Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại sốBài 13... Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp 2 rồi lập bbt.
Trang 1Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 1 Giải các phương trình chứa căn thức sau:
1, x 3 5 3 x 4 11, 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x2 5 x 2
2, x2 5 x 1 ( x 4) x2 x 1 12, 3 2 x 1 x 1
3, 418 x 5 4 x 1 13, 3 3
x x
4, 3 2 x 2 2 x x 6 14, 5 x2 14 x 9 x2 x 20 5 x 1
5, 2 x2 8 x 6 x2 1 2 x 2 15, 2 33 x 2 3 6 5 x 8
6, x x ( 1) x x ( 2) 2 x2 16, 2 x 7 5 x 3 x 2
7, 3 x 4 3 x 3 1 17, x 2 7 x 2 x 1 x2 8 x 7 1
x x x x 18, 2 3
2
x
x x
9, x2 3 x 3 x2 3 x 6 3 19, 4 x2 13 x 5 3 x 1
x x x x 20, 5 2 2 5 2 2
Bài 2 Giải các bất phương trình vô tỷ sau:
1, ( x 3) x2 4 x2 9 5, x 1 3 x 4
2, x 3 2 x 8 7 x 6, 5 x2 10 x 1 7 x2 2 x
3, 1 1 4 2
3
x
x
7, 8 x2 6 x 1 4 x 1 0
2 2
x x
8, 2 x 1 3 x 2 4 x 3 5 x 4
Bài 3 Giải các hệ phương trình sau:
1,
2
2
x
y x
y
x y
9,
3
y x
x x y x
x y x
10,
4
x y x y
x x y y y
Trang 2Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3,
5
13
x y
x x y y
11, 2 1 1
x y x y
x y
4,
2
x xy
x xy y
12,
2 2
13, 2 2 1 7 2
1 13
xy x y
x y xy y
6,
5
1 0
x x y
x y
x
14,
2
3 2
2 2
3
2
2
xy
x x xy
y y
7, 22 32 4 6
xy x y
15,
8,
x xy y x y
x xy y x y
16,
x x y y
Bài 4 Giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá:
1, 22x 10 3 x 5, lg x2 x 6 x lg x 2 4
2, 5 2 6 x 5 2 6 x 3 3x 6, 9x 2 2 3 x 2 5 0
3, 3 x2 13 4 x 3 3 x2 6 7, log 12 x log3x
4, 4 x 1 417 x 2 8, 4x 7x 9 x 2
Bài 5 Giải các phương trình mũ sau:
1, 2 3 23 2 3 23 14
6, 5 21 x 7 5 21 x 2x3
4.3 9.2 5.6
x
7,
2.81 x 7.36x 5.16x 0
8 4.3
x
x
8,
2 3
2
x x x
Trang 3Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
4, 9x2 x 1 10.3x2 x 2 1 0
9, xlog 9x 3 33 log 9x 1
5, 32x 2x 9 3 x 9.2x 0 10, 3 1 3
Bài 6 Giải các phương trình logarit sau:
1, 23 3 3
x
5, 2
8 10
log x x log x x x 2 0
2, log 5 log 255 5 3
x
x
2
logx x 14log x x 40log x x 0
logx x x 3 log x x 3
8, log 2 2log 4 logx 2x 2x8
4, 3 9
3
4
1 log
x
x
x
9, log22x x 4 log 2x x 3 0
2
log x 1 log 3 x log x 1 0
log x x 2 3log x x 2 5
11, log (33 x 1)log (33 x1 3) 6
Bài 7 Giải các bất phương trình mũ:
1,
2 2
2
3
x x
x x
4, 23 1x 7.22x 7.2x 2 0
2, 32 1x 22 1x 5.6x 0
5,
0 1
x
2
12
x
x
x
6, 2x2 x 1 1 2 2x2 2 x 1
Bài 8 Giải các bất phương trình logarit:
1, logx1 2 x 2 4, 1 2 2 2
2
2, (log 8 logx 4x2)log2 2 x 0 5, 2
log log x 3 1
Trang 4Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3,
2
2
3 8
x
x
x
6, log3 1 2 log 3 2 1 2
0
x
Bài 9 Giải các hệ phương trình mũ, logarit:
1, ln(12 ) ln(1 )2
x xy y
5,
y x
x x x
2,
10
x y
6,
x y
x y x y
3,
3
x y
x y
7,
5
3log
y x
x y
x y x y
4,
2
x y
x y x y
8,
1
x
y y y
Bài 10 Tìm tham số m để phương trình:
1, 4 x2 1 x m có nghiệm
2, 4 x4 13 x m x 1 0 có đúng một nghiệm
