+ Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhÊt.. Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ ki[r]
Trang 1Bài 2: Hệ phương trình đại số
Một số loại hệ phương trình thường gặp:
I)Hệ đối xứng loại I
là hệ đối xứng loại I nếu
0 )
; (
0 )
; (
y x g
y x f
)
; ( )
; (
)
; ( )
; (
x y g y x g
x y f y x f
2)Cách giải : - Đặt x y S ĐK:
xy P
2 4
S P
- Biểu thị hệ qua S và P
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện S2 4P
: t2StP0 Từ đó có nghiệm của hệ đã cho
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a) Vì vậy hệ có
nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn S2 4P
+) Khi S2 4Pthì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn S2 4P
Chú ý 2 :
thoả mãn hay không - (Đ/K đủ)
3) Các ví dụ : Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy :
11 1)
30
xy x y
x y xy
ẹS : x = 2; 3; 1; 5
11
p s
p s
2
3 3
30 35
x y xy
4 4
2 2
1
3)
1
0; 2 (0;1); (1; 0)
x y
x y
hpt
Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4)
3 3
30
35
x y y x
x x y y
p s
s sp
5- cho: 5( ) 4 4
1
a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm
HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1
ẹK : S2-4p 0 1; 1
4
m m
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
ĐS: m = 1/4, m = 1
Trang 22 2 2
b) Tỡm m hpt coự nghieọn duy nhaỏt
HDẹS :
hpt
2 4 2 ( 1) 0
S P m
Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m
2 4 2 0
(m1) 0 m1
=> x = y = 1 Vaọy : (1;1)
II) Hệ đối xứng loại II
1) Dạng Hệ : là hệ đối xứng loại II nếu :
0 )
; (
0 )
; (
y x g
y x f
)
; ( )
; (y x g x y
2)Cách giải :
: (x-y).h(x;y) = 0
( ; ) 0 ( ; ) 0
( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế 2$ xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp
mới có điều này)
+) Phương pháp điều kiện cần và đủ:
nhất
Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ, do đó
hệ có nghiệm duy nhất khi x0 = y0 (1)
0 duy nhất ,ta K2 giá trị của tham số Đó là đ/k cần
Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận
3) Caực vớ duù :
Giaỷi heọ pt :
3
3
hpt
y
x hpt
x
y
3
HDẹS :
1-Hpt
2 2
3 3
(0; 0) ( 11; 11) ( 11; 11)
x y
2- ẹK : x 0 ; y 0 Hpt :
(-2; -2)
x y x y
Trang 3
Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 y=x hoaởc y = 1-x.
Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
Khi y = 1 -x VN
2
2
x
y x
y
x y
Laỏy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0 y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1)
+ y = -2/x : ( 2; 2); ( 2, 2)
III) Hệ nửa đối xứng của x và y
1)Dạng hệ:
) 2 (
; 0 )
; (
) 1 ( );
; ( )
; (
y x g
x y f y x f
2)Cách giải:
) 2 (
;
0
)
;
(
0 )
;
(
)
(
y
x
g
y x
h
y
x
0 )
; (
0 )
; (
0 )
; ( 0
y x g
y x h
y x g
y x
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng
Ví dụ :
5
5 5
5
2
2 2
2
t y
y t
t x
x y
y x
3) Hệ nửa đối xứng
VD Giải hệ :
1 2
1 1
3
x y
y
y x x
Giải:
1 2
0 ) 1 )(
(
0
1 2
0
0
1
2
1
1
3 3
2 2
3
x y
xy y x
y x
x y
y x xy y x
y x
x
y
y
y
x
x
3
4
1
2 0
x y
x y
x
+ Ta có I):
2
5 1 2
5 1
1 )
( 0 1 2 (
0
3
y x
y x
y x
I x
x
y x
y x
Trang 4+ Ta có II) :
1 ( )
x y
x
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y
K2 gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do)
0 )
; (
0 )
; (
y x g
y x f
đều có bậc là 2
2) Cách giải :
do cho đơn giản)
* Cách 2) Khử x2 ( với y 0 ) hoặc y2 (với x
3) Các ví dụ
2
y xy
a) Giải hệ pt` với m = 1
b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:
Cách 1:
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt
Đặt x = ty, ta có :
Hệ
4
y ty
2 2
2
(1 3 ) 4
2
2
(1 3 ) 4
t
Do y 0 nên từ y2(1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t < 1
3 a) Với m = 1 ta có hệ :
2
2
(1 3 ) 4
t
Giải hệ ta K2 kq : (1 ; 4), (-1 ; -4)
b) Ta có :
(I)
2
2
(1 3 ) 4
2
2
(1 3 ) 4
Đặt f(t) = 4t2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì
Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < 1
3
Ta lại có ( )1 8 0 m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t1 < < t2 Vậy hệ luôn có nghiệm với m
3
Trang 5Hệ
2
2
4
x xy m
y xy
2
4
y
x
(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4)
Với m 4 đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2
m
VI Một số hệ phương trình khác.
