CHƯƠNG 2ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH theo một quy luật xác định, ta đặt tương ứng một số thực, gọi là định thức, ký hiệu , det A hoặc : Có thể nói định thức là hàm số v
Trang 1CHƯƠNG 2ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
theo một quy luật xác định,
ta đặt tương ứng một số thực, gọi là định thức, ký hiệu , det A hoặc :
Có thể nói định thức là hàm số với miền xác định là tập hợp các ma trận vuông và miền giá trị là tập hợp
Trang 21 Định thức cấp 1, cấp 2, cấp 3 :
các số thực Định thức được ứng dụng để giải hệ phương trình gồm n phương trình n ẩn số (quy tắc cramer) Khái niệm về hạng của ma trận cũng được xây dựng nhờ định thức Lý thuyết tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình
n ẩn số được xây dựng dựa trên khái niệm về hạng của ma trận (Định lý Kronecker – Kapelli)
Ma trận vuông cấp 1 A = [a11] chỉ gồm một phần tử a11 và trị số của phần tử này là định thức cấp
1 của ma trận
Ma trận vuông cấp 2 có dạng :
Trang 3Khi đó định thức cấp 2 tương ứng với ma trận A là
một số bằng a11a22 - a12a21
12
11
a a
a
a A
(2.1)
Vậy theo định nghĩa :
21 12
22
11 22
21
12 11
a a
a
a A
Từ công thức (2.1) ta có thể phát biểu : định thức cấp
2 tương ứng với ma trận vuông cấp 2 A bằng hiệu các tích của phần từ đường chéo phụ của ma trận A
Trang 4Từ đây về sau ta nói các phần tử hàng, cột, đường chéo của định thức hiểu là các phần tử hàng, cột, đường chéo của ma trận đã cho.
Xét ma trận vuông cấp 3:
Định thức cấp 3 của ma trận A là một số được tính theo công thức :
31
22 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
22
21 13
33 31
23
21 12
33 32
23
22 11
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
(2.2)
Trang 5Công thức (2.2) chứng tỏ định thức cấp 3 được tính toán nhờ các định thức cấp 2 Đặt :
22
21 13
33 31
23
21 12
33 32
23
22
a a
a
a M
a a
a
a M
a a
a
a M
và gọi M11, M12, M13 là các định thức con tương ứng của các phần tử a11, a12, a13 Định thức con M11 của phần tử a11 là định thức cấp 2 thu được bằng cách gạch bỏ hàng 1 cột 1 của định thức cấp 3, tương tự
M12 : gạch bỏ hàng 1 cột 2 của , M13 : gạch bỏ hàng 1 cột 3 của Với khái niệm định thức con của phần tử, có thể viết lại công thức (2.2) :
Trang 6k k
a M
a M
a M
1
1 13
13 12
12 11
13
3
1 13
12
2
1 12
k A a
A a
A a
A
1
1 13
13 12
12 11
Trang 7Ta gọi (2.4) là biểu thức khai triển của định thức cấp 3 theo các phần phụ đại số của phần tử hàng 1.
k k
k A a
A a
A a
A
1
2 23
23 22
22 21
Hàng 2 :
k k
k A a
A a
A a
A
1
3 33
33 32
32 31
Trang 8Ta có thể định nghĩa định thức cấp 3 bằng cách khai triển theo các phần phụ đại số của phần tử một cột :
Cột 2 :
1
3 1
1 31
31 21
21 11
k
a A
a A
a A
2
3 1
2 32
32 22
22 12
k
a A
a A
a A
Cột 3 :
3
3 1
3 33
33 23
23 13
k
a A
a A
a A
Trang 9Trong các công thức (2.4) – (2.9) Aij là phần phụ đại số của phần tử aij được xác định qua định thức con
Mij bằng công thức :
(2.10)
3 , 2 ,1 ,
; )
Trang 10Nhận xét :
32 23
11 33
21 12
31 22
13 32
21 13
31 23
12 33
22 11
33 32
31
23 22
21
13 12
11
det
a a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a
a a
a
a a
a
a a
a A
(2.11)
Trang 111 Đối với định thức cấp 2 :
3 Mỗi số hạng của (2.11) gồm ba phần tử, các phần tử được phân bố ở các hàng và các cột khác nhau, tức là trong mỗi số hạng (2.11) không chứa hai phần tử có hàng giống nhau hoặc cột giống nhau
2 Có thể xây dựng định nghĩa định thức cấp n bằng phương pháp quy nạp toán học dựa vào hai ý tưởng :
Trang 12i Khai triển theo các phần tử hàng 1 và các định thức con tương ứng của chúng (2.2’).