2 log x 4 mx log 2 x 2 m 1 0 có nghiệm
Bìa 11 Tìm tham số m để bất phương trình:
1, 2
1
2
m
x
đúng với mọi x R 2, m 2x 2x 3 m 1 có nghiệm
3, m x2 2 x 2 1 x (2 x ) 0 có nghiệm x 0;1 3
Bài 12 Tìm tham số m để hệ phương trình:
1
x y m
x xy
có nghiệm duy nhất 2,
2
x
có nghiệm
3, 2 2
2
1
m nxy x y
có nghiệm với mọi n R
Trang 5Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 13 Chứng minh rằng hệ
2
2
2007
1 2007
1
x y
y e
y x e
x
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
Bài 14 Xác định m để bpt: 92x2x 2 m a 62x2x m 1 4 2x2x 0
nghiệm đúng với mọi thỏa mãn 1
x
log log x x 2 x 3 m log x 2log x 2 x 3 2 m 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 1 1, x 3 5 3 x 4 - Đáp số: x 4
2, x2 5 x 1 ( x 4) x2 x 1
- Đặt t x2 x 1 0, pt đã cho trở thành: 2 4 4 0
4
t x
t x t x
t
Với t x x2 x 1 x : vô nghiệm
2
t x x x
3, 418 x 5 4 x 1
- Ta đặt u 418 x 0; v 4 x 1 0 u4 v4 17, ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v giải hệ này tìm được u, v suy ra x.- Đáp số: Hệ vô nghiệm
4, 3 2 x 2 2 x x 6 * - Điều kiện: x 2
- Ta có: * 2 3 8 3 3
x x
x
- Đáp số: 108 4 254
3;
25
x
5, 2 x2 8 x 6 x2 1 2 x 2 Đáp số: 25
; 1 7
x
6, x x ( 1) x x ( 2) 2 x2 ĐS: 9
0;
8
x
7, 3 3
x x Đáp số: x 5;4
Trang 6Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
x x x x t x x t x
9, x2 3 x 3 x2 3 x 6 3
- Đặt t x2 3 x 3 0 x2 3 x 3 t2
- Phương trình thành:
2 2
3
t
Suy ra x2 3 x 2 0 x 1; 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là x 1; 2
x x x x Điều kiện: x 0
- Đặt
2
4 4
u v
u v
u v u v
u v uv
Giải ra ta được 4
3
x (thỏa mãn)
11, 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x2 5 x 2 Điều kiện: x 1
- Khi đó: 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x2 5 x 2
3 2 1 3 2 1 2
Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm x 1
12, 32 x 1 x 1 Đáp số: x 1; 2;10
13, x3 1 2 23 x 1
3 3
3
2
1 2
5 x 14 x 9 x x 2 5 x 1 ĐS: 9
1; ;11 4
x
15, 2 33 x 2 3 6 5 x 8 Đáp số: x 2
16, 2 x 7 5 x 3 x 2 Đáp số: 14
1;
3
x
17, x 2 7 x 2 x 1 x2 8 x 7 1 - Điều kiện: 1 x 7
Trang 7Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
- Ta có: x 2 7 x 2 x 1 x2 8 x 7 1
x 1 x 1 7 x 2 x 1 7 x
4
x
x x x
1
2
x
2 2
Đáp số: 3 17 5 13
;
x
19, 4 x2 13 x 5 3 x 1 2 x 3 2 x 4 3 x 1
2 2
Đáp số: 15 97 11 73
;
x
4 x x 4 x x x - Điều kiện: x 1
- Đáp số: 3
; 1 5
x
Bài 2 1, 2 2
( x 3) x 4 x 9 ĐS: ; 13 3;
6
x
2, x 3 2 x 8 7 x ĐS: x 4;5 6;7
3,
2
2 2
x x
ĐS: 1 1 ; \ 0
2 2
x
2
x
x
5, x 1 3 x 4 ĐS: x 0;
6, 5 x2 10 x 1 7 x2 2 x t x 2 2 x ĐS: x 1; ; 3 \ 1 2 2
7, 8 x2 6 x 1 4 x 1 0 ĐS: 1 1
;
x
Trang 8Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
8, 2 x 1 3 x 2 4 x 3 5 x 4 - Điều kiện: 4
5
x
x x
Nếu x 1 VT 0 VP: BPT vô nghiệm
Nếu x 1 VT 0 VP: BPT luôn đúng Đáp số: x 1;
Bài 3 1,
