a/ Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. b/ Xác định tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC .suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng... 2/ Viết phương trình các
Trang 1CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
$1 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
1/ Tọa độ của vectơ:
* Định nghĩa : →
u = (x; y) ⇔ →
u = x→
i + y→
j
* Các tính chất : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho hai vec tơ →
u= (x ; y) , →'
u = (x’; y’)
ta có:
a/ →
u + →'
u = (x + x’; y+ y’) b/ k→
u = ( kx ; ky ) c/ tích vô hướng →
u.→'
u = xx’ + yy’
d/ → 2
u = x2 + y2 , do đó | →
u | = x2 +y2
e/ cos (→
u ; →'
u ) = 2 2 ' 2 ' 2
' '
y x y x
yy xx
+ +
+ f/ →
u ⊥ →'
u ⇔ xx’ + yy’= 0
g/ →
u cùng phương với →'
u ⇔
'
'
yy
x
x
= xy’ – x’y = 0
h/ →
u= →'
u ⇔
=
=
'
'
y y
x x
2/ Tọa độ của điểm :
*Định nghĩa : M ( x ; y) ⇔OM = ( x ; y ) ⇔ OM = x→
i + y→
j
* Trong hệ tọa độ Oxy ,cho A ( xA; yA) , B( xB ; yB ) thì :
a/ AB = ( xB - xA ; yB - yA )
b/ AB = (x B −x A) 2 + (y B−y A) 2
c/ MA k MB uuur = uuur ⇔
−
−
=
−
−
=
k
ky y y
k
kx x x
B A M
B A M
1
1
, (k ≠ 1)
d/ M là trung điểm đoạn AB ⇔
+
=
+
=
2
2
B A M
B A M
y y y
x x x
* Công thức tính diện tích tam giác ABC với : ABuuur = (x1;y1), ACuuur = ( x2;y2) thì S = 21 | x1y2 – x2y1|
Trang 2
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỚNG GẶP:
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho →
a = ( 5 ; 3 ) , →
b = ( 4 ; 2 ) , →
c = ( 2 ; 0) 1/ Tìm tọa độ của vectơ →
u biết →
u = 2 →
a + 4 →
b – 3 →
c 2/ Hãy biểu diển vectơ →
c theo các vetơ →
a và →
b Bài 2 : Tính góc α giữa các vectơ :
1/ →
a = ( 5 ; 1 ) , →
b = ( 3 ; 2) 2/ →
a = ( 3 ; - 2 ) , →
b = ( 2 ; 3 )
Bài 3 : Cho A ( 1 ; 1) , B( 2 ; 3 ) , C ( 5 ; -1)
1/ Tính AB , BC , CA rồi suy ra tam giác ABC vuông
2/ Tính diện tích tam giác ABC Suy ra độ dái dường cao vẽ từ A
Bài 4 : cho →
a =( 5 ; 2 ), →
b =( 7 ; -3).Xác định tọa độ vectơ →
u thỏa mãn điều kiện :
=
=
→
→
→
→
30
38
u b
u
a
II Tìm tọa độ của một điểm thỏa điều kiện cho trước:
• G là trọng tâm tam giác ABC ⇔
+ +
=
+ +
=
3
3
C B A G
C B A G
y y y y
x x x x
• ABCD là hình bình hành ⇔ − → − →
=BC AD
•E là điểm đối xứng của A quaB ⇔ B là trung điểm của đoạn AE
• I là tâm của đường trò ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ AI = BI = CI
• H là trực tâm của tam giác ABC ⇔
=
=
→
→
→
→
0
0
AC BH
BC
AH
• A’ làhình chiếu vuông góc của A trên BC ⇔ − → − →
⊥BC AA' và − →
'
BA cùng phương với − →
BC BÀI TẬP:
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; 23 ), D (- 2; 2)
a/ Chứng minh rằng A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng
b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B
c/ Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành
d/ Tìm tọađộ trọng tâm G của tam giác ABC
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 )
a/ Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b/ Xác định tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng 3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) và B( 3 ; 4 )
Trang 3a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành.
