đó:

d B, d C, )BM CM BC Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng vuông góc với BC

% Nếu đường thẳng không cắt đoạn BC Gọi I 5;6 là trung điểm BC

Ta có: d B, d C, )2d I, )2AI Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng vuông góc với AI

Vì ABC nhọn nên 2AI BC , do đó d B, d C, lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến AI 4; 5

Đường thẳng cần tìm: 4 x 1 5 y 1 0 hay 4x 5y 9 0

Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng :

x 2y 3 0 và hai điểm A 3;2 , B 1;4

1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA MB nhỏ nhất

2 Viết phương trình đường thẳng d' sao cho đường thẳng d :3x 4y 1 0 là đường

phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d và d'

Lời giải

1 Nhận thấy A và B nằm về một phía so với đường thẳng Gọi A' là điểm đối xứng với A qua Khi đó với mọi điểm M thuộc , luôn có: MA MA'

Do đó: MA MB A'M MB A'B Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M A'B# Vì A'A nên AA' có phương trình: 2x y 8 0

Gọi H #AA' H : 2x y 8 0

x 2y 3 0

19

x

19 2

y

5

Vì H là trung điểm của AA' nên

23

23 6

5

Suy ra A'B 28 26;

5 5 , khi đó phương trình A'B : 13x 14y 43 0

Tọa độ M thỏa hệ phương trình:

16 x

y 10