Bài tập Phương trình - Bất phương trình

Một hoặc hai ẩn phụ, cùng với ẩn ban đầu tạo thành một phương trình đẳng cấp hoặc phương trình tích: 1.. Hai ẩn phụ chuyến sang hệ đối xứng loại một: 1.[r]

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – TRÙNG PHƯƠNG

1 Biết x a 0,x b 0 là hai nghiệm của phương trình x2ax b 0 Tính a b

2 Tính tổng 2 2 ,với là các nghiệm phương trình

1 2

3 Tìm để phương trình m x24x2m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa 2x1x2 1

4 Tìm để phương trình m x23mx  3 m 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 2x1

5 Cho phương trình x2 2x 3 0 có các nghiệm là x x1; 2 Tính giá trị biểu thức 4 4

1 2

x x

6 Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt :m  2 2   ,

m1x22m1x m  2 0

7 Tìm để phương trình m mx2mx 1 0 vô nghiệm

8 Tìm để phương trình m x22mx m 2  m 2 0 có hai nghiệm dương phân biệt

9 Tìm để phương trình m x42x2 m 0 có 4 nghiệm phân biệt

10 Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt m y x 42mx2 m 1, y x 42mx22m

11 Tìm để bất phương trình m x22m1x m 22m0 đúng  x  0;1 ĐS:   1 m 0

12 Tìm để hai phương trình sau có nghiệm chung: m x2   x m 1 0,x2m1x 1 0

13 Tìm để hai phương trình sau tương đương: m x4 1 0 và x22x 3 2m0

14 Tính GTLN, GTNN của hàm số y f x x25x6 với x thỏa bất phương trình x25x 6 0

15 Giải phương trình x44x33x22x 1 0

16 Pt x2  x4 10 có hai nghiệm x1, x2 Lập các pt lần lượt có hai nghiệm 2 và Giải bài toán

2

2

1; x

2

3

1; x x

với phương trình bậc hai tổng quát

17 Pt x2  x7 30 có hai nghiệm x1, x2 Lập pt có hai nghiệm là 2x1 x2;2x2 x1 Tính

1 2 2

2x x  x x

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Tìm biết x 3 1 2

x

  

2 3x5x40

3 x296x

4   2 2

1 6 7

4x  x

5 x2 82x22 0

6 8x210x16x225

5 2

7 3







x x

x x

12





x x

9

5 2

3 6 3 6

5 2











x

x x

x

1

5

2

2







x x

1 5

) 3 (

 7 2

3 2

1 3 7

5 3

















x x x

x x

x

25 10

3 10 3

2

2











x x

x x

4 3

2 3

2

3











x x

x x x

15

2 1  0

x



16    

2 3

0



PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Giải phương trình và bất phương trình

1 2x2  x3 50 2 2x2 x3 50

3 x1x1

4 x3x x1

5 x3x x1

6 2x 1  x 3

x  x 

 

9 x 2x 1 3

10 x2 x 2x 4 3

11 x2 x5 4 3

12  2 2 2

x  x  x  x 

13 x  1 x 1

14 x   1 x 3 2

15 2 2x 11 3

16 x2 4x2x1 1

17 x 1 4x

18 x 1 4x

19 x3 1 5x1

20 x3 1 5x1 21

1

1 2 1

7 1















x

x x

x

22 Tìm để bất phương trình a x   4 x 3 a có nghiệm

23 Tìm nghiệm của phương trình  2 thuộc miền xác định của hàm số

24 Phương trình x     x 1 x 2 1 có bao nhiêu nghiệm?

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC

1 Phương pháp bình phương hai vế:

1 2 6

6

2 x  x

x

1 6

2 x x

x

5x 7 2x 3 3x4

x   x  x

2

2x   1 x 1

2

1 5 1 2

x  x  

x  x  x 

1 Tìm để phương trình m 4x m x   3 0 có nghiệm duy nhất

2 Tìm để phương trình m 2x26x m  x 1 có nghiệm duy nhất

3 Tìm để phương trình m 2x26x m  x 1 có hai nghiệm phân biệt

4 Tìm để phương trình m x2mx 2 2x1 có hai nghiệm phân biệt

2 Phương pháp hằng đẳng thức:

x x  x 

x x  x 

3 2 2 1 2 2 1 5

2

x

4 x2 2 2 x31( 1: HĐT, C2: hai ẩn phụ, hệ)

5 x4 x21995 1995 (HĐT?)