b/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA +MB nhỏ nhất
c/ Tìm điểm N trên trục tung sao cho NA + Nb nhỏ nhất
d/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho |− → − →
+IB
IA | ngắn nhất
e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0 a) Xác định tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác định tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều
$2.ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1/ Các định nghĩa :
* Vectơ →
n ≠ →
0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu →
nvuông góc với d
* Vectơ →
u ≠ →
0 song song với( hoặc nằm trên ) đường thẳng d gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
Chú ý: Nếu đường thẳng d có một VTPT →
n =( A;B) thì nó có một vectơ chỉ phương→
u=( B; - A)
2/ Các dạng phương trình đường thẳng:
•Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng :
Ax + By + C = 0 , A2 + B2 ≠ 0 ( 1 )
Nếu đường thẳng có dạng (1) nó có vectơ pháp tuyến →
n= ( A ;B)
• Đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có vectơ pháp tuyến →
n = ( A ;B) có phương trình tổng quát là: A(x – x0) + B( y – y0 ) = 0
• Đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có vectơ chỉ phương →
u = ( a ;b) :
+ có phương trình tham số là:
+
=
+
=
bt y y
at x x
0 0
+ Có phương trình chính tắc là: x−a x0 = y−b y0
•Cho đường thẳng d có phương trình : Ax +By + C = 0
+ d’// d ⇔ d’ : Ax +By +C’ = 0 ( C’ ≠ C) + d’’ ⊥ d ⇔ d’’ : Bx –Ay + C’’ = 0 3/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng với hệ tạo độ Oxycho hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0,
d2 : A2x + B2y + C2 = 0
* d1 cắt d2 ⇔ D = A1B2 – A2B1 ≠ 0
* d1 // d2 ⇔ D =
2 2
1
1
B A
B
A
= 0 , Dx =
2 2
1
1
C B
C
B
≠ 0 hay Dy=
2 2
1
1
A C
A C
≠ 0
Trang 4* d1≡ d2 ⇔ D = Dx = Dy = 0
4/ Chùm đường thẳng :
Hai đường thẳng phân biệt của chùm có phương trình tổng quát là:
A1x + B1y + C1 = 0
A2x + B2y + C2 = 0
Lúc đó mỗi đường thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi phương trình của nó có dạng :
λ( A1x + B1y + C1) + µ( A2x + B2y + C2) = 0 , ( λ2 +µ2 ≠ 0 )
5/ Góc giữa hai đường thẳng:
Giả sử hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình là :
A1x + B1y + C1 = 0
A2x + B2y + C2 = 0
Góc ϕ giữa hai đường thẳng d1 và d2 được tính bởi công thức:
2
2 2
2 1
2 1
2 1 2 1
|
|
B A B A
B B A A
+ +
+
6/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M0( x0 ; y0 ) và dường thẳng ∆ có phương trình: Ax + By + C = 0 khi đó
d( M0,∆ ) = | 0 2 0 2 |
B A
C By Ax
+
+ +
Cho (D) : Ax + By + C = 0 và hai điểm M(xM;yM) N(xN;yN) không nằm trên (D):
• M, N nằmvề một phía với (D) ⇔ (AxM+ByM+C)(AxN+ByN+C) > 0
• M, N nằmvề hai phía với (D) ⇔ (AxM+ByM+C)(AxN+ByN+C) < 0
7/ Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau :
A1x+B1y+ C1= 0 và A2x+B2y+ C2 = 0:
2
2 2
2 2 2 2
1
2 1
1 1 1
B A
C y B x A B
A
C y B x A
+
+ +
± +
+ +
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:
Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình tổng quát của
đường thẳng trong các trường hợp sau:
1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ →
u =( 4; -3) làm vectơ chỉ phương 2/ Qua hai điểm A(1 ; - 4 ) và B( -3 ; 5 )
3/ Qua điểm N ( 3 ; -2 ) và nhận vectơ →
n= ( 5 ; - 2 ) làm vectơ pháp tuyến Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x – 2y + 6 = 0
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :
a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4
b) d đi qua A và cách đều hai điểm B , C
c) d cách đều ba điểm A; B ; C
d) d vuông góc với AB tại A
e) d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC
Trang 5Bài 4: Cho tam giác ABC M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB , BC , CA
1/ Viết phương trình tổng quát của các cạnh của tam giác ABC
2/ Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC
Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + 5 = 0
1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) đi qua điểm A (1 ; -2 ) và song song với (d) 2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) đi qua điểm M( 3 ; 1 ) và (d’’) vuông góc với (d) Bài 6 : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – 8 = 0 và d’ : 3x + 2y + 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của d và d’và thoả mản môït trong các điều kiện sau đây :
1/ Đi qua điểm ( 2 ;- 3)
2/ Song song với đường thẳng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + 4 = 0
Bài 7 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại
Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ) Viết phương trình
đường thẳng d trong mổi trường hợp sau :
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4
2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P
Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0
Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5)
và hai đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0
Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0 Gọi d là đường thẳng qua P cắt d1 , d2 lần lượt tại A và B Viết phương trình của d biết PA = PB
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0
Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y – 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 14 : Cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0 Tìm điểm A trên d1, C trên d2 và B , D
trên trục hoành sao cho ABCD là hình vuông
Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng
1 / Phương pháp : Xác định hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d:
•Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua diểm M và vuông góc với d
• Giải hệ gồm hai phương trình của d và d’ ta có tọa độ của điểm H