ii Biểu thức tính trực tiếp qua các phần tử (2.11)
5 Người ta thường áp dụng quy tắc Sarrus (quy tắc tam giác) để tính định thức cấp 3
Quy tắc Sarrus được mô tả bằng sơ đồ sau :
Trang 132 Định nghĩa định thức cấp n :
Định nghĩa 1 :
(2.12)
Định thức ma trận vuông cấp n
gọi tắt là định thức cấp n là
một số bằng :
A ij , , 1 ,
j j
j
3 1
1
1
) 1 (
và ký hiệu = det A = /aij/
Vậy theo định nghĩa ta có :
j
nn n
n
n
n
M a
a a
a
a a
a
a a
a
A
1
1 1
1
2 1
2 22
21
1 12
11
, )
1 (
det
Trang 14Định thức con Mij của các phần tử hàng 1 là định thức cấp n – 1, thu được từ định thức cấp n sau khi gạch bỏ hàng 1 và cột j.
Cũng như trường hợp định thức cấp 3, đối với định thức cấp n, ta định nghĩa phần phụ đại số của các phần tử hàng 1, ký hiệu A1j qua các định thức con
j n
a A
a A
a
1
1 1
1 12
12 11
Trang 15(1.14) được gọi là công thức khai triển định thức theo các phần tử hàng 1 và phần phụ đại số tương ứng của chúng.
a hàng i :
Định lý 1 (Định lý Laplace) : Định thức cấp n bằng
tổng các tích của các phần tử một hàng hoặc bất kỳ với các phần phụ đại số tương ứng của chúng
ij j
ij in
in i
i i
2 2
1
det
(2.15)
Trang 16Trong các công thức (2.15) và (2.16) sự liên hệ giữa Aij và Mij tương tự (2.13)
ij i
ij nj
nj j
j j
2 2
a
a a
a n
0
0
0
2 1
22 21
Trang 17Khai triển theo các phần tử hàng 1 :
n
n
a a
a
a a
a
0
0
0
2 1
33 32
22 1
Trong đó :
Khai triển n-1 theo các phần tử hàng 1 :
2 22
Trang 18Trong đó n-2 là định thức tam giác cấp n – 2 Tiếp tục quá trình khai triển này cho đến đinh thức cấp 1 (số ann) Tóm lại, định thức tam giác bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính :
Công thức tính định thức trực tiếp qua các phần tử :
nn
n a11a22 a
Hoán vị cấp n : ánh xạ tương hỗ đơn trị của
tập hợp n số tự nhiên đầu tiên (1,2,3 …, n) vào chính nó được gọi là hoán vị cấp n Hoán vị cấp n bất kỳ có thể viết dưới dạng :
Trang 19i i
n
a a
a a
i i
1
3 2
a a
n
3 2
1
3 2
1
Trang 20 Nghịch thế : Ta nói cặp các phần tử (i,j) tạo thành một nghịch thế trong hóan vị , nếu i < j, nhưng ai > aj Số S () tổng tất cả các nghịch thế xác định tính chẵn lẻ của hóan vị Hoán vị được gọi là chẵn, nếu S () là số chẵn, lẻ nếu S () là số lẻ.
Thí dụ : Xác định tính chẵn lẻ của hoán vị
5 3
2
4 2
5 3
3 4
2
5 4
3 2
1
Trang 21 Định nghĩa 2 :
Định thức cấp n tương ứng với ma trận vuông
và đếm số nghịch thế Nghịch thế tạo bởi các cặp (1,4), (2,3) (2,4), (3,4), do đó S () = 4 và là hoán
n
n n
a a
a
a a
a
a a
2 22
21
1 12
11
Trang 22trong đó dấu tổng lấy theo tất cả các hoán vị cấp
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
11
(2.19)
) ( )
2 ( 2 ) 1 ( 1
)
) 1
Trang 23Khi n = 2 ta có 2 hoán vị :
2
1 2
22 11
det A a a a a (2.20)(2.20) trùng với (2.1)
Trang 24Khi n = 3, ta có tất cả 6 hoán vị (6 = 3!)