: + Phân tích thành tích có vế phải bằng 0
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số
Các bài tập luyện tập :
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
8
) 1 )(
1 (
2 2
y x y x
m y
x xy
a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2
a
x y
1
x xy y
Tìm m để hệ có nghiệm
d) giải hệ
2 2
2 2
x y
y x
e)
m y
x x
y y
x
y x
1 1
1 1
3 1 1
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x
x
y y
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm
Bài 3:
Trang 6
35 8
15 2
3 3
2 2
y x
xy y
x
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
) 2 ( 1
) 1 ( 3 3
6 6
3 3
y x
y y x x
HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
f t t3 3t
x
a x y
y
a y x
2 2
2 2
2
2
HD:
2 2 3
y
x
xét 3 2 lập BBT suy ra KQ
2 )
Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
) 1 (
) 1 ( 2 2
x a y
xy
y a x
xy
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:
) 2 ( 5
) 1 ( 20 10 2 2
y xy
x xy
HD : Rút ra y
y y
y
x5 2 5
Cô si 5 y 2 5.
y x
x2 20 theo (1) x2 20 suy ra x,y
2
) 1 ( 3
y x y
x
y x y x
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
a y x
a y
x
3
2 1
HD: từ (1) đặt u x1,v y2 được hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
1)
49 5
56 2
6
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Trang 72) KD 2003
) ( 3 2 2
2 2
y x y
x
y y x x
3)
0 9 5
18 ) 3 )(
2 (
2
2
y x x
y x x x
4)
2
) ( 7 2 2
3 3
y x y x
y x y
x
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
m xy
x
y xy
26
12 2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6) dặt t=x/y có 2 nghiệm
19
2 ) (
3 3
2
y x
y y x
7)
6 4
9 ) 2 )(
2 (
2
y x x
y x x
x
đặt X=x(x+2) vàY=2x+y
8) đổi biến theo v,u từ phương trình số (1)
4
) 1 ( 2 2 2 2 2
y x y x
y x y x
9) Đặt x=1/z thay vào K2 hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
2 2
3 3
3
6
19 1
x xy
y
x y
x
1 2
1 1
3
x y
y
y x x
HD: x=y V xy=-1,CM x4 x20 vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
11) xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
a x y
a y x
2 2 ) 1
(
) 1
(
12) HD bình phương 2 vế
3
3 2 2
xy y
x
x
y y
x
4 2
5 4 ( , )
5 (1 2 )
4
x y x y xy xy
x y R
ĐS: 3 5 3 25 3
ĐS: (-4;17/4)
4 3 2 2 2
x,y
R
ĐS: (5;2)
2 2 2
x,y
R
Trang 816(KD-07)Tìm m để hệ có nghiệm ĐS:
5
15 10
7
ĐS: x = y=1
x,y
y
x
R
18.(DBKA - 07)Giải hệ: x x y x y ( x, y R )
x y x xy
4 3 2 2
3 2
1 1
Đặt u=-x 2 +xy ,v=x 3 y ĐS: (1,0),(-1;0)
20.(DBKB-07) giải hệ
x y y
y
xy y
y x x
x
xy x
2
3 2
2
3 2
9 2 2
9 2 2
HD: cộng 2 vế,sau đó đánh giá VT VP
ĐS: (0,0), (1,1)
21 (DBKD - 07)Tìm m để hệ pt :
1
0 2
xy x
m y x
có nghiệm duy nhất ĐS: m > 2.
21.(KA - 06)Giải hệ pt: 3 ( , )
x y xy
x y R
22 (DBKA - 06)
2 2
23 (DBKA - 06) 32 8 32 2 x,y .
R y x, 25 ) )(
(
13
2 2
2 2
y x y x
y x y x
26 (DBKD - 06) : 2 2
28 (DBKA - 05): 2x y 1 x y 1
3x 2y 4
30.(KD-09)Giải hệ phương trỡnh 2 (x, y R)
2
x(x y 1) 3 0
5
x
31 (KB-09) Giải hệ phương trỡnh xy2 2x 1 7y 2 (x, y )
x y xy 1 13y