2
2
x
y x y
x y
hệ có nghiệm: x y ; 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2
2
x y x x
x x y x
Đặt u 3 x 2 ; y v x 2 x suy ra: 12 6 2
Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số: ; 2;6 , 1; 3 , 2; 2 , 3, 11
x y
3,
5
13
x y
x x y y
Đáp số: x y ; 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2
4,
2
x xy
x xy y
(hệ đẳng cấp bậc 2 ) Đáp số: x y ; 2; 1 , 2,1
x 5 y 2 y 5 x 2 x y ĐS: x y ; 11;11
6,
2
2 2
2
2 1
1
2
x
x
ĐS: ; 1;1 ; 2; 3
2
x y
xy x y
ĐS: ; 2; 1 ; 2; 3 ; 2; 3 ; 6; 3
x y
Trang 9
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
8,
2
x xy y x y
x xy y x y
x xy y x y
y
x xy y x y x x y y x y x
ĐS: x y ; 0;0 ; 1;2 ; 1; 2
ĐS: ; 1;1 ; 1 5 ; 1 5
x y
2
x y x y
xy
ĐS: x y ; 2; 2 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2
x y x y
x y
5 0
u v
v x y
- Đáp số: x y ; 2; 1
12,
2
2 2
2 2
1
1
x
y x
y
ĐS: x y ; 1; 2 ; 2;5
2 2
1
7
1 7
1
13
x
x
y y
x
x
ĐS: x y ; 1; 2 ; 2;5
14,
2
3 2
2 2
3
2
2
xy
x x
xy
y y
ĐS: x y ; 0;0 ; 1;1
15,
x f z
với
2 2
60
t
f t
t
x y z , , 0 nên xét hàm f t trên miền 0; , hàm này đồng biến x y z
Trang 10Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
ĐS: ; ; 0;0;0 ; 5 5 5 ; ;
6 6 6
x y z
16,
2
x
x x y y
x
ĐS: ; 3; 1 ; 4 78 ; 78 ; 4 78 ; 78
Bài 4 1, 2x 10 3 x 2x 3 x 10 x 2 là nghiệm duy nhất
- Do 5 2 6 5 2 6
nên hàm 5 2 6
3 3
x
đồng biến trên R, còn hàm 5 2 6
3 3
x
nghịch biến trên R
3 3
x
x
PT vô nghiệm
3 3
x
x
PT vô nghiệm
- Vậy PT đã cho vô nghiệm
3, 3 x2 13 4 x 3 3 x2 6 *
- Nếu 3
4
x x PT vô nghiệm
- Nếu 3
4
x , ta có: * f x 3 x2 13 3 x2 6 4 x 3 0
4
nên hàm f(x) đồng biến trên khoảng 3
; 4
1 0
f do đó x 1 là nghiệm duy nhất - Đáp số: x 1
4, 4 x 1 417 x 2 .- Điều kiện: 1 x 17
Trang 11Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
- Xét hàm f x 4 x 1 417 x có:
Lập BBT, nhận xét f 1 f 17 2 suy ra PT có 2 nghiệm là x 1;17 Đáp số: x 1;17
5, lg x2 x 6 x lg x 2 4 Điều kiện: x 3
- PT đã cho lg x 3 x 4 0 x 4 là nghiệm duy nhất
6, 9x 2 2 3 x 2 5 0 3x 1 3 x 2 5 0 3x 2 5 0 1
7, log 12 x log3x - Đáp số: x 9
8, 4x 7x 9 x 2 Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp 2 rồi lập bbt ĐS: x 0;1
Bài 5 1, 2 3 23 2 3 23 14
x
t
ĐS: x 3
2, 4.3 9.2 5.62
x
x x Chia 2 vế cho
3 2
2
x
x t
ĐS: x 4
2
3
4 4
2 log 2 2
x
x x
4, 9x2 x 1 10.3x2 x 2 1 0 t 3x2 x 2
ĐS: x 2; 1;0;1
2
x
6, 5 21 x 7 5 21 x 2x3 ĐS: x 0
7, 2.811x 7.361x 5.161x 0 ĐS: 52
9 log 4
x
2
2
1 3
1 log 3 2
x
1
2
x x
Trang 12Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
10, x3.3x 27 x x 3x 1 9 x3 3x 9 x3 3 x 0 x 0;2; 3
Bài 6 Giải các phương trình logarit sau:
1, Đặt t log3x, ta biến đổi PT về dạng: 2 1 1 1; 2;0
1
t
t
1
;1;3 9
x
2,Đặt t log5x, ta biến đổi PT về dạng: 1 2 3 0;2
1 t t t
- Đáp số: x 1;25
3
2
2
2
2
3 1
2;3
3 0
x
x
x x
x
3
x
x
2