3
32
11
32
32
13
21
32
1
3 hoán vị đầu có số nghịch thế tương ứng bằng 0,2,2 nên là những hoán vị chẵn, 3 hoán vị sau có số nghịch thế bằng 3,1,1 nên là những hoán vị lẻ
Do đó,
32 23
11 33
21 12
31 23
13
32 21
13 31
23 12
33 22
11
det
a a
a a
a a
a a
a
a a
a a
a a
a a
1
32
13
12
32
11
23
32
1
và
(2.21) trùng với (2.11)
Trang 25Hoặc
Tính chất 1 (Định lý 2) Khi chuyển vị ma trận, định
thức của nó không thay đổi.
Trang 26Nhận xét : Định lý 2 chứng tỏ sự bình đẳng giữa
hàng và cột của định thức, tức là một kết luận đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại Vì vậy từ đây về sau ta chỉ phát biểu các tính chất đối với hàng
Tính chất 2 (Định lý 3) Khi hoán vị hai hàng, định
thức đổi dấu nhưng trị tuyệt đối của nó vẫn không thay đổi.
Thí dụ, định thức cấp 2 :
21 12
22
11 22
Trang 272 22
11 21
12 12
11
22 21
'
a a
a a
Tính chất 3 (Hệ quả) Định thức có hai hàng giống
nhau thì bằng không.
Thật vậy, thay đổi hai hàng giống nhau và áp dụng định lý 3, ta có : = - hoặc 2 = 0, do đó = 0
Tính chất 4 (Định lý 4) Nếu hàng i của định thức
là tổ hợp tuyến tính :
Trang 28trong đó hàng thứ i của định thức 1 và 2 tương ứng bằng (b 1 , b 2 , …, b n ) và (c 1 , c 2 , …, c n ), tất cả các hàng còn lại đều giống các hàng của định thức .
Để chứng minh định lý 4, ta triển khai ba định thức , 1 và 2 theo các phần phụ đại số hàng i và nhận thấy rằng tất cả các phần phụ đại số hàng i của ba định thức đều giống nhau
Từ đẳng thức aij = bj + cj; suy ra = 1 + 2
Tính chất 5 (Hệ quả 1) Thứa số chung của các
phần tử một hàng có thể đưa ra ngoài dấu định thức.
Tính chất 6 (Hệ quả 2) Nếu định thức có một hàng
gồm toàn số không thì định thức bằng không.
Trang 29Thật vậy, trong công thức = 1 + 2 ta đặt = 0 thì = 1, ta có hệ quả 1.
Nếu đặt thêm = 0, ta thu được hệ quả 2
Tính chất 7 (Hệ quả 3) Nếu tất cả các phần tử hàng
i của định thức được biểu thị dưới dạng tổng của hai số hạng, thì định thức bằng tổng hai định thức có tất cả các hàng, trừ hàng i, giống các hàng của định thức , còn hàng i của định thức thứ nhất gồm các số hạng thứ nhất, của định thức thứ hai gồm các
số hạng thứ hai.
Thật vậy, theo công thức (2.24), ta có = 1 + 2
Trang 3033 32
31
3 2
1
13 12
11
33 32
31
3 2
1
13 12
11
33 32
31
3 3
2 2
1 1
13 12
11
.
1
a a
a
c c
c
a a
a
a a
a
b b
b
a a
a
a a
a
c b
c b
c b
a a
3
3 3
0
5 2
2
2 5
3
3 1
0
5 3
2
2 1
3
3 2
0
5 1
2
Trang 31Trong định thức 1 có hai hàng giống nhau là hàng thứ i và hàng thứ k, vậy theo hệ quả của định lý 3,
1 = 0 Tương tự, 2 có hai hàng giống nhau là hàng thứ i và hàng thứ l, vậy 2 = 0 Do đó = 0
Tính chất 8 (Hệ quả 4) Nếu định thức có một hàng
là tổ hợp tuyến tính của hai hàng khác thì định thức bằng không.
aij = bj + cj;
Giả sử hàng i là tổ hợp tuyến tính của hàng k và l :
Theo định lý 4, ta có :
= 1 + 2
Trang 32Tính chất 9 (Hệ quả 5) Định thức không thay đổi
nếu cộng vào một hàng tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại.