6 x y z   4 2 x 2 4 y 3 6 z5 (một pt nhiều ẩn, HĐT, đánh giá) 3.Phương pháp liên hợp:

Dạng: f x  a f x b Nhân 2 vế với lượng liên hợp tạo thành hệ

1 4x25x 1 4x25x 7 3

2 3x25x 1 3x25x 7 2

2

x



4 4 1 3 2 3 ( chuyển sang hệ được)

5

x

x  x  

5 2x 3 x 2x6 ( hệ)

6 x29x20 2 3 x10HD: 20=18+2

7 x212 5 3  x x25 HD: liên hợp của x212 4 và x2 5 3

8 3x27x 3 x2 2 3x25x 1 x23x4

10 2x211x21 3 4 3 x4 HD: 21=15+6, liên hợp bậc 3

11 x33x28x40 8 4 4 x4

12 2x2 1 x23x 2 2x22x 3 x2 x 2

13

2

4

x

x





14 12x13 4x13 x1 ( liên hợp không gọn được!)

15 2x 1 2x 3 x 3 x1(cách khác?)

16 2x2  x 1 3x2  x 1 x24x 3 3x2 x 1

17 2x2 1 x23x 2 2x22x 3 x2 x 2

18 3x27x 3 x2 2 3x25x 1 x23x4

19 x x 1 x 1

20 3 x 6 x 1 x21 *  HD: Vế phải x24, hai liên hợp của vế trái

4 Phương pháp một ẩn phụ:

a) Dạng: ax2 bx c px2 qx r; a b Đặt

p q

1 4x210x 9 5 2x25x3

2 x2 2x24x4 22x

3 18x218x 5 3 93 x29x2

4 3x221x 18 2 x2 7x 7 2

6  1 3 2 1 3 8

1

x

x





7 1 1x2 x1 2 1 x2 HD: đặt t 1x2

b) Dạng x a 2 b 2a x b  x a 2 b 2a x b cx m Đặt t x b (còn nhiều bài )

1 6 9 6 9 Giải khi ; Tìm để pt có nghiệm

6

x m

2 x 2x 1 x 2x 1 2

c) Dạng a cx  b cx d  a cx b cx   n đặt t a cx  b cx

TQ: .P x   Q x  P x  Q x   P x Q x      0;22 0 Đặt t P x  Q x 

1 x 1 3 x 3 2 x x 2 2

2 2x 3 x 1 3x2 2x25x 3 16

3 4x 3 2x 1 6x 8x2 10x 3 16

4 3x 8 6 3x 1 3x 8 6 3x 1 3x4

5 x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5

7 x x 7 2 x27x35 2 x

8  x 5 x2 1  x27x103

10 Tìm để pt có nghiệm m x 1 3 x 3 2 x x 2 m

11 Tìm để pt có nghiệm: m 1 x 8 x 8 7 x x 2 m

12 Tìm để pt có nghiệm: m x 3 2 x 4 x4 x 4 m

13 Tìm để pt có nghiệm: m x4 x  4 x x 4 m

d) Dạng: .P x .Q x  P x Q x    ; 0 Đặt   (còn nhiều bài )

 

P x t

Q x



1 2x25x 2 4 2x321x20

2 2x23x23 x38

3 10 x3 1 3x22

4

3 Một ẩn phụ, cùng với ẩn ban đầu tạo thành hai ẩn hoặc coi ẩn ban đầu là tham số: (còn nhiều bài )

1 x x2 1 x x2 1 2 HD: t x21

2 6x210x 5 4x1 6 x26x 5 0 HD: đặt t 6x26x5

5 Một (hoặc hai) ẩn phụ, cùng với ẩn ban đầu tạo thành một phương trình đẳng cấp hoặc phương trình tích:

1 2x23x 2 x 3x2HD: đặt y 3x2

2 6x210x 5 4x1 6 x26x 5 0 HD: đặt u 6x26x5,v4x1( xem 3.)

3 2x225 x31 HD: u x1;v x2 x 1

4 4x25x 1 2 x2  x 1 9x3 (PP liên hợp)

5 2x25x12 2x23x  2 x 5

6 2 x 2 x 4x2 2

7 2x 3 x 1 3x2 2x25x 3 16

6 Hai ẩn phụ chuyến sang hệ đối xứng loại một: ( Lưu ý: có thể đổi biến t u)

1 x 5 3 x 4

2 6 x 2 x 2

3 x 8 x 4

4 10 2 x 2x 3 1

5 8 x  5 x 5

6 31 x 31 x 2

7 48x3  35x3 13

8 3 x335 x 5

9 497 x 4 x 5

10 x 17x2 x 17x2 9 11

2

2 2

x x 



12 Giải và biện luận a x  a x 4,

a x  a x a 

7 Hai ẩn phụ chuyến sang hệ đối xứng loại hai: ( Lưu ý: có thể đổi biến t u)

1 x2 x 5 5

2 1 1 x x2

3 x3 1 2 23 x1

4 x2 x2004 2004

5 x2 6 x 6

6 x2  x5 5

7 x2 4 x4

8  22

5x   x 5 0

8 Hai ẩn phụ chuyến sang hệ hai ẩn:

1 x 3 x 1 2 (b phương)