2/ Phương pháp :Xác định điểm N đối xứng của điểm M qua d
• Dùng phương pháp trên để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d
•Điểm N đối xứng với M qua d nên H là trung điểm đoạn MN , từ điều kiện đó ta tìm được tọa độ điểm N
Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0. 1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d
2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng
d : 2x – y – 1 = 0
1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d
Trang 62/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất
Dạng 3 : Các bài toán về vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài 1 : Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Bài 2 : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 Với giá trị nào của m thì : 1/ d và d’ cắt nhau 2/ d // d’ 3/ d trùng với d’
Bài 3: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0
Dạng 4 : Các bài toán Sử dụng công thức tính góc và khoảng cách.
Bài 1 : Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0
Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A
và hợp với d một góc 450
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0 Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1)
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1 Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai
đường thẳng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2)
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình 3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1
CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và
4x +7y – 21 =0 Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ 2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là 7x- y +8 = 0
3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0
a Xác định tọa độ điểm A
b Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC Tìm N rồi suy ra tọa độ của B , C
4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0 cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giácABC
5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại
C
6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến vẽ từ C có phương trình x + y – 5 =0
a Tìm tọa độ điểm A
b Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0
a Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC
Trang 7b Tìm tọa độ điểm B và viết phưng trình đường thẳng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0
a Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B
b Với C vừa tìm được Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành tính diện tích hình bình hành 9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 Tìm B,C
b Biết trung trực của cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 và trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C
10/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến vẽ từ một đỉnh có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0
11/Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình x-2y+1 =0, y -1=0
12/ Cho tam giác ABC có A(2;-1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và C lần lượt là d:x – 2y+1=0 , d’:x+y+3 = 0 Tìm phương trình cạnh BC
13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng
3x –y – 8 =0,diện tích tam giác ABC bằng 3/ 2.Tìm C
14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0
Tìm phương trình cạnh bên BC biết nó đi qua điểm D(1;1)
15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là
x –2y+2=0,AB=2AD Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm
16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d1, C thuộc d2và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện tích tam giác ABC bằng 3/2 Tìm C
18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0
20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0
21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10 = 0 Lập phương trình ba cạnh
22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 Viết phương trình cạnh BC
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là 3x y− − 3 0= , các đỉnh A và B thuộc trục hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Trang 8$3 ĐƯỜNG TRÒN
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
I phương trình đường tròn :
* Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình là :
(x – a )2 + ( y – b)2 = R2
* Phương trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = 0 , a2+ b2 – c > 0 là phương trình của một đường tròn có tâm I ( a ; b ) ,bán kính R = a2 +b2 −c
II Phương tích của một điểm đối với đường tròn
Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M0(x0 ;y0)
PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c
III Trục đẳng phương của hai đường tròn :
Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 ,
( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = 0
Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C1) , ( C2) có phương trình là :
2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = 0
IV Tiếp tuyến của đường tròn
1/Dạng 1: Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2 Tâm I ( a ;b) , bán kính R
Tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M0( x0 ; y0) ∈( C ) có phương trình :
(x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2
Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) tại M0 nhận vectơ M0I làm vectơ pháp tuyến từ đó suy ra phương
trình tiếp tuyến với ( C ) tại M0
2/ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
* Đường thẳng ∆ có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m
* ∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d( I , ∆ ) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m