Giả sử trong định thức , ta cộng vào hàng i tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại Tổ hợp tuyến tính này có thể xem là một hàng, ký hiệu Y1, ta có :
) , 1 (
Theo hàng i của định thức bằng tổng aij + Yi
Theo định lý 4, định thức mới bằng tổng aij +
Trang 33Ta có : i (aij ) = , i (Yi) = 0 vì hàng i bằng tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại
4 Định thức của tích hai ma trận Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả nghịch.
Định thức của tích hai ma tr n : ận :
Vì vậy :
Cho A = [aij ], B = [bij ] là hai ma trận vuông cấp n như đã biết ở chương 1, tích AB là ma trận vuông cấp n C = AB = [cij] với các phần tử
n k
kj
ikb a
1
Trang 34Nhận xét : Mặc dầu các ma trận tích AB và BA
nói chung khác nhau, nhưng định thức của chúng bằng nhau
Thí dụ :
(2.25)
Định lý 5 : Định thức của tích hai ma trận bằng tích
các định thức của các ma trận, tức là :
det AB = det A det B
det AB = det A det B = det B det A = det BA
6
5 ,
4 3
2
1
B A
Trang 354 50
43
22
19 det
det
, 50 43
43
22
19 det
det
, 50 43
Định lý 6 : (Điều kiện cần và đủ để ma trận A
khả nghịch) Để ma trận A khả nghịch, điều kiện
cần và đủ là định thức của A khác không.
Chứng minh :
Điều kiện cần : Giả sử ma trận A có ma trận nghịch
đảo là B, ta có : AB = In Theo định lý 5, ta có :
Trang 36det AB = det A det B = det In = 1Từ đây ta suy ra det A 0
Điều kiện đủ : Bây giờ ta giả sử rằng = det A 0
Ta lập ma trận gọi là ma trận liên hợp của ma trận
A, ký hiệu AV như sau Trước tiên tay các phần tử
ma trận A bằng các phần phụ đại số tương ứng, sau đó ta chuyển vị ma trận, kết quả thu được :
nn n
n
n
n V
A A
A
A A
A
A A
A A
2 22
12
1 21
11
Trang 37Xét tích của A với AV :
Dễ dàng nhận thấy rằng, phần tử tổng quát của ma trận tích có dạng :
Biểu thức (2.26) bằng det A khi I = j (trùng với công thức (2.15)), bằng 0 khi i j
nn n
n
n n
nn n
n
n
n V
A A
A
A A
A
A A
A
a a
a
a a
a
a a
a AA
2 22
12
1 21
11
2 1
2 22
12
1 21
11
Ai1Aj1 + Ai2Aj2 + … + AinAjn (2.26)
Trang 38Thật vậy, tổng các tích của các phần tử một hàng với các phần phụ đại số của hàng khác, bằng không.
Do đó, tích của A với AV là ma trận vô hướng
kj ik
0 0
0
1 0
0
0 1
det det
0 0
0
det 0
0
0 det
A A
A
A
(2.27b)
Trang 39Từ các công thức (2.27c) và (2.27d) suy ra rằng :
Các công thức (2.27) biểu thị tính chất quan trọng của ma trận liên hợp
Trang 40Là ma trận nghịch đảo của ma trận A-1 = B
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
B
2 1
2 22
12
1 21
Trang 41Từ (2.27d) ta có : BA In
Định lý được chứng minh
5 Các phương pháp tính toán định thức :
Phương pháp làm triệt tiêu tất cả các phần tử, trừ một phần tử của một cột hoặc một hàng.
Nhân một hàng với một số chọn thích hợp rồi cộng vào hàng khác, có thể làm triệt tiêu tất cả các phần tử của một cột, trừ một phần tử Khi đó định thức cấp n cho trước bằng tích của phần tử đó với phần phụ đại số của nó Phần phụ đại số đó là định thức cấp n – 1 Làm các phép toán tương tự, việc tính toán định thức cấp n – 1 được dẫn đến định thức
Trang 42cấp n – 2 và cứ thế tiếp tục hạ bậc định thức.
Thí dụ : Tính định thức cấp bốn.