2 3x 1 2 x 3 (b phương)

3 1 2 x 1 x 2 (b phương)

4 25x2  10x2 3

5 3 x x2  2 x x2 1

6 532x2 51x2 4

7 3 2 x x 1 1

8 3 x863 x 5 1

9 3 x  1 3 482x

10 x4 20 x 4

11 3 2 x x 1 1

12 3 x 2 x 1 3

13 2 33 x 2 3 6 5 x 8 0 A09 

14 23 x 2 5 x 1 12 0

15 417x2 3 2x2 1 1

16 3 1 1

1

2 x 2 x

17 3 3 x x

2

x

x





19 x3x2 1 x3x2 2 3 ( pp liên hợp )

3 1

x

x x

21 2 2 1 x42x 1 HD:đặt

9 Phương pháp hàm số:

( khi chưa biết đạo hàm, khảo sát hàm số, có thể đánh giá chỉ ra nghiệm và chứng minh nghiệm)

1 2x1 2   4x24x4 3 2x  9x230

2 3 2x  9x234x2 1  1 x x20HD:   2      2 

3 x2 2 x 1 3 x  6 4 x6 2 x 1 3 x2

4 x x 5 x 7 x16 14

5 x x2  x 1 x 1 x2  x 1 1

6 Tìm điều kiện của để phương trình m x 1 3 x x1 3 xm có nghiệm( khảo sát)

7 Tìm điều kiện của để phương trình m 1x2 2 13 x2 mcó nghiệm duy nhất

8 Tìm để phương trình m 3 x 1 m x 1 24 x21 có nghiệm thực

9 Tìm để phương trình m 4 2x 2x2 64  x 2 6 x m m R   có đúng hai nghiệm thực phân biệt

10 Chứng minh m phương trình:x22x 8 m x 2 có hai nghiệm phân biệt

11 Tìm tất cả giá trị của để phương trình m x1 x m 0 có nghiệm duy nhất

12 Tìm để phương trình sau có nghiệm m m 1x2  1x2 22 1x4  1x2  1x2 HD: Đặt

t x  x

10 Giải pt vô tỉ bằng pp đánh giá:

2 6 8 6 (cách khác?)

3 4x 1 4x2 1 1

4 4 x 1 x25x4

5 x22x 2x 1 3x24x1

6 x2 x 1 2x1

7 32x24x 1 4 8x x 1

1 2x x  1 2x x 2 x1 2x 4x1  2

1

t x

HD:Bunhiacopxki

2 2

x   x  x x x   x  x 1;1;x; 3x21; x2x; x21

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC

1 x 1 2x1

2 x12x1

3 x  2 4 x

4 2x  9 3 x

x

x



6 x 5 2x 3 9

8 x 1 x2 3x3

9 x 9 3x 4 5

10 5x 1 x 1 2x4

11 2x x   1 1 x2 x 1

12 x24x x2 1 0

13 2x28x 6 x2 1 2x1

15 x 1 2x21

16 x23x 2x23x 2 0

x x  x x x 

18

2

3

3 3

x

x x

  





19 x22x 3 x26x11 3 x x1

20 7x 7 7x 6 2 49x27x12 181 14  x

21 x23x 2 x24x 3 2 x25x4

22 Tìm để bất phương trình m x 5 4 x m có nghiệm

23 Tìm để bất phương trình m 2x4xx22x m nghiệm đúng   x  2; 4

XEM XÉT:

1 Phương pháp bình phương hai vế:

2 Phương pháp hằng đẳng thức:

3.Phương pháp liên hợp:

Dạng: f x  a f x b Nhân 2 vế với lượng liên hợp tạo thành hệ

4 Phương pháp một ẩn phụ:

a) Dạng: ax2 bx c px2 qx r; a b Đặt

p q

b) Dạng x a 2 b 2a x b  x a 2 b 2a x b cx m Đặt t x b

c) Dạng a cx  b cx d  a cx b cx   n đặt t a cx  b cx

TQ: .P x   Q x  P x  Q x   P x Q x      0;22 0 Đặt t P x  Q x 

d) Dạng: .P x .Q x  P x Q x    ; 0 Đặt  

 