3/ Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( xM ; yM)
* Đường thẳng ∆ qua M có phương trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = 0
Trang 9* ∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d( I , ∆ ) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1 :Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau :
1/ x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0
2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 2 = 0
3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 0
4/ x2 + y2 - 8y - 9 = 0
Bài 2 :Lập phương trình đường tròn ( T ) trong các trường hợp sau:
1/ ( T ) có tâm I ( 2 ; - 1) và có bán kính R = 3
2/ ( T ) có đường kính AB với A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 )
3/ ( T ) có tâm I ( 3 ; - 1 ) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x –3y + 5 = 0
4/ ( T ) đi qua ba điểm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 )
5/ ( T )tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng ∆:2x – y – 8 = 0
6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ có phương trình : 3x +y–3 = 0 Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến d với ( C ) :
1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 )
2/ Biết d song song với ∆ : 3x – 4y – 2004 = 0
3/ Biết d đi qua điểm A ( 2 ; 6 )
Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 0
1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T )
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng ∆ :2x – 3y + 1= 0
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 )
Bài 5 : Cho hai đương tròn ( C1 ) và ( C2 ) lần lượt có phương trình là :
x2 + y2 + 4x + 4y –13 = 0 , x2 + y2 - 2x + 8 y + 5 = 0 Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn đó
Bài 6 : Cho ( Cm) có phương trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – 1 = 0
1/ Tìm các giá trị của m sao cho (Cm ) là đường tròn
2/ Tìm tập hợp tâm I của ( Cm )
Bài 7 : Cho đường tròn (T) có phương trình : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0
a) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) tại các điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5)
b) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) đi qua C( 6 ; 5)
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’) có pt : x2 +y2 -10x + 9 = 0
d) Với giá trị nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x2 + y2 – 2my = 0
CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI 1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng :
(d1) : y= 5x−52 , (d2) : y = x+2 , (d3): y = 8 – x
3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1)
4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d) :2x – y + 1 = 0
5/ Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d) : 7x-y-5= 0 tại điểm M(1;2)
Trang 106/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d1) : 2x +y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng (d2): x -7y+10 = 0 tại điểm M(4;2)
7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d1) : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d2) : x +y+4 = 0 ,(d3) :7x – y+4 = 0
8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ
9/ Cho hai đường tròn (C1): x2+y2 -10x = 0 , (C2): x2+y2+4x – 2y – 20 = 0
a Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C1) ,(C2) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0
b Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) ,(C2)
10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 Viết phương trình đường tròn ( C’) đối xứng với ( C) qua (d)
11/ Cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 – 4x – 5 = 0 , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
12/ Cho hai đường tròn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = 0 , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = 0 có tâm I, J
a Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau , tìm tọa độ tíêp điểm H
b Gọi (d) là một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) không qua H Tìm tọa độ giao điểm K của (d) với IJ Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với (C1) và (C2) tại H
13/ Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = 0 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10
14/Cho đường tròn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4)
a Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn
b Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB
c Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB
15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 (d1) ∩ (d2) = A,
(d2) ∩ (d3) =B , (d3) ∩ (d1) = C
a Viết phuương trình phần giác trong của góc BAC
b Tính diện tích tam giác ABC
c Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
16/ Cho đường tròn (C) :x2 + y2 -8x -6y = 0 và điểm A(14;8) Qua A kẻ các tiếp tuyên AM,AN với (C) Lập phương trình đường thẳng MN
17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0
a.Xác định m để (Cm) là đường tròn
b Tìm quỹ tích tâm I của (Cm)
18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = 0 và A(3 ; 0) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất
19/ Cho hai đường tròn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= 0 vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = 0
a Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc nhau
b Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó
20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau :
a (C1): x2 + y2 -10x = 0 , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 = 0
b (C1): x2 + y2 - 4x - 5 = 0 , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = 0