8 10
2 8 10
x
x x
2
logx x 14log xx 40log x x 0 - Điều kiện:
0
1 1
; ;2
16 4
x x
- Nhận xét x 1 là nghiệm của pt đã cho, xét x 1 ta đặt t log 2x
1 t 4 t 1 2 t 1 t 2 t x x 2 - Đáp số:
1
;2;4 2
7, Đặt: t log2x, biến đổi được pt: 1 4 6
t t t - Đáp số: x 2
8, log22x x 4 log 2x x 3 0 log2x 1 log 2x x 3 0 x 2
Trang 13Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
2
log x 1 log 3 x log x 1 0 * - Đáp số: 1 17
2
x
log x x 2 3log x x 2 5
2 2
2 2
- Đáp số: 7
4
x
log (3 1)log (3 3) 6 log (3 1) log ;log 10
27
Bài 7 Giải các bất phương trình mũ:
1,
2
3
x x
Đ/S: 1 2 x 1 2
2,
2
Đ/S: 3
2
log 2
x
2 1
x
Đ/S: x 0;log 4 2 22 1;
4, 23 1x 7.22x 7.2x 2 0 t 2x 0
Đ/S: x 1;0;1
5,
1
( )
0
( )
x
I
II
Giải từng hệ bất phương trình (I), (II) ta có đáp số: x ; 1 1 3;1 3
6, Điều kiện: x 1
Ta có: 2x2 x 1 1 2 2x2 2 x 1 2x2 1 2 x 1 2 2 x 1 2 0
2 x 1 2 2 x2 1 1 0 1 x 2
Trang 14Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 8 1,
x
x
2 3 x 0
2, (log 8 logx 4x2)log2 2 x 0 - Điều kiện: 0x1
(log 8 logx x ) log 2 x 0 3log 2 log 2 1 log 2x x x 0
1 log 2 0
1
2
x x
x x
.- Đáp số: 1 ; \ 1
2
x
3,
2
2
x
x
x
5
3
2 x
2
2
x x x x
2
x x
log log x 3 1 0 log x 3 3
6, log3 1 2 log 3 2 1 2
0
2 1
x
- Điều kiện: 1
2 1 0
2
log x 1 log 2 x 1 2 0
log3 x 1 log 2 3 x 1 1
1 2 1 3 ,(*)
+ Xét với x 1, thì * 2 x2 3 x 2 0 x 2
+ Xét với 1
1
2 x , thì * 2 x2 3 x 4 0: Vô nghiệm - Đáp số: x 2
Trang 15Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 9 1,
x y x y
x xy y
0
x y
x y
x y x y
10 10
3
x y
x y
xy
3,
3
2 3
y
x y
4,
2
x y
x y x y
Đặt u 2x 0; v 4y 0 hệ trở thành:
1
u v
u v uv
5,
y x
x x x
Trong đó f t t t2 1 3t đồng biến trên R nên suy ra x 1 y 1 x y
- Thế vào phương trình đầu ta được: x 1 x2 2 x 2 3x 1
, phương trình này có nghiệm duy nhất x = 1 (sd pp hàm số) - Vậy x y ; 1;1
6, Điều kiện:x y 0; x y 0
Ta có:
10
5
8
x y x y
7,
5
y x
y x
x y
x y
x y
x y x y x y
Trang 16Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3 3
3
3
x y
x y
y x
x y
x y
8,
1
x
y y
y
, hệ trở thành:
2 2
1
1 2
v u u
u v v
Thế (1) vào (2) được: u4 2 u3 1 0 u 1 2 u2 1 0 u 1
Suy ra v 0 (không thỏa mãn).- Vậy hệ vô nghiệm
Bài 10 1, 4 x2 1 x m có nghiệm.- Điều kiện x 0
- Đặt t x 2 0, pt đã cho thành: f t 4t 1 4t m
PT đã cho có nghiệm f t m có nghiệm t 0 0m1
2, 4 x4 13 x m x 1 0 có đúng một nghiệm
- Ta có: 4 x4 13 x m x 1 0 4 x4 13 x m 1 x
4
- PT đã cho có đúng 1 nghiệm 1 có đúng 1 nghiệm thảo mãn x 1
đồ thị hàm số y 4 x3 6 x2 9 x với x ;1 giao với đường thẳng y 1 m tại đúng 1 điểm
- Xét hàm y 4 x3 6 x2 9 x với x ;1 , lập bảng biến thiên từ đó ta dẫn tới đáp số của bài toán là:
1 m 11 m10
2 log x 4 mx log 2 x 2 m 1 0 có nghiệm
2 log x 4 mx log 2 x 2 m 1 0 log x 4 mx log 2 x 2 m 1
2
2
1
2
x m
x m
- PT đã cho có nghiệm f x có nghiệm 1
2
x m