32
14
21
43
14
32
43
21
32
14
21
43
14
32
43
21
4 1
4
3 1
3
2 1
2
1 1
43
2
R R
R
R R
R
R R
R
R R
Trang 437
108
2
72
3
2 1
2
1 1
7
2
R R
R
R R
R
R R
70
108
20
72
10
43
21
0
44
0
72
Trang 44.160)
16144
)(
1
(36
4
4
4)
1
Phương pháp dẫn về định thức tam giác.
Nội dung của phương pháp này là biến đổi định thức đã cho thành dạng mà tất cả các phần tử ở một phía của đường chéo chính bằng không, tức là định thức tam giác Định thức tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
Thí dụ : Tính định
thức cấp n
3
11
1
1
13
1
1
11
3
Trang 45Cộng vào tất cả các cột còn lại, sau đó nhân hàng 1 với –1 và cộng vào các hàng còn lại :
3
1 1
) 1 (
3 1
) 1 (
3
1
1 3
) 1 (
3
1
1 1
) 1 (
n
R
R R
R
R R
R
R R
3
2 1
2
1 1
) 2 (
2 2
)].
1 3
[
2
0 0
2 0
0
0
0 2
0
1
1 1
) 1 (
3
1 1
Trang 466 Quy tắc Cramer :
Xét hệ phương trình đại số tuyến tính gồm n phương trình n ẩn số : x1, x2, …, xn, tức là hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn số Dạng ma trận của hệ phương trình : AX = B (2.29)Trong đó
nn n
n
n n
b
b
b B
x
x
x X
a a
a
a a
a
a a
a
A
,
,
1
2 1
2 22
21
1 12
11
(2.30)
Trang 47Ma trận A là ma trận vuông cấp n Định thức của ma trận A :
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
11
được gọi là định thức của hệ phương trình
Ta thay cột j bất kỳ trong định thức bởi cột các hằng số đã cho B, thu được định thức j (B), ký hiệu j :
Trang 48n nj
n
n j
j
n j
j
j
a a
b a
a
a a
b a
a
a a
b a
1
2 1
2 2
1 2 21
1 1
1 1
1 1 11
cột j
n j
b A
b A
Định lý 7 (Quy tắc Cramer) : Nếu hệ phương trình
(2.29) có định thức khác không thì hệ tương thích và nghiệm duy nhất được biểu thị bằng công thức Cramer
Trang 49n j
x j j ; 1 ,
Chứng minh : Gồm ba bước :
Bước 1 : Tồn tại nghiệm
Theo điều kiện định lý, ma trận A không suy biến nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. Xét vectơ cột :
C0 = A-1 B (a)và ta sẽ chứng minh rằng C0 là nghiệm của hệ phương trình (2.29) Thậy vậy :
AC0 = A(A-1 B) = (AA-1 ) B = InB = B
Trang 50Như vậy, khi thế vectơ vào hệ phương trình (2.29) thay cho vectơ cột X của các ẩn x1, x2, …, xn ta thu được đồng nhất thức Tức là C0 là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Bước 2 : Nghiệm duy nhất.
Giả sử vectơ cột C là nghiệm bất kỳ của hệ phương trình (2.29) Ta chứng minh rằng C = C0 Thật vậy, vectơ cột C là nghiệm của hệ phương trình nên nó thỏa đồng nhất thức :
AC = Bnhân phía trên trái của cả 2 vế đồng nhất thức A-1, ta có
A-1 (AC) = A-1 B
Trang 51Do tính kết hợp của tích các ma trận và đẳng thức (a), ta có :
(A-1 A) C = C0 hoặc C = C0Tóm lại, nghiệm bất kỳ của hệ phương trình (2.29) trùng với vectơ C0 = A-1 B Nói cách khác, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
Nhận xét : Nghiệm của hệ phương trình xác định
bằng công thức X = C0 = A-1 B là nội dung của định lý
9 (công thức (1.32), chương 1)
Bước 3 : Công thức Cramer.
Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận có dạng :
Trang 52n n
A A
A
A A
A
A A
A A
2 22
12
1 21
11 1
Aij là phần phụ đại số của phần tử aij Theo quy tắc nhân của ma trận, ta có : X = C0 = A-1 B
n n
n n
b
b b
A A
A
A A
A
A A
2 22
12
1 21
11