P x t

Q x



3 Một ẩn phụ, cùng với ẩn ban đầu tạo thành hai ẩn hoặc coi ẩn ban đầu là tham số:

5 Một (hoặc hai) ẩn phụ, cùng với ẩn ban đầu tạo thành một phương trình đẳng cấp hoặc phương trình tích:

6 Hai ẩn phụ chuyến sang hệ đối xứng loại một:

7 Hai ẩn phụ chuyến sang hệ đối xứng loại hai:

8 Hai ẩn phụ chuyến sang hệ hai ẩn:

9 Phương pháp hàm số:

10 Giải pt vô tỉ bằng pp đánh giá:

x   x    x   x  x  x  x  x

Xác định để pt sau có nghiệm: m m1x2  1x2 22 1x4  1x2  1x2 (pp hàm số)

Giải và biện luận 3  2 3 2 2 3 2

1

x m  m x m m x m

: a Giải khi , b Tìm để pt có nghiệm

Cho pt: x x 1 m Giải khi m1; tìm để pt có hai nghiệm phân biệtm

Cho pt: x2 x 1 m26m 11 0 Giải khi m2 C minh pt luôn có nghiệm

Tìm để pt sau có nghiệm duy nhất: m 3 2 1 2 1

x

x



Xác định để pt sau có nghiệm: m mx x  3 m 1

Xác định để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: m x m m x  21

Xác định để pt sau có nghiệm: m 3 x 1 m x 1 24 x21 A07 

Xác định để pt sau có 2 nghiệm phân biệt:m 4 2x 2x2 64  x 2 6 x mA08

Xác định để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: m 1 x 8 x 1x8xm

Biện luận số nghiệm pt: x 1 4m x4 23x 2 m3 x 2 0

Biện luận số nghiệm pt: 3x 2 m x2 3 0

Chứng minh pt x2 x 1 2x1 vô nghiệm

BỔ ĐỀ: a b c  0 thì phương trình x a  x b  x c có nghiệm duy nhất

f x  x a x b 1 có

x c x c

  min f x  f a 

VD: ABC nhọn có A B C  , chứng minh pt xsin A xsinB xsinC có nghiệm duy nhất Đang xem xét:

2

x x  x x  

4x 3x 1x

2

3 1

2 1

x

4x1 x212x2 2x1

Nhóm nào??:

4 x x2 1 x x2 1 2

3 x 1 3 x 2 32x3

32x 1 33x 1 35x1

 2  2 3 2

3 x1 43 x1 6 x 1

2

2 2x 4 4 2 x 9x 16

2

2 4 8 2

4

x

   

1

 

x



2

2 5 10 1

x  x  x

2

5 x x   1 x 2x1

4 3 2 3 2 11

x x   x 

3 3 2 2 3 2 0

x  x  x 

x  x  x t x1

, 2

2x 2x 1 4x1

2 3

3 1

x x x



3

x

 

5 2 7

4 3 2 1 *

x



Nhóm???

x x  x  x

x  x  x  x 

3 1  1 2 2

x x  x x  x

5x 1 3x 2 x 1 0

x  x x    x x 

 1  2  3

x x  x x  x x

x x  x x x  x

(tích)

x  x  x  x  x  x

x

3 2 3

2 x 5 x 3

3 x 1 3 x 1 35x

3

5 x 1 3 x   8 x 1

32x 1 3 2x 1 310x

2 3

5x 1 9 x 2x 3x1

1 1

x

5 1x 2 x 2

x  x  x x 

10 6

5 27x 5x 5864 0

2

2x 3 5 2 x 3x 12x14

2

2

x  x   x

2 x2 4x 4 2x2 3x1

x3 4x12x28x *

 

2 *

2004  1 1 2  *

3 x2 23 x x4 x 7 3x28 0 *

 

13 x 1 9 x 1 16x *

  2  

x



 

3 36 3 6 6 *

 

2x 4x 7 x 4x 3x 2x7 *

  

7x 22x28 7x 8x13 31x 14x 4 3 3 x2 *

2 x  8 5 x 8 *

2 x 1 6 9x 6 x1 9x 38 10 x2x x *

 

2

4x x 3 4 3 10 3  x *

4

x x   x x

314x3  x 2 1 x22x1 *

x2 x 1 2x 2 0 * 

 

2

3x  2 4x 21x22 *

 

3

417x  2x  1 1 *

 

2 1000 1 8000 1000 *

2

2 4 2 5 1 (*)

x   x x  x

 

33x2 x 200133x27x200236x2003 32002 *

 

33x 1 3 5 x 3 2x 9 3 4x 3 0 *

 

3

3

8 2001

4004 2001 * 2002

x

x

 

4x 4x10 8x 6x10 *

x  x  x  x

 

3 x x 3x *